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湖南省长沙市长郡雨花外国语学校2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试题
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（2025九上·长沙开学考） 下列实数、、、、、中，无理数的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： 是有理数；
是无理数；
故选： B.
【分析】根据无限不循环小数是无理数，无理数的常见形式：“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有π的数， ③形如0.1010010001 (每两个1增加一个0)”解答即可.
2．（2025九上·长沙开学考）2021年2月20日，党史学习教育动员大会在北京召开.习近平总书记号召全党同志要以优异成绩迎接建党一百周年.中央组织部党内统计数据显示，截至2021年6月5日，中国共产党党员总数约为95150000人.将95150000用科学记数法表示为（　　）
A． 0.9515×107 B．0.9515×108
C．9.515×107 D．9.515×108
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题可得：
故答案为：C.
【分析】利用科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n等于原数的整数数位减1，据此即可得出答案.
3．（2025九上·长沙开学考） 下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： 与 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
故此选项不符合题意；
故此选项符合题意；
故此选项不符合题意；
故选： C.
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除法则逐项判断解答即可.
4．（2025九上·长沙开学考）若，则下列不等式中不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．∵，不等式两边同时加2，不等号方向不变，∴，故A不符合题意；
B．∵，不等式两边同时乘以-2，-2＜0，不等号方向改变，∴，故B符合题意；
C．∵，不等式两边同时加-2，不等号方向不变，∴，故C不符合题意；
D．∵，不等式两边同时乘以，＞0，不等号方向不变，∴，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
5．（2025九上·长沙开学考） 如图，，，依次是的高、中线和角平分线，下列选项中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解： ∵CF是 '的中线，
，故A正确，不符合题意；
∵AD是 的高，
故B正确，不符合题意；
∵BE是 角平分线，
故D正确，不符合题意；
∵CF是 中线，不是角平分线，
∴无法得出 故C无法得出，符合题意；
故选： C.
【分析】根据三角形的高线、中线和角平分线的定义——判定即可.
6．（2025九上·长沙开学考） 如图，平分，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵OD平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠BOD， ∠AOD =∠BOD，
∵∠AOC =∠AOD+∠COD=∠BOD+∠COD，∠BOC=∠BOD-∠COD， ∠AOC=2∠BOC，
∴∠BOD+∠COD=2(∠BOD-∠COD)，
∵∠COD=20°，
∴∠BOD+20°=2(∠BOD-20°)，
∴∠BOD+20°=2∠BOD-40°，
∴∠BOD=60°，
∴∠AOB=2∠BOD=2×60°=120°.
故选： C.
【分析】根据题意，OD平分∠AOB，由角平分线的定义可得： ∠AOB=2∠BOD， ∠AOD=∠BOD， 再根据∠AOC=∠AOD+∠COD=∠BOD+∠COD，∠BOC =∠BOD-∠COD， ∠AOC=2∠BOC， 可得∠BOD+∠COD=2(∠BOD-∠COD)， 结合∠COD =20°， 进而得出∠BOD的度数，即可得出答案.
7．（2025九上·长沙开学考）关于的一元二次方程解的情况分析正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
∵，
∴方程始终有两个不相等的实数根，
故选：A．
【分析】计算根的判别式，根据判断方程根的情况解答即可．
8．（2025九上·长沙开学考） 如图是古诗《登飞来峰》，如果“云”用表示，“千”用表示，那么“升”可以表示为（　　）
登 飞 来 峰
飞 来 山 上 千 寻 塔 ，
闻 说 鸡 鸣 见 日 升 ，
不 畏 浮 云 遮 望 眼 ，
自 缘 身 在 最 高 层 ．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：∵“云”用表示，“千”用表示，
∴“缘”的位置为(0，0)，
则“升”可以表示为(5，2)，
故选：B.
【分析】根据“云”和“千”的坐标，可确定坐标原点，即可解答.
9．（2025九上·长沙开学考）算法统宗里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？如果设李三公家的店有x间客房，来了y个房客，则可以列出的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得：
故选：A.
【分析】根据一房七客多七客，一房九客一房空，列出二元一次方程组即可.
