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2025-2026学年上海市七宝中学高一上学期 9月开学摸底考试数学试卷
一、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
1.设集合 = = 2 + 1, ∈ ， = = 3 , ∈ ，则 ∩ = ．
2.已知 、 是两个集合，定义运算： = ∈ 且 ，若 = 2,3,6 ， = 1,2,3,4,5 ，则
= ．
3.已知 ∪ 1,2 = 1,2,3 ，则集合 所有可能的个数是 个．
4.对于集合 ， ，定义 = ∈ 且 ， = ( ) ∪ ( ).设 = = | | , ∈ ，
= = ( 1)2 + 2 , ∈ ，则 = ．
5.有下面四个结论：
①0 与{0}表示同一个集合；
②集合 = {3,4}与 = {(3,4)}表示同一个集合；
③方程( 1)2( 2) = 0 的所有解的集合可表示为{1,1,2}；
④集合{ |4 < < 5}不能用列举法表示．
其中正确的结论是 (填写序号)．
6.已知集合 = { ∣ 5 < < 3, ∈ }，则下列集合是集合 的子集的是 . (填序号)① = 3,0,1 ；
② = 1,0,1,2 ；③ = { ∣ < < 1, ∈ }；④ = | | ≤ 3, ∈ N ．
7 6.集合 = 3 ∈ 且 ∈ ，用列举法表示集合 ．
8.已知集合 = ( , ) + = + 1 ， = ( , ) + = 2 ，其中 为实数，当 ∩ ≠ ，则 满足
的条件是 ．
9.集合 = ∣ = 2 + 1, ∈ ， = ∣ = 4 + 1, ∈ ，则 . (填“ ”“ ”“ ”或“ ”)
10.向 50 名学生调查对 、 两事件的态度，有如下结果：赞成 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；
赞成 的比赞成 的多 3 人，其余的不赞成；另外，对 ， 都不赞成的学生数比对 ， 都赞成的学生数的
三分之一多 1 人，问对 ， 都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人．
11.设 、 是非空集合，定义 = { | ∈ 且 }，若 = { |1 ≤ ≤ 2020, ∈ }， = { |2 ≤ ≤
2023, ∈ }，则 =
12.若规定由整数组成的集合 = {0,1,2, , }， ≥ 10， ∈ N 的子集{ 1, 2, 3, , }为 的第 个子集，其
中 = 2 1 + 2 2 + 2 3 + … + 2 ，则 的第 2024 个子集是 ．
二、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
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13.已知集合 = | = 3 , ∈ N ， = | = 3 + 1, ∈ N ， = | = 3 + 2, ∈ N ，若 ∈ ， ∈ ，
∈ ，则下列结论中可能成立的是( )
A. 2021 = + + B. 2021 = C. 2021 = + D. 2021 = ( + )
14.设集合 = 21 + + 1 > 0 ， 2 = 2 + + 2 > 0 ， 21 = + + > 0 ， 2 = 2 +
2 + > 0 ，其中 , ∈ ，下列说法正确的是( )
A.对任意 ， 1是 2的子集；对任意 ， 1不是 2的子集
B.对任意 ， 1是 2的子集；存在 ，使得 1是 2的子集
C.对任意 ， 1不是 2的子集；对任意 ， 1不是 2的子集
D.对任意 ， 1不是 2的子集；存在 ，使得 1不是 2的子集
15 3 1.集合 = ≤ ≤ + 4 ， = 3 ≤ ≤ ，且 、 都是集合 0 ≤ ≤ 1 的子集，若把
叫做集合 ≤ ≤ 的长度，那么集合 ∩ 的长度的最小值为( )
A. 2 1 1 53 B. 12 C. 3 D. 12
16.设集合 = 2 + 2 3 > 0 ，集合 = 2 2 1 ≤ 0, > 0 ，若 ∩ 中恰有一个整数，则实
数 的取值范围( )
A. 0, 3 3 4 34 B. 4 , 3 C. 4 , 2 D. (1, + ∞)
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知正整数集合 = 1, 2, 3, 4 ， = 2, 21 2, 23, 24 ，其中 1 < 2 < 3 < 4， ∩ = 1, 4 ，且 1 +
4 = 10， ∪ 中所有元素之和为 124，求 ．
18.设集合 = { ∣ 2 < < 3}， = { ∣3 < ≤ + 1}；
