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2025-2026 学年上海市进才中学高一上学期第一次阶段测试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 、 、 ∈ R，那么下列命题中正确的是( )
A.若 > ，则 > B.若 > ，则 >
C.若 3 > 3，则 > D.若 2 > 2，则 >
2.命题“对任意 ∈ ，都有 2 ≥ 0”的否定为( )
A.对任意 ∈ ，都有 2 < 0 B.不存在 ∈ ，都有 2 < 0
C.存在 ∈ ，使得 20 0 ≥ 0 D.存在 0 ∈ ，使得 20 < 0
3.一元二次方程 2 + + = 0 有解是一元二次不等式 2 + + > 0 有解的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
4.设 、 、 是两个两两不相等的正整数.若 + , + , + = 2, ( + 1)2, ( + 2)2 ∈ + ，则 2 +
2 + 2的最小值是( )
A. 2007 B. 1949 C. 1297 D. 1000
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.用描述法表示被 3 除余 2 的整数集为 ．
6.若全集 = | < 3 , = 1 < < 3 ，则 U = ．
= 2
7.用列举法表示方程组 + = 4的解集 ．
8.已知 ， 为常数，若 < 0 的解集是( ∞,2)，则 + > 0 的解集是 ．
9.满足条件 , , , , , 的集合 的个数是
10.已知 : 2 3 + 2 ≤ 0， : < ，若 是 的充分条件，则满足条件的最小的整数 为 ．
11.集合 = ( 1) 2 + 3 3 = 0 有且仅有两个子集，则实数 = ．
12.已知关于 的方程 2 + + 3 = 0 的两个实根为 1、 2 22， 1 2 + 1 2 = 9，则实数 = ．
13.已知集合 = 2 2 3 ≥ 0 , = 2 3 + 2 2 < 0 ，若 ∩ = ，则实数 的取值范围
是 ．
14.向 50 名学生调查对 、 两事件的态度，有如下结果：赞成 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；
赞成 的比赞成 的多 3 人，其余的不赞成；另外，对 ， 都不赞成的学生数比对 ， 都赞成的学生数的
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三分之一多 1 人，问对 ， 都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人．
15.若集合 = 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ，集合 ，且 中有四个元素，则元素和能被 3 整除的集合 的个数
为 ．
16 3.已知关于 的不等式 ≤ 4
2 3 + 4 ≤ ,其中 < 且 、 ∈ R，若该不等式的解集恰好为[ , ]，则
=
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
(1)设 ， 为实数，比较 2 + 2与 6 4 13 的值的大小；
(2) 4设全集为 ，已知集合 = 3 5 ≤ 0 ， = ∣
2 3 + 2 < 0 ，求 ∩ ．
18.(本小题 14 分)
已知集合 = [1,7]．
(1)设集合 = = 2 6 + 12, ∈ R ，求 ∪ ；
(2)已知 ∈ R，设集合 = 2 + 1 ≤ ≤ 3 + 4 ，若 ∩ = ，求 的取值范围．
19.(本小题 14 分)
在解决实际问题时，往往会有不同的思路和方法，这些方法有些正确，有些错误；有些简洁，有些复杂．
问题①：设 ∈ ，集合 = ( 1)( ) = 0 ，若 ∈ 是 ∈ 1,2,3 的充分条件，求： 的取值集合．
问题②：设 ∈ , = + 3, = 18 ，若 ∈ ，求证： 和 至少有一个数是奇数
(1)小明在解决问题①，他认为原问题等价于 1, 1,2,3 ，解得 的取值集合为 2,3 ，张老师判断小明解
题错误，请计算正确的 的取值集合；
(2)小红认为既然 ∈ ，只需根据 是奇数还是偶数，分类讨论即可；小华则认为可以使用反证法解决问题，
请你选一种你认为更好的方法并证明．
20.(本小题 14 分)
定义区间( , )、[ , ]、( , ]、[ , )的长度均为 ，其中 > ．
(1)求不等式 2 2 + 8 > 0 的解集区间的长度；
(2) 5如果数集 = 6 , ， = , +
1
3 都是集合[0,1]的子集，那么集合 ∩ ， ∪ 的长度的最小值和
最大值分别是多少
(3) 3 ≤ 2 1 ≤ + 7已知不等式组 2 2 11 + 15 2 ≥ 0的解集构成的各区间的长度和等于 6，求实数 的范围．
21.(本小题 14 分)
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符号[ ]表示不大于 的最大整数( ∈ R)，例如：[1.3] = 1，[2] = 2，[ 1.2] = 2．
(1)解下列两个方程：[ ] = 3，[2 ] = 3；
(2)分别研究当 > 0， < 0 时，不等式[ ]2 ≤ 2 < [ ] + 1 2是否成立，并说明理由；
(3)求方程 4 2 40[ ] + 51 = 0 的实数解．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. | = 3 + 2, ∈ Z
6. | ≤ 1
7. (3,1)
8. 12 , + ∞
9.7
10.3
11.1 1或4
12. 3
13.( ∞, 1] ∪ 0 ∪ [3, + ∞).