10．（2025九上·长沙开学考）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①抛物线与轴有2个交点，
，所以①正确；
②图象开口向下，得，
对称轴，
，
图象与轴的交点在轴的上方，得，
，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线，
，
，所以③正确；
④抛物线对称轴为直线，图象与轴的一个交点为，
图象与轴的另一个交点为，
当时，，
，故④错误；
⑤二次函数的图象过，，
方程的解是，，故⑤正确．
故选：C．
【分析】利用抛物线与轴的交点个数判断①；利用二次函数的开口方向确定的值，利用对称轴确定的值，利用二次函数的图象与轴的位置确定的值判断②；利用对称轴是直线得到a和b的关系判断③；根据时，判断④；根据抛物线的对称性求出另一个交点判断⑤解答即可．
二、填空题（共18分）
11．（2025九上·长沙开学考）因式分解：x2-4x=　 　 。
【答案】x(x-4)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 解：x2-4x= x(x-4)；
故答案为：x(x-4).
【分析】提取公因式x， 分解因式即可。
12．（2025九上·长沙开学考）已知x，y都是实数，且，则y=　 　.
【答案】4
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
将代入，
得：，
故答案为：4.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式组，求解得出x的值，再代入求出y的值.
13．（2025九上·长沙开学考） 若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式x-a>0，得：
解不等式3x-4<5，得：x<3，
∵不等式组有解，
故答案为：a<3.
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有解，利用口诀：大小小大中间找可得关于a的不等式，解之即可.
14．（2025九上·长沙开学考） 若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；坐标与图形变化﹣对称；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵点M(2m-1，1+m)关于y轴的对称点.M'，
∴点M'(-2m+1，1+m)，
又∵点M'(-2m+1，1+m)在第二象限，
且1+m>0，
解得
故答案为：
【分析】根据关于y轴对称两个点的坐标关系可求出点. 的坐标，再根据点M'所在的象限，确定m的取值范围即可.
15．（2025九上·长沙开学考）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么　 　．
【答案】15
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：
故答案为：15.
【分析】根据新定义代入，先计算算术平方根，再计算加法即可.
16．（2025九上·长沙开学考）甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前2天完成任务；④甲、乙两队所挖管道长度相差100米时，x=6．正确的有：　 　．
【答案】①②③
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：横坐标为挖掘时间x（天），纵坐标为所挖管道长度y（米），
由甲的图象知，（6，600）表示甲队挖掘6天，所挖管道长度为600米，6天完成任务，则甲队每天挖100米．①正确；
由乙的图象知，（2，300）表示乙队前2天挖了300米，（6，500）表示乙队第6天时，所挖管道长度为500米，第2-6天的4天内，共挖管道500-300=200（米），平均每天挖200÷4=50（米/天）．②正确；
乙队完成任务所用的时间=6+（100÷50）=8天，则甲队比乙队提前完成任务的天数=8-6=2（天）．③正确；
甲队第二天是所挖管道长度为200米，此时乙队所挖管道长度为300米，相差100米；由图像知，当x=6时，乙两队所挖管道长度相差100米．由此得出，甲、乙两队所挖管道长度相差100米时，x=2或6．④错误．
故答案为：①②③．
【分析】根据图象提取相关信息，根据工程总量=工作效率×工作时间逐项判断解答即可．
三、解答题（共72分）
17．（2025九上·长沙开学考） 计算：．
【答案】解： 原式
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再计算加减即可得解.
18．（2025九上·长沙开学考）
（1）解不等式组：．
（2）解方程：．
【答案】（1）解：解不等式3(x-1)<5x+1得：x>-2，
解不等式 得：
∴不等式组的解集为

（2）解：
或x-4=0，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
(2)利用因式分解法解一元二次方程即可得解.
19．（2025九上·长沙开学考） 先化简：，然后从－2，－1，0，1中选一个你喜欢的x的值，代入求代数式的值．
【答案】解：原式
=x+1，
且x≠0，
∴x可以取-2，
当x=-2时，
原式=-2+1=-1.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，再根据分式有意义的条件，选取合适的x的值，代入求值.
20．（2025九上·长沙开学考） 2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“已已如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生春晚观看方式（A：平板观看；B：手机观看；C：电视观看；D：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）这次随机抽取的学生共有 ▲ 人，并将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为　 　；
（3）该校九年级共有学生900人，请估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？
【答案】（1）解：10；
补全条形统计图如下图所示.