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
19.设 = { | 2 + 2 19 = 0}， = { | 2 5 + 6 = 0}， = { | 2 + 2 8 = 0}
(1) ∩ = ∪ ，求 的值；
(2)若 ∩ 非空，且 ∩ = ，求 的值；
(3) ∩ = ∩ ≠ ，求 的值．
20.(1)已知 = { < 3或 > 1}.若 = { < 3 + 1或 > + 2}， ，求 的取值范围．(2)若 =
+ 2 < < 3 + 1 ， ，求 的取值范围．
21.已知集合 为非空数集.对于集合 ，对 中任意两个不同元素相加得到的和取绝对值，将这些绝对值重新
组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合 的 1 次自相加集
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合”，再进行 1 次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合 的 次自相加集合”.若集合 的任意 次自
相加集合都不相等，则称集合 为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“ 的 1 次自相减集合”，
集合 的 1 次自相加集合和 1 次自相减集合分别可表示为： + = ∣ = | + |, ∈ , = { ∣ = |
|, , ∈ }．
(1)已知有两个集合，集合 = 1,2,3,4 ，集合 = = 2 + 1, ∈ Z ，判断集合 和集合 是否是完美自
相加集合，并说明理由；
(2)对(1)中的集合 进行 11 次自相加操作后，求：集合 的 11 次自相加集合的元素个数；
(3)若 0 ≤ ≤ 2025 且 ∈ N，集合 = ∣ ≤ ≤ 2025, ∈ N , + ∩ = ，求： 的最小值．
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参考答案
1. = 6 + 3, ∈
2. 1,4,5
3.4
4. < 0 或 > 2
5.④
6.④
7.解：∵ 63 ∈ ，
∴ 3 = 1,2,3,6, 1, 2, 3, 6，
即 = 2,1,0, 3,4,5,6,9．
∵ ∈ ，
∴ = 0,1,2,4,5,6,9 ．
8. ≠ 1
9.
10.21 和 8
11.{2021,2022,2023}
12.{3,5,6,7,8,9,10}
13.
14.
15.
16.
17.解：∵ ∩ = 1, 4 ，∴ 1, 4必分别是某两个整数的平方，
又 1 < 2 < 3 < 4， 1 + 4 = 10，∴ 1 = 1, 4 = 9，
又 1 = 1 < 2 < 3 < 4 = 9，集合 中元素都为正整数，∴ 3 ∈ ．
若 2 = 3，则 ∪ = {1,3, 3, 9, 32, 81} ∴ 1 + 3 + 3 + 9 + 32 + 81 = 124 解得 3 = 5(负值舍去)；
若 3 = 3，则 ∪ = {1,3, 2, 9, 22, 81} ∴ 1 + 3 + 2 + 9 + 22 + 81 = 124，解得 2 = 5(负值舍去)，但与
2 < 3矛盾，舍去
∴ 2 = 3, 3 = 5， = {1,3,5,9}
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故答案为 = {1,3,5,9}
18.解：(1)由题意，集合 = { ∣ 2 < < 3}， ，需分为 = 和 ≠ 两种情形进行讨论：
当 = 时，3 ≥ + 1，
1
解得， ≥ 2，满足题意；
当 ≠ 时，
因为 ，
3 ≥ 2
所以 + 1 < 3 ,
3 < + 1
2
解得， 3 ≤ <
1
2，
2
综上所述，实数 的取值范围为[ 3 , + ∞)．
(2)由题意，需分为 = 和 ≠ 两种情形进行讨论：
当 = 时，3 ≥ + 1，
1
解得， ≥ 2，满足题意；
当 ≠ 时，
因为 ∩ = ，
+ 1 ≤ 2
所以 3 < + 1，解得 ≤ 3，
3 ≥ 3
或 3 < + 1无解；
1
综上所述，实数 的取值范围为( ∞, 3] ∪ 2 , + ∞ ．
19.解：(1) ∵ = { | 2 5 + 6 = 0} = { | 2 3 = 0} = 2,3 ， ∩ = ∪ ，
∴ = ．
∴ 2 和 3 是方程 2 + 2 19 = 0 的两个根，
∴ 2 + 3 = 2 × 3 = 2 19 , ∴ = 5．
(2) = { | 2 + 2 8 = 0} = { | 2 + 4 = 0} = 2, 4 ，∵ ∩ 非空且 ∩ = ，
∴ 与 有公共元素而与 无公共元素，
∴ 3 ∈ ，∴ 9 3 + 2 19 = 0，解得 = 2，或 = 5．
