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湖南省衡阳市船山实验中学2025-2026学年九年级上学期入学考试数学试题
1．（2025九上·衡阳开学考） 若分式的值为0，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·衡阳开学考）石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.000 000 00034米，将0.000 000 000 34用科学记数法表示为 （　　)
A． B． C． D．
3．（2025九上·衡阳开学考） 如图是上海今年春节七天最高气温（）的统计结果，这七天最高气温的众数和中位数是（　　）
A．15，17 B．17，17 C．17，14 D．17，15
4．（2025九上·衡阳开学考） 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·衡阳开学考） 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2025九上·衡阳开学考） 已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九上·衡阳开学考） 若a，b为实数，且，则的平方根是（　　）
A．36 B．6 C． D．
8．（2025九上·衡阳开学考） 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的大小为（　　）
A．33度 B．34度 C．57度 D．67度
9．（2025九上·衡阳开学考） 如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为（　　）
A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．0.6
10．（2025九上·衡阳开学考） 在矩形中，，，，分别是边，的中点，于点，的延长线交于点，则的长是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·衡阳开学考） 计算：　 　．
12．（2025九上·衡阳开学考） 函数y=中，自变量x的取值范围是　 　．
13．（2025九上·衡阳开学考） 张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系用如图的线段表示，那么一箱汽油可供汽车行驶　 　小时．
14．（2025九上·衡阳开学考） 如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若，则的值为　 　．
15．（2025九上·衡阳开学考） 把方程写成一般形式为　 　．
16．（2025九上·衡阳开学考）若关于x的分式方程有增根，则的值是 　 　．
17．（2025九上·衡阳开学考） 小林想要计算一组数据的方差．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去，得到一组新数据．记这组新数据的方差为，则　 　．(填“>”，“<”或“=”)
18．（2025九上·衡阳开学考） 如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，，组成一条平滑的曲线，其中，，，…，在每一段半圆上均有靠近直径端点的两个四等分点，，则点的坐标为　 　．
19．（2025九上·衡阳开学考） 计算：．
20．（2025九上·衡阳开学考） 解下列方程：
（1）；
（2）．
21．（2025九上·衡阳开学考） 已知一次函数的图象经过点，，与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求一次函数的表达式及的面积；
（2）将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过，则m的值为　 　．
22．（2025九上·衡阳开学考） 如图，在平行四边形中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，，求点D到的距离．
23．（2025九上·衡阳开学考） 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出时的取值范围；
（3）在轴上取一点，当的面积为3时，求点的坐标．
24．（2025九上·衡阳开学考） 某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划．
（1）“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价；
（2）“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本．不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元，销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，设A图书进货m本，请写出m的取值范围，并用含m的式子表示书店此时的利润W（元）；
（3）在（2）的条件下，书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？
25．（2025九上·衡阳开学考） 如图，四边形为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是．点D，E分别在，边上，且，将矩形沿直线折叠，使点落在边上点处．
（1）F点的坐标为 ▲ ，并求出线段的长；
（2）若点P在第二象限，且四边形是矩形，求P点的坐标；
（3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点N的坐标．
26．（2025九上·衡阳开学考） 【问题探究】
综合实践课上，老师给出这样一个问题要求同学们进行小组合作探究：
如图①，在中，，点在边上，．探究图中线段之间的数量关系．
小红同学这一个学习小组探究此问题的方法是：
将绕点逆时针旋转，得到，连接（如图②），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及，可证，得．即可得出之间的数量关系．
（1）请你根据小红同学这一学习小组的探究方法，写出探究结论：
在图②中，　 　度，之间的数量关系是　 　．
（2）【问题延伸】
小明同学这一学习小组在上述探究的基础上，又进行了如下问题的探究：
如图③，在正方形中，点分别是边上的动点，连接交于，若．请你帮小明同学这一学习小组完成如下猜想：
①线段的数量关系是 ▲ ；
②线段的数量关系是 ▲ ；
请任选一个你的猜想说明理由．
（3）【问题解决】
请根据上述探究方法，解决如下问题：如图④，已知点，点，点位于轴正半轴，，试求出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：分式的值为0，
∴，
解得x=-2，
故答案为：A.
【分析】根据分式值为0的条件分子为0，而分母不为0解答即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000 000 000 34=3.4×10- 。
故答案为：C.
【分析】根据小于1的书的科学记数法的规范写法，正确表示出来即可。
3．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：把这组数据按照温度从低到高排列为8，9，11，14，15，17，17，处在最中间的数据为14，出现次数最多的数据为17，
∴这七天最高气温的众数和中位数是17，14，
故答案为：C.
【分析】根据中位数和众数的定义“众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数”求解即可。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 为分式方程，所以A选项不符合题意.
为一元二次方程，所以B选项符合题意；
是一元三次方程，所以C选项不符合题意；
D、xy=4是二元二次方程，所以D选项不符合题意；
故答案为： B.
【分析】根据一元二次方程的定义“只含一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程是一元二次方程”逐项进行判断.
5．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【解答】设点P关于原点的对称点是点P'.
∵点 与点P'关于原点对称，
∴点P'的坐标为
∴点P'