（2）
（3）解：∵C手机观看所占百分比为 该校九年级共有学生900人，
∴估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有 ×900=225(人)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1） ∵条形统计图中A的人数为12，扇形统计图中A所占百分比为30%，∴这次随机抽取的学生的总人数为
∴C的人数为440-12-12-4=10.
(2)∵B手机观看所占百分比为
∴扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为
【分析】(1)根据条形统计图中A的人数与扇形统计图中A所占百分比可求出样本容量，再求出C的人数，并补全条形统计图.
(2)先求出B所占百分比，再用 乘以B所占的百分比即可.
(3)先求出C所占百分比，再用900乘以C所占百分比，可估算出所要求的人数.
21．（2025九上·长沙开学考） 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值．
【答案】（1）证明： >0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的一个根为x=0，
解得
∵m是正数，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】(1)求出判别式 +8>0，据此可得答案；
(2)将x=0代入方程，解关于m的方程可得m的值.
22．（2025九上·长沙开学考）如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵点是的中点，∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，即，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，，∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形的面积为．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）得到四边形为平行四边形，然后利用菱形的性质得到，即可得到结论；
（2）根据矩形的性质求得，然后利用菱形的性质、勾股定理得到的长，再利用菱形的面积公式解答即可．
23．（2025九上·长沙开学考）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚．
（1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率；
（2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】（1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意，得．
解得（不合题意，舍去）．
答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，
根据题意，得，
整理得，
解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）．
答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设销售量的月平均增长率为x，根据“2月份到4月份销售量从256变成400”列方程解答即可；
（2）设该款徽章降价m元，根据总利润为=单利润×销售量列方程解答即可．
（1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意，得．
解得（不合题意，舍去）．
答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，
根据题意，得，
整理得，
解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）．
答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．
24．（2025九上·长沙开学考）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程”
（1）在①，②，③三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有　 　（填序号）；
（2）若关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”．
①求a的取值范围；
②直接写出代数式的最大值．
【答案】（1）②③
（2）解：①∵关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的"伴随方程"，
∴
∵一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的"伴随方程"，
∴
综上所述：
②7
【知识点】解一元一次不等式；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）
解得：
解三个一元一次方程得：①②③
由伴随方程的定义可知：②③为一元一次不等式的"伴随方程"，
故答案为：②③.
（2）②由（1）知：
当时，原式=
当时，原式有最大值为：7，
当原式=
当时，原式有最大值为：5，
∴综上所述， 代数式的最大值为7.
【分析】（1）先解出一元一次不等式和三个一元一次方程的解，再根据"伴随方程"的定义即可解答；
（2）①先根据题干：关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的"伴随方程"求出a的取值范围，再根据题干：一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的"伴随方程"求出a的取值范围，再求出两个取值范围的公共解集即可；
②分情况去掉绝对值，即可求解.
25．（2025九上·长沙开学考） 已知二次函数图象的顶点是，且经过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点．
①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解；
②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：依题意，
解得
∴二次函数的解析式为
（2）解：①依题意m=2，即该一次函数的解析式为y=kx+2(k≠0)，
将x=2代入 得y=5，
即点B的坐标为(2，5)，
代入y=kx+2，得
即一次函数的解析式为
由 解得A点横坐标为
依题意，C，D横坐标分别与A，B横坐标相同，所以
由图象可知不等式( 解为 <2，
②设 则 ，
将y=kx+2代入 得 ，
则
解得
依题意得
∴
所以，
即 的值为定值，且该定值为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)①首先求出一次函数的解析式为 然后和抛物线联立求出A点横坐标为 得到CD 进而求解即可；
②设 则 0) 将y=kx+2代入 得 求出 然后表示出 得到 =-1，进而求解即可.
