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江苏省锡山高级中学2026届高三(基地班)上学期9月检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，其中为虚数单位．则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知数列的通项公式为，那么是这个数列的第 项．
A. B. C. D.
3.已知，，，，则( )
A. B. C. D.
4.作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆如此下去，则前个内切圆的面积之和为( )
A. B. C. D.
5.已知函数为偶函数，将图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，所得的图象对应的函数为，若最小正周期为，且，则( )
A. B. C. D.
6.将自然数，，，，，，按照如图排列，我们将，，，，，都称为“拐角数”，则下列哪个数不是“拐角数”( )
A. B. C. D.
7.在中，角的对边分别是，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知分别是三个内角的对边，则下列命题中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若是所在平面内的一点，且，则是直角三角形
D. 若，则的最大值是
10.已知函数，对，且都有，满足的实数有且只有个，则下列选项中正确的是( )
A. 的取值范围是 B. 的最小值为
C. 满足条件的实数有且只有个 D. 满足条件的实数有且只有个
11.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花，图是从窗花图中抽象出几何图形的示意图已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的最大值为
C. 在方向上的投影向量为
D. 若函数则函数的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的值为 ．
13.已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标依次记为，记它们的和为，则 ．
14.已知为所在平面内一点，且点满足，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简；
若，求的值．
16.本小题分
已知数列的前项积为，其中，数列的通项公式为．
求数列及的通项公式；
求数列的前项和；
求证：．
17.本小题分
已知函数，对，有
求的值及的单调递增区间：
在中，已知，其面积为，求；
将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，若，求实数的取值范围
18.本小题分
已知等比数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在项，，其中，，成等差数列成等比数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
对于平面向量，定义“变换”：，
若向量，，求；
求证：；
已知，，，，求证：．
参考答案
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13.
14.
15.
，则，
，，
则
，
，
因此．

16.当时，；
当时，；
因为当时，也满足故数列的通项公式为．
因为，
所以数列的通项公式为．
由得，，则，
两边同乘以，得：
两式相减得，
所以数列的前项和．
由得，，则数列单调递减，所以且，
所以，
所以，
所以：
，
故得证．

17.，
对，有，故，
所以，解得，
因为，故只有当时，满足要求，故，
，令，
解得，
的单调递增区间为；
，
因为，所以，故，解得，
，即，解得，
由余弦定理得，
故；
图象上的所有点，向右平移个单位后，得到，
再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到，
，
即，
令，则，
则，
故，
其中，当时，取得最小值，最小值为，
所以，解得或，
故实数的取值范围为

18.由题意知当时，，
当时，，
联立，解得，；
所以数列的通项公式．
由知，，
所以，可得；
设数列中存在项，，其中，，成等差数列成等比数列，则，
所以，即；
又因为，，成等差数列，所以，
所以，化简得，即；
又，所以与已知矛盾；
所以在数列中不存在项，，成等比数列．

19.因为向量，，
所以；
因为向量，，
所以，
所以；
因为，，，，
则，
，
故，所以，
，
所以．

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