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广东省深圳市第二高级中学2026届高三上学期9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.函数的图象是( )
A. B. C. D.
3.设是两个不同的平面，，是异于的一条直线，则“”是“且”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.已知是奇函数，函数是偶函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
6.圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为( )
A. B. C. D.
7.已知，在上恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数有两个极值点，若，则 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设正实数，满足，则( )
A. 有最大值为 B. 有最小值为
C. 有最小值为 D. 有最大值为
10.已知函数，则下列选项正确的是( )
A. 函数的值域为
B. 方程有两个不等的实数解
C. 不等式的解集为
D. 关于的方程的解的个数可能为
11.若正方体边长为，点满足，其中，则( )
A. 当时，存在点，使得平面
B. 当满足时，不存在点，使得
C. 当满足时，存在点，使得与平面所成角为
D. 当满足时，三棱锥的体积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在处的切线方程为 ．
13.已知函数为，在上单调递增，则取值的范围 ．
14.函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在道数学试题中有道代数题和道几何题，每次从中随机抽出道题，抽出的题不再放回．
如果从中抽道题，求恰好抽到一道代数题和一道几何题的概率；
如果从中抽道题，记表示抽到代数题的道数，求随机变量的分布列和数学期望．
16.本小题分
已知，其内角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，，为边上的中点，求的长．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，底面为正三角形．，且为的中点．
证明：；
点是线段上一点，求使得二面角的正弦值不小于的点形成的轨迹长度．
18.本小题分
如图，椭圆的方程为，左、右焦点分别为设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点．

求椭圆的方程；
求证：是定值；
求三角形的周长．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性
若恒成立，求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
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14.
15.【详解】设事件“从中抽道题，恰好抽到一道代数题和一道几何题”，
．
根据题意，可能的取值为，，
，，，
所以的分布列为
故随机变量的期望．

16.【详解】因为，即，
且，
即，
得，且，则，
可得，且，所以．
如图：
因为，，
由，所以，解得，
在中，由余弦定理得，则，
又为边上的中点，所以，
在中，由余弦定理得，则，
在中，由余弦定理得，
所以．

17.【详解】如图，连接，因为底面为边长为的正三角形，且为的中点，所以，
又，所以，且，
在中，因为，由余弦定理可得，
解得，
在中，因为，所以．
因为平面，且，所以平面，
又平面，故．
由知平面，因为，所以，
则以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，则，，
设平面的法向量为，则，即
取，则，则平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，则，即
取，则，则平面的一个法向量为．
设二面角的平面角为，当时，
由得，
即，
整理得，即，
解得，因为，
故使得二面角的正弦值不小于的点形成的轨迹长度为．

18.【详解】由题设，椭圆的半焦距为且焦点在轴上，故且，
故，故椭圆方程为．

如图，延长交椭圆于，由对称性可得．
因为直线与直线平行，故直线的斜率不为零，
设，直线，则，
则．
由可得，
故，，，
故，
故．
因为，所以，
即，即．
所以．
由点在椭圆上知，，所以．
同理可得，．
所以
．
而，故三角形的周长为．

19.【详解】
，
当时，在上单调递增，
当时，令，解得，
单调递减，
单调递增，
综上：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由可知，恒成立，
又，
当时，在上单调递增，所以可得，不符合题意；
当时，由可知的唯一极小值为，也即函数有最小值为，
所以只需，又，
所以，可得，即，
综上，实数的取值范围为．
要证，
即证，
当时，先证，
令，则，
所以在上单调递减，故，
所以，
又，所以，
所以，
令，则，
令，，
当时，，
所以在上单调递增，
当时，，
所以，即在上单调递增，
所以，即，
所以；
当时，由，则，
由，则，
所以，
由知，，当时等号成立，
所以当时，，
所以，
综上，当时，，即．

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