1 / 1湖南省长沙市长郡雨花外国语学校2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试题
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（2025九上·长沙开学考） 下列实数、、、、、中，无理数的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2025九上·长沙开学考）2021年2月20日，党史学习教育动员大会在北京召开.习近平总书记号召全党同志要以优异成绩迎接建党一百周年.中央组织部党内统计数据显示，截至2021年6月5日，中国共产党党员总数约为95150000人.将95150000用科学记数法表示为（　　）
A． 0.9515×107 B．0.9515×108
C．9.515×107 D．9.515×108
3．（2025九上·长沙开学考） 下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九上·长沙开学考）若，则下列不等式中不成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·长沙开学考） 如图，，，依次是的高、中线和角平分线，下列选项中错误的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025九上·长沙开学考） 如图，平分，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·长沙开学考）关于的一元二次方程解的情况分析正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
8．（2025九上·长沙开学考） 如图是古诗《登飞来峰》，如果“云”用表示，“千”用表示，那么“升”可以表示为（　　）
登 飞 来 峰
飞 来 山 上 千 寻 塔 ，
闻 说 鸡 鸣 见 日 升 ，
不 畏 浮 云 遮 望 眼 ，
自 缘 身 在 最 高 层 ．
A． B． C． D．
9．（2025九上·长沙开学考）算法统宗里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？如果设李三公家的店有x间客房，来了y个房客，则可以列出的方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025九上·长沙开学考）二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；⑤的解为，．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
二、填空题（共18分）
11．（2025九上·长沙开学考）因式分解：x2-4x=　 　 。
12．（2025九上·长沙开学考）已知x，y都是实数，且，则y=　 　.
13．（2025九上·长沙开学考） 若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是　 　．
14．（2025九上·长沙开学考） 若点关于轴的对称点在第二象限，则的取值范围是 　 　．
15．（2025九上·长沙开学考）用“*”表示一种新运算：对于任意正实数，都有，例如，那么　 　．
16．（2025九上·长沙开学考）甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．则下列说法中：①甲队每天挖100米；②乙队开挖2天后，每天挖50米；③甲队比乙队提前2天完成任务；④甲、乙两队所挖管道长度相差100米时，x=6．正确的有：　 　．
三、解答题（共72分）
17．（2025九上·长沙开学考） 计算：．
18．（2025九上·长沙开学考）
（1）解不等式组：．
（2）解方程：．
19．（2025九上·长沙开学考） 先化简：，然后从－2，－1，0，1中选一个你喜欢的x的值，代入求代数式的值．
20．（2025九上·长沙开学考） 2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“已已如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生春晚观看方式（A：平板观看；B：手机观看；C：电视观看；D：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）这次随机抽取的学生共有 ▲ 人，并将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为　 　；
（3）该校九年级共有学生900人，请估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？
21．（2025九上·长沙开学考） 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值．
22．（2025九上·长沙开学考）如图，菱形中，对角线交于点，点是的中点，延长到点，使，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求菱形的面积．
23．（2025九上·长沙开学考）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚．
（1）求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率；
（2）从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？
24．（2025九上·长沙开学考）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”．如：一元一次方程的解为，而一元一次不等式的解集为，不难发现在范围内，则一元一次方程是一元一次不等式的“伴随方程”
（1）在①，②，③三个一元一次方程中，是一元一次不等式的“伴随方程”的有　 　（填序号）；
（2）若关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的“伴随方程”，且一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的“伴随方程”．
①求a的取值范围；
②直接写出代数式的最大值．
25．（2025九上·长沙开学考） 已知二次函数图象的顶点是，且经过点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）一次函数的图象经过点，与二次函数的图象交于A，B两点点在点的左侧），过点，分别作轴于点，轴于点．
①若点横坐标为2，求的长，并直接写出不等式的解；
②分别用，，，表示，，的面积，则的值是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： 是有理数；
是无理数；
故选： B.
【分析】根据无限不循环小数是无理数，无理数的常见形式：“①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有π的数， ③形如0.1010010001 (每两个1增加一个0)”解答即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题可得：
故答案为：C.
【分析】利用科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n等于原数的整数数位减1，据此即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： 与 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；
故此选项不符合题意；
故此选项符合题意；
故此选项不符合题意；
故选： C.
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除法则逐项判断解答即可.
4．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．∵，不等式两边同时加2，不等号方向不变，∴，故A不符合题意；
B．∵，不等式两边同时乘以-2，-2＜0，不等号方向改变，∴，故B符合题意；
C．∵，不等式两边同时加-2，不等号方向不变，∴，故C不符合题意；
D．∵，不等式两边同时乘以，＞0，不等号方向不变，∴，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】不等式的基本性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数（或式子），不等号方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变；据此判断即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【解答】解： ∵CF是 '的中线，
，故A正确，不符合题意；
∵AD是 的高，
故B正确，不符合题意；
∵BE是 角平分线，
故D正确，不符合题意；
∵CF是 中线，不是角平分线，
∴无法得出 故C无法得出，符合题意；
故选： C.