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当 = 2 时， = 3, 5 满足题意；
当 = 5 时， = 2,3 此时 ∩ = {2}不满足题意，
∴ = 2．
(3) ∵ ∩ = ∩ ≠ ，∴ 2 ∈ ，
∴ 4 2 + 2 19 = 0，解得 = 3, = 5．
当 = 3 时， = 2, 5 满足题意；
当 = 5 时， = 2,3 不满足题意，故 = 3．
20.解：(1) 即 的范围小于 的范围．
当 3 + 1 > + 2 1，即 > 2时， = R，满足 ；
当 3 + 1 ≤ + 2 1 3 + 1 ≥ 3①，即 ≤ 2时，要使 ，由图 1 得 , + 2 ≤ 1②
4①②等号不同时成立，解得 3 ≤ ≤ 1．
4
综上所述， 的取值范围为 3 ≤ ≤ 1或 >
1
2 ．
(2) 即 的范围小于 的范围．
要使 ，优先考虑 是否为空集．
当 3 + 1 ≤ + 2 1，即 ≤ 2时， = ，满足 ；
1
当 3 + 1 > + 2，即 > 2时，要使 ，由图 2 得 3 + 1 ≤ 3 或 + 2 ≥ 1，
≥ 1. 1 1解得 又因为 > 2，所以 > 2．
综上所述， 的取值范围为 R．
21.解：(1) 是完美自相加集合， 不是完美自相加集合．
理由如下：
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因为集合 = 1,2,3,4 ，所以 + = 3,4,5,6,7 ，由此可知集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之
前的集合中的最小两个元素之和，所以显然集合 = 1,2,3,4 的最小两个元素为 1,2，所以 +中的最小元素
为 1 + 2 = 3 同理，2 次自相加后得到的集合中的最小元素是 3 + 4 = 7.依照这样的规律，对集合 =
1,2,3,4 进行任意次自相加操作后，最小值总在变大，故不可能有相等集合，所以 是完美自相加集合；
因为集合 = = 2 + 1, ∈ Z 表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加的和都是偶数，所以 + =
= 2 , ∈ Z ，为所有偶数构成集合；所以对 + = = 2 , ∈ Z 再进行一次自相加操作，因为任意
两个偶数相加的和还是偶数，故后面集合不管进行多少次相加都与 + = = 2 , ∈ Z 相同；故 不是完
美自相加集合．
(2)由自相加性质可知，对于集合 = 1,2,3,4 ，进行一次自相加，得到集合的最小值必然是原来集合的两
个最小元素值之和，得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素；
所以对集合 = 1,2,3,4 进行 1 次自相加之后，得到的集合最小两个元素为 3,4，最大的两个元素为 6,7；
进行第 2 次自相加，得到的集合最小两个元素为 7,8，最大的两个元素为 12,13；
进行第 3 次自相加，得到的集合最小两个元素为 15,16，最大的两个元素为 24,25；
进行第 4 次自相加，得到的集合最小两个元素为 31,32，最大的两个元素为 48,49；
进行第 5 次自相加，得到的集合最小两个元素为 63,64，最大的两个元素为 96,97；
进行第 6 次自相加，得到的集合最小两个元素为 127,128，最大的两个元素为 192,193；
进行第 7 次自相加，得到的集合最小两个元素为 255,256，最大的两个元素为 384,385；
进行第 8 次自相加，得到的集合最小两个元素为 511,512，最大的两个元素为 768,769；
进行第 9 次自相加，得到的集合最小两个元素为 1023,1024，最大的两个元素为 1536,1537；
进行第 10 次自相加，得到的集合最小两个元素为 2047,2048，最大的两个元素为 3072,3073；
进行第 11 次自相加，得到的集合最小两个元素为 4095,4096，最大的两个元素为 6144,6145；
因为集合 的 次自相加集合中的元素都是连续的整数，所以集合 进行 11 次自相加操作后的元素个数为
6145 4095 + 1 = 2051．
(3)因为 0 ≤ ≤ 2025 且 ∈ N，集合 = ∣ ≤ ≤ 2025, ∈ N ,
所以 + = ∣2 + 1 ≤ ≤ 4049, ∈ N , = ∣1 ≤ ≤ 2025 , ∈ N ,
要使 + ∩ = ，须使 2 + 1 > 2025 > 2024，所以 3 = 674
2
3，又因为 ∈ N，故 的最小值为 675．
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