资源简介

山东省东明县第一中学2026届高三上学期开学摸底考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量与的夹角为，，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知实数，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若的面积是的面积的两倍，则( )
A. B. C. D.
7.下列函数在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
8.已知正方体，点是与的交点，点是直线上异于的一点，点是平面上的动点，满足直线与直线的夹角为，则动点的轨迹在( )
A. 圆上 B. 椭圆上 C. 抛物线上 D. 双曲线上
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙两名篮球运动员连续场比赛的得分如下表所示，则下列说法正确的有( )
场次
甲
乙
A. 甲的众数大于乙的众数 B. 甲的平均数大于乙的平均数
C. 甲的极差大于乙的极差 D. 甲的百分位数大于乙的百分位数
10.已知函数的最小正周期为，则( )
A. B.
C. D.
11.武当太极拳又称武当内家拳，是我国的一项传统武术拳种，修习太极拳可以养生祛病、强身健体、延年益寿若张爷爷早上带着孙子小张在健身广场练习武当太极拳十三式，张爷爷按照拳法顺序从第一式打到第十三式，每种招式打一遍，小张随机打了十三式，则( )
A. 若招式可以重复，则小张练习的可能情况数为
B. 若招式不可重复，则小张练习的可能情况数为
C. 若招式可以重复，小张仅有第一式与爷爷相同的可能情况数为
D. 若招式不可重复，小张和爷爷恰有三种招式顺序不同的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线的焦点到渐近线的距离是，则双曲线的离心率的值是 ．
13.若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数 ．
14.已知正整数，欧拉函数表示、、、、中与互素的整数的个数，例如，，若小明从、、、、中随机取一个数，小红从、、、、中随机取一个数，则的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角的对边分别为，且．
求：
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是边长为的菱形，，，，点、分别为棱、的中点．
证明：平面；
若直线与平面所成角的大小为，求二面角的正弦值．
17.本小题分
已知数列的前项和为，且，，成等差数列已知数列首项，且．
求数列的通项公式，并求数列的前项和．
若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．
是否存在不同的，，使得，，成等差数列？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数有两个极值点．
求实数的取值范围；
记两个极值点分别为，，证明：．
19.本小题分
已知点，分别是椭圆的左、右焦点，，椭圆的离心率为．
求椭圆的标准方程．
若是椭圆上的一个动点，点经过第次变动各次变动之间相互独立后落在的位置异于椭圆的左、右顶点，且时，允许，点是的内心即内切圆的圆心，满足，其中，为坐标原点．
证明：；
若，且对任意都有的面积为，求对任意都有的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由，以及正弦定理可得
即，
即，
又在中，
所以，
则在中；
由可得，
所以，
由余弦定理，
解得，
所以的周长．

16.【详解】如图，取的中点，连接、，
因为为的中点，所以，且，
又四边形为菱形，且为的中点，所以，且，
所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面．
如图，连接、交于点．
因为四边形为菱形，所以，且为、的中点，
又因为，所以，
因为、平面，且，所以平面．
因为平面，所以平面平面，
过点在平面内作，垂足为点，
因为平面平面，平面平面，，
平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角的平面角，则．
又，，，为的中点，
所以，则为等边三角形，
因为，故也为等边三角形，且，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
取平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
则，取，可得，
则，
设二面角平面角为，则．
因此，二面角的正弦值为．

17.【详解】因为，，成等差数列，所以，
所以，
由，得，于是．
又，所以，所以，
因此，数列是首项为，公比为的等比数列．
所以，即．
又，
所以．
因为，所以，
所以数列是各项均为的常数数列，所以，
所以，则数列是以为首项，为公差的等差数列．
又，，，，，，，，
所以
．
假设存在不同的，，
不妨假设使得，，成等差数列，
则，即，
两边除以，得．
因为，所以，所以，所以．
当时，；当时，，这与题设矛盾，
所以不存在不同的，使得，，成等差数列．

18.【详解】由题意得，，．
因为有两个极值点，所以方程有两个不相等的正根，
所以，解得．
检验：当时，由得或．
所以在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，满足题意．
所以实数的取值范围为．
证明：由知，，
所以，
所以．
令，则，
令，则，
所以在上单调递增．
因为，，
所以函数存在唯一零点，即，
且当时，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，存在最小值，即．
因为，所以，所以，
所以．

19.【详解】由题可知，，解得，，，
所以椭圆的标准方程为；
由内心定义可知内切圆半径，
对任意，，
即，
由于点和点在轴的同一侧，故，同号，
故，所以，
由可知，，因为，所以，
对任意，在中，设与轴的相切于点，
则，同理，
，
，
结合，故，又，
于是，结合，代入得，
又，取等条件为，
故点只能在椭圆的上、下顶点位置．
当时，表示点中恰有个在上顶点，恰有个在下顶点，故总的情况有种
对任意都有表明，任意前个点中，上顶点个数不少于下顶点个数．
将前个点中上顶点的个数减去下顶点的个数记作，将所有的点连接起来，形成一条折线，
因为每次要么减少，要么增加，所以折线相当于从出发，
每次沿向量向右上方移动，或者沿向量向右下方移动，最终到结束．
目标事件为折线始终落在轴及轴上方，其对立事件为折线与有公共点．
考虑对立事件，若折线与有公共点，记第一个公共点为，
则点左侧的折线均在上方，
将这部分折线关于对称到下方，得到点到点的新折线，且与总是一一对应，种数相同．
对于，共移动次，其中向右上方移动次，向右下方移动次，共有种
故概率为．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