14.21 和 8
15.42
16.4
17.解：(1)依题意，得
2 + 2 (6 4 13) = 2 6 + 2 + 4 + 13 = 2 6 + 9 + 2 + 4 + 4 = ( 3)2 + ( +
2)2 ≥ 0，
故 2 + 2 ≥ 6 4 13．
(2) 4 ≤ 0 ( 4)(3 5) ≤ 0 5由3 5 ，得 ，解得 < ≤ 4，3 5 ≠ 0 3
5 5
故 = 3 < ≤ 4 ，则 = ≤ 3 或 > 4 ；
由 2 3 + 2 < 0，得( 1)( 2) < 0，解得 1 < < 2，
故 = 1 < < 2 ；
∩ = 1 < ≤ 53 ．
18.解：(1)由二次函数的性质可得 = 2 6 + 12 = ( 3)2 + 3 ≥ 3，
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所以集合 = | ≥ 3 ，又 = [1,7]，
所以 ∪ = [1, + ∞)．
(2)因为 ∩ = ，所以 ，
所以当 = 时，2 + 1 > 3 + 4，即 < 3，
1 ≤ 2 + 1
当 ≠ 时， 3 + 4 ≤ 7，解得 0 ≤ ≤ 1，
2 + 1 ≤ 3 + 4
所以 的取值范围为( ∞, 3) ∪ [0,1]．
19.解：(1)根据题意可知，当 = 1 时，集合 = |( 1)2 = 0 = 1 ，
此时 ∈ ∈ 1,2,3 ，即 ∈ 是 ∈ 1,2,3 的充分条件．
当 ≠ 1 时，集合 = |( 1)( ) = 0 = 1, ，
因为 ∈ 是 ∈ 1,2,3 的充分条件，即 1, 1,2,3 ．
所以此时 = 2 或 = 3．
综上 的取值集合为 1,2,3 ．
(2)利用反证法证明．
假设 , 均为偶数，则( ) ( ) = 为偶数．
因为 = 18 3 = 15 2 为奇数，
与 为偶数相矛盾，所以原假设不成立．
故 , 至少有一个数是奇数．
20.解：(1)由 2 2 + 8 > 0 得 4 < < 2，
所以 2 2 + 8 > 0 的解集为( 4,2)，故解集区间的长度为 2 ( 4) = 6；
(2) = 5 , = , + 1 5 1由 6 ， 3 可得到 的长度为6， 的长度为3，
因为 ， 都是集合[0,1]的子集，
1 5 1 1
所以 ∩ 长度的最大值为3，最小值为6+ 3 1 = 6；
∪ 长度的最大值为 1 5，最小值为6；
(3) 3 ≤ 2 1由 3 ≤ 2 1 ≤ + 7 即 2 1 ≤ + 7得 2 ≤ ≤ 8，此不等式解集长度为 6，
3 ≤ 2 1 ≤ + 7
又不等式组 2 2 11 + 15 2 ≥ 0的解集构成的各区间的长度和等于 6，
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设 2 2 11 + 15 2 ≥ 0 的解集为 ，则[2,8] ，
由 2 2 11 + 15 2 ≥ 0 得(2 5 )( 3 ) ≥ 0，
当 = 0 时， = ，[2,8] 显然成立；
当 > 0 5 时， = ∞, 2 ∪ [3 , + ∞)，
[2,8] 8 ≤ 5 由 得 2或 3 ≤ 2，
16 2
所以 ≥ 5或 0 < ≤ 3；
当 < 0 时， = ( ∞,3 ] ∪ 5 2 , + ∞ ，
[2,8] 5 ≤ 2 ≤ 4由 得 2 即 5，
所以 < 0；
综上，实数 的范围是 ∞, 2 163 ∪ 5 , + ∞
21.解：(1)因为[ ] = 3，所以 ∈ [3,4)，因为[2 ] = 3，所以 2 ∈ [ 3, 2)，所以 ∈ 32 , 1 ．
(2)对任意 ，有[ ] ≤ < [ ] + 1，
当 > 0 时，[ ]2 ≤ 2 < [ ] + 1 2成立，因为 0 ≤ [ ] ≤ < [ ] + 1 故[ ]2 ≤ 2 < [ ] + 1 2
当 < 0 时，[ ]2 ≤ 2 < [ ] + 1 2不成立，因为[ ] ≤ < [ ] + 1 ≤ 0 故 [ ] + 1 2 < 2 ≤ [ ]2
(3)因为[ ] ≤ < [ ] + 1，又[ ] < 0 不是解，
4 [ ] + 1 2 40[ ] + 51 > 0 2[ ] 5 2[ ] 11 > 0
所以 2 ，所以4[ ] 40[ ] + 51 ≤ 0 2[ ] 3 2[ ] 17 ≤ 0
,
[ ] < 52 [ ] >
11
2
≥ 3 ≥ 3解得 2或 2，解得[ ] = 2 或[ ] = 6 或 7 或 8，
≤ 17 ≤ 172 2
分别代入方程得 4 2 29 = 0，解得 = 292 ，
4 2 189 = 0 189， = 2 =
3 21
2 ，
4 2 229 = 0 = 229， 2 ，
4 2 269 = 0 = 269， 2 ，
经检验，这四个值都是原方程的解．
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