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九年级数学第一次月考试卷 10. 如图，E为矩形ABCD对角线AC上的一点，若AE = AB = 3，AD = 4，则方 A D 18.（ 6分）佳佳在解一元二次方程 x2 + 6x - 4 = 0时出现错误，解答过程如下：
程 x2 + 6x - 16 = 0的正数根是 （　　） 解：x2 + 6x - 4 = 0
A. 线段AE的长 B. E线段BE的长 移项，得 x2 + 6x = 4. ……………………………… ①　　　　　　　　　　　　　　　　
C. 线段CE的长 D. 线段AC的长 B C 配方，得 x2 + 6x + 9 = 4. …………………………… ②　　　　　　　　　　　　　　　　
第10题图 2
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 即（x + 3） = 4. …………………………………… ③　　　　　　　　　　　　　　　　
11. 若（m - 3）x|m - 1 | - 4x + 5 = 0是关于 x的一元二次方程，则m的值是____________. 解得 x1 = - 1，x2 = - 5. …………………………… ④　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 12. 写出一个二次项系数为2，且其中有一个根为0的一元二次方程是____________. （1）上述解答过程中，从第____________步开始出现了错误；（填序号）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13. 已知 x1，x2是方程 x2 - 2x - 24 = 0的两个根，则 x1 + x2的值为____________. （2）写出正确的解答过程 .
答案 14. 国产某品牌无人机凭借在AI和精准飞控方面的强大技术优势，使其在销量上独占鳌头 .该
1. 下列方程中，不是一元二次方程的是 （　　） 品牌无人机在某次方阵表演中，如图，无人机原来排成 3行 4列，后又增加了 30架，使得方
A. x2 + 3 = 9 B. 2x2 - 3x = 0 C. 13x2 - 2
阵增加的行、列数相同，则增加了多少行？设方阵增加的行数为 x行，根据题意可列方程为
x + 4 = 0 D. 12 = 6x ____________（. 化成一般形式）
2. 关于 x的一元二次方程2x2 - 5x = 3，若二次项系数为2，则常数项为 （　　）
A. - 5 B. - 3 C. 2 D. 5
3. 已知 x = 3是一元二次方程 x2 - 4x + k = 0的一个根，则 k的值为 （　　）
A. - 3 B. 0 C. 2 D. 3
4. 用配方法解方程 x2 - 6x + 2 = 0，变形正确的是 （　　） 第14题图 第16题图
A.（ x + 3）2 = 7 B.（ x - 3）2 = 7 C.（ x - 3）2 = 9 D.（ x - 3）2 = - 2 15. 对于三个实数 a，b，c，用M｛a，b，c｝表示这三个数的平均数，用min｛a，b，c｝表示这三个数中
5. 关于 x的一元二次方程 x2 - 4x + 2m = 0有两个相等的实数根，则m的值为 （　　） 最小的数 .例如：M｛1，2，9｝ = 4，min｛1，2， - 3｝ = - 3，min｛3，1，1｝ = 1.请结合上述材料，解
A. 2 B. - 1 C. 1 D. - 2 决问题：若M｛5x，x2， - 3｝ = min｛x2， - 3｝，则 x的值是____________. 19.（ 6 分）化学课代表在老师的指导下，学会了利用高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班
- ± 2 - 4 16.【 数学文化】《周髀算经》中有一种几何方法可以用来解形如 x（x + 5） = 24的方程的正数根， 上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会6. x = b b ac在用求根公式 2 求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c的值，得 其步骤为： 了同样多的同学，这样全班 49 人恰好都会做这个实验了 .求一个人每节课能手把手教会a
3 ± -3 2 - 4 × 2 × -1 第一步：如图，将4个长为 x + 5，宽为 x的长方形纸片（面积均为24）拼成一个大正方形； 多少名同学 .