【分析】根据三角形的高线、中线和角平分线的定义——判定即可.
6．【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵OD平分∠AOB，
∴∠AOB=2∠BOD， ∠AOD =∠BOD，
∵∠AOC =∠AOD+∠COD=∠BOD+∠COD，∠BOC=∠BOD-∠COD， ∠AOC=2∠BOC，
∴∠BOD+∠COD=2(∠BOD-∠COD)，
∵∠COD=20°，
∴∠BOD+20°=2(∠BOD-20°)，
∴∠BOD+20°=2∠BOD-40°，
∴∠BOD=60°，
∴∠AOB=2∠BOD=2×60°=120°.
故选： C.
【分析】根据题意，OD平分∠AOB，由角平分线的定义可得： ∠AOB=2∠BOD， ∠AOD=∠BOD， 再根据∠AOC=∠AOD+∠COD=∠BOD+∠COD，∠BOC =∠BOD-∠COD， ∠AOC=2∠BOC， 可得∠BOD+∠COD=2(∠BOD-∠COD)， 结合∠COD =20°， 进而得出∠BOD的度数，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：
∵，
∴方程始终有两个不相等的实数根，
故选：A．
【分析】计算根的判别式，根据判断方程根的情况解答即可．
8．【答案】B
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：∵“云”用表示，“千”用表示，
∴“缘”的位置为(0，0)，
则“升”可以表示为(5，2)，
故选：B.
【分析】根据“云”和“千”的坐标，可确定坐标原点，即可解答.
9．【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：由题意得：
故选：A.
【分析】根据一房七客多七客，一房九客一房空，列出二元一次方程组即可.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①抛物线与轴有2个交点，
，所以①正确；
②图象开口向下，得，
对称轴，
，
图象与轴的交点在轴的上方，得，
，故②正确；
③抛物线的对称轴为直线，
，
，所以③正确；
④抛物线对称轴为直线，图象与轴的一个交点为，
图象与轴的另一个交点为，
当时，，
，故④错误；
⑤二次函数的图象过，，
方程的解是，，故⑤正确．
故选：C．
【分析】利用抛物线与轴的交点个数判断①；利用二次函数的开口方向确定的值，利用对称轴确定的值，利用二次函数的图象与轴的位置确定的值判断②；利用对称轴是直线得到a和b的关系判断③；根据时，判断④；根据抛物线的对称性求出另一个交点判断⑤解答即可．
11．【答案】x(x-4)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 解：x2-4x= x(x-4)；
故答案为：x(x-4).
【分析】提取公因式x， 分解因式即可。
12．【答案】4
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
将代入，
得：，
故答案为：4.
【分析】根据二次根式的被开方数不能为负数列出不等式组，求解得出x的值，再代入求出y的值.
13．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式x-a>0，得：
解不等式3x-4<5，得：x<3，
∵不等式组有解，
故答案为：a<3.
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有解，利用口诀：大小小大中间找可得关于a的不等式，解之即可.
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；坐标与图形变化﹣对称；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵点M(2m-1，1+m)关于y轴的对称点.M'，
∴点M'(-2m+1，1+m)，
又∵点M'(-2m+1，1+m)在第二象限，
且1+m>0，
解得
故答案为：
【分析】根据关于y轴对称两个点的坐标关系可求出点. 的坐标，再根据点M'所在的象限，确定m的取值范围即可.
15．【答案】15
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：
故答案为：15.
【分析】根据新定义代入，先计算算术平方根，再计算加法即可.
16．【答案】①②③
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：横坐标为挖掘时间x（天），纵坐标为所挖管道长度y（米），
由甲的图象知，（6，600）表示甲队挖掘6天，所挖管道长度为600米，6天完成任务，则甲队每天挖100米．①正确；
由乙的图象知，（2，300）表示乙队前2天挖了300米，（6，500）表示乙队第6天时，所挖管道长度为500米，第2-6天的4天内，共挖管道500-300=200（米），平均每天挖200÷4=50（米/天）．②正确；
乙队完成任务所用的时间=6+（100÷50）=8天，则甲队比乙队提前完成任务的天数=8-6=2（天）．③正确；
甲队第二天是所挖管道长度为200米，此时乙队所挖管道长度为300米，相差100米；由图像知，当x=6时，乙两队所挖管道长度相差100米．由此得出，甲、乙两队所挖管道长度相差100米时，x=2或6．④错误．
故答案为：①②③．
【分析】根据图象提取相关信息，根据工程总量=工作效率×工作时间逐项判断解答即可．
17．【答案】解： 原式
【知识点】零指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再计算加减即可得解.