到 x = ( ) ( )2 × 2 ，则她所求解的一元二次方程是 （　　） 第二步：因为大正方形的面积为24 × 4 + 25 = 121，所以大正方形的边长为11；
A. 2 2 - 3 - 1 = 0 B. 2 2 + 4 - 1 = 0 第三步：列出方程 x +（ x + 5） = 11，解得 x = 3，所以方程 x（x + 5） = 24的正数根为 x = 3.x x x x
C. - 2 - 3 + 2 = 0 D. 3 2 - 2 + 1 = 0 按上面的方法解关于 x的方程 x2 + mx = n时，构造出同样的图形，若大正方形的面积为 16，x x x x
7. 2 + - 3 = 0 5 - 2 - 小正方形的面积为4，则方程的正数根为____________.若一元二次方程 x x 的一个根为m，则 m m的值是 （　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 三、解答题（本大题共8小题，共66分）
8. . 17.（ 每小题4分，共8分）用适当的方法解下列方程：中国民歌不仅脍炙人口，而且许多还有教育意义 有一首《牧童王小良》的民歌包含着一个数
. . （1）（x + 3）
2 = 2（x + 3）； （2）2x2 - x - 5 = 0.
学问题：牧童王小良，放牧一群羊 问他羊几只，请你仔细想 头数加只数，只数减头数 .只数
乘头数，只数除头数 .四数连加起，正好一百数 .请问羊的只数为 （　　）
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
9. 若关于 x的一元二次方程 x2 + bx + c = 0的根为 x1 = 3，x2 = - 4，则关于 y的一元二次方程（y -
1）2 + b（y - 1） + c = 0的根为 （　　）
A. y1 = 3，y2 = - 4 B. y1 = 2，y2 = - 5
C. y1 = 2，y2 = - 3 D. y1 = 4，y2 = - 3
班级： 姓名： 学号：
…
…
…
…
…
…
…
…
…
20.（ 8分）【新定义】如果关于 x的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）有两个不相等的实数根， 22.（ 8分）已知关于 x的方程 x2 -（ 2k + 1）x + k2 + k = 0． 24.（ 12分）阅读材料
且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“2倍根方程”. （1）求证：无论 k为何值，该方程总有两个不相等的实数根； 已知实数m，n满足（2m2 + n2 + 1）（2m2 + n2 - 1） = 80，试求2m2 + n2的值 .
（1）若一元二次方程 x2 - 6x + c = 0是“2倍根方程”，求 c的值； （2）若等腰三角形 ABC的两边 AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为 5， 解：设 2m2 + n2 = t，则原方程变为（t + 1）（t - 1） = 80.
2 - 3 - = 0 ≠ 0 2 3a - 2b . 求△ABC的周长 . 整理，得 t
2 - 1 = 80，即 t2 = 81.
（）若（x ）（ax b） （a ）是“ 倍根方程”，求代数式 - 的值a b 所以 t = ± 9.
因为2m2 + n2 ≥ 0，所以2m2 + n2 = 9.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂
的数与式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复
杂的问题简单化 .
根据以上材料的内容，解决下列问题，并写出解答过程 .
（1）已知实数 x，y满足（2x2 + 2y2 + 3）（2x2 + 2y2 - 3） = 27，求 x2 + y2的值；
（2）若a，b满足等式（a2 + b2）（2a2 + 2b2 - 1） = 3，求3a2 + 3b2 - 1的值；
（3）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数 .