18．【答案】（1）解：解不等式3(x-1)<5x+1得：x>-2，
解不等式 得：
∴不等式组的解集为

（2）解：
或x-4=0，
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
(2)利用因式分解法解一元二次方程即可得解.
19．【答案】解：原式
=x+1，
且x≠0，
∴x可以取-2，
当x=-2时，
原式=-2+1=-1.
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，再根据分式有意义的条件，选取合适的x的值，代入求值.
20．【答案】（1）解：10；
补全条形统计图如下图所示.
（2）
（3）解：∵C手机观看所占百分比为 该校九年级共有学生900人，
∴估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有 ×900=225(人)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1） ∵条形统计图中A的人数为12，扇形统计图中A所占百分比为30%，∴这次随机抽取的学生的总人数为
∴C的人数为440-12-12-4=10.
(2)∵B手机观看所占百分比为
∴扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为
【分析】(1)根据条形统计图中A的人数与扇形统计图中A所占百分比可求出样本容量，再求出C的人数，并补全条形统计图.
(2)先求出B所占百分比，再用 乘以B所占的百分比即可.
(3)先求出C所占百分比，再用900乘以C所占百分比，可估算出所要求的人数.
21．【答案】（1）证明： >0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵该方程的一个根为x=0，
解得
∵m是正数，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【分析】(1)求出判别式 +8>0，据此可得答案；
(2)将x=0代入方程，解关于m的方程可得m的值.
22．【答案】（1）证明：∵点是的中点，∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，即，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，，∴，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形的面积为．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）得到四边形为平行四边形，然后利用菱形的性质得到，即可得到结论；
（2）根据矩形的性质求得，然后利用菱形的性质、勾股定理得到的长，再利用菱形的面积公式解答即可．
23．【答案】（1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意，得．
解得（不合题意，舍去）．
答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，
根据题意，得，
整理得，
解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）．
答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设销售量的月平均增长率为x，根据“2月份到4月份销售量从256变成400”列方程解答即可；
（2）设该款徽章降价m元，根据总利润为=单利润×销售量列方程解答即可．
（1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意，得．
解得（不合题意，舍去）．
答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，
根据题意，得，
整理得，
解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）．
答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．
24．【答案】（1）②③
（2）解：①∵关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的"伴随方程"，
∴
∵一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的"伴随方程"，
∴
综上所述：
②7
【知识点】解一元一次不等式；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）
解得：
解三个一元一次方程得：①②③
由伴随方程的定义可知：②③为一元一次不等式的"伴随方程"，
故答案为：②③.
（2）②由（1）知：
当时，原式=
当时，原式有最大值为：7，
当原式=
当时，原式有最大值为：5，
∴综上所述， 代数式的最大值为7.
【分析】（1）先解出一元一次不等式和三个一元一次方程的解，再根据"伴随方程"的定义即可解答；
（2）①先根据题干：关于x的一元一次方程是关于x一元一次不等式的"伴随方程"求出a的取值范围，再根据题干：一元一次方程不是关于x的一元一次不等式的"伴随方程"求出a的取值范围，再求出两个取值范围的公共解集即可；
②分情况去掉绝对值，即可求解.
25．【答案】（1）解：依题意，
解得
∴二次函数的解析式为
（2）解：①依题意m=2，即该一次函数的解析式为y=kx+2(k≠0)，
将x=2代入 得y=5，
即点B的坐标为(2，5)，
代入y=kx+2，得
即一次函数的解析式为
由 解得A点横坐标为
依题意，C，D横坐标分别与A，B横坐标相同，所以
由图象可知不等式( 解为 <2，
②设 则 ，
将y=kx+2代入 得 ，
则
解得
依题意得
∴
所以，
即 的值为定值，且该定值为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)①首先求出一次函数的解析式为 然后和抛物线联立求出A点横坐标为 得到CD 进而求解即可；
②设 则 0) 将y=kx+2代入 得 求出 然后表示出 得到 =-1，进而求解即可.
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