21.（ 8分）为了促进劳动课程的开展，某学校准备利用一处墙角和一段篱笆围建一个矩形生态 23.（ 10分）2025年春节联欢晚会吉祥物“巳升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参
园 .如图，墙AF = 8 m，AE = 4 m，篱笆长为 28 m.设CD的长为 x m，生态园的一边由墙AF和 考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在
一节篱笆BF构成，另一边由墙AE和一节篱笆CE构成，其他边由篱笆CD，BD围成 . 市场上一度走红．
（1）若生态园的面积为75 m2，求 x的值；
（2 据统计，某电商平台 2024 年 12 月份“巳升升”的销售量是 5 万件，2025 年 2 月份的销售量是）为了进出生态园方便，现决定在CD边上留出 2 m宽的门，此时生态园的面积能否达到 素材1 7.2万件
110 m2？如果能，请求出生态园的长CD；如果不能，请说明理由 . 素材2 某实体店“巳升升”的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售20件
墙 3 经市场调查发现，售价每降价 1 元，每天可多售出 2 件，为了推广宣传，商家决定降价促销，F 素材
A B 同时尽量减少库存
问题解决
E 任务1 （1）确定增长率 若月平均增长率相同，求月平均增长率
C D
第21题图 任务2 （2）确定销售价格 若使每天销售获利为1200元，求每件的售价应降低多少元
根据上述素材，解决任务1、任务2的问题 .参考答案
答案速览
9,即(x+3)2=13.开平方，得x+3=±√13
1×3=
当
,即b=
24时，
3a-2b
-、1.D2.B3.D4.B5.A
6.A
解得x,=-3+W13,x2=-3-√13
a-b
19.解：设一个人每节课能手把手教会x名同学
3
7.A8.D9.D10.C
根据题意，得1+x+x(1+x)=49,即(1+
3a-2×2a
—=0
二、11.-112.2x2-x=0(答案不唯一)
x)2=49,解得x,=6,=-8(不合题意，舍去).
13.214.x2+7x-30=0
答：一个人每节课能手把手教会6名同学
20.解：(1)设方程的两个根分别为t,2.
21.解：(1)由题意，得AB=CD=xm,AC=BD,
15.-2或-316.x=1
利用根与系数的关系，得t+2t=6,t21=c,解
所以BD=7×(28+8+4)-x=(20-x)m.
三、解答题见“答案详解”
得t=2.所以c=2×4=8.所以c的值为8.
所以x(20-x)=75,解得x,=15,x2=5.
答案详解
(2)由(x-3)(ax-b)=0,解得x,=3,x2=
因为AF=8m,所以x>8.所以x的值为15
三、17.(1)x=-3,x2=-1.
a
(2)生态园的面积能达到110m2.
(2x,=1-V41
1+√41
3a-2b
由题意，得BD=7×(28+8+4+2)-x=
x2
当2×3=女，即6=60时，a-6
(21-x)m.所以x(21-x)=110,解得x,=10,x2=11
18.解：(1)②
3a-2×6a=3v5
当CD的长为10m或11m时，生态园的面积能
(2)移项，得x2+6x=4.配方，得x2+6x+9=4+
a-6a
达到110m2.
22.(1)证明：由题意，知4=[-(2h+1)]2-:20%,x,=-2.2(不合题意，舍去).
4(2+)=1>0,所以无论k为何值，该方程总有两
答：月平均增长率是20%
m=3,解得m=2或m=-1
个不相等的实数根
(2)设每件的售价应降低y元，则每件的销售利
(2)解：因为x2-(2k+1)x+k2+k=0,解得x,=:
润为(100-y-60)元，每天的销售量为(20+2y)件.
因为a2+≥0，所以+=3
k+1,x2=k.
根据题意，得(100-y-60)(20+2y)=1200,整
3
7
当k+1=5.即k=4时，等腰三角形ABC的三边：理，得y2-30y+200=0,解得y,=10,y2=20.
所以30+36-1=3×3-1=
长为5,5,4，则△ABC的周长为5+5+4=14：当k=
因为要尽量减少库存，所以y=20.
(3)设最小的正整数为x,则x(x+1)(x+2)(x+
5时，等腰三角形ABC的三边长为5,5,6，则△ABC的
答：每件的售价应降低20元.
3)=24,即(x2+3x)(x2+3x+2)=24.
周长为5+5+6=16.
24.解：(1)设2x2+2y2=m,则(m+3)(m-3)=:
设x2+3x=y,则y2+2y-24=0,解得y1=-6,
综上所述，△ABC的周长为14或16
27,所以m2-9=27,解得m=±6.
3=4.
23解：(1)设月平均增长率是x。
因为2x2+232≥0，所以2x2+2y2=6,即x2+y2=3.
因为x为正整数，所以x2+3x=4,解得x,=1,
根据题意，得5(1+x)2=7.2,解得x1=02=
(2)设a2+b=m,则m(2m-1)=3,所以2m2-:x2=-4(舍去).所以这四个连续正整数为1,2,3,4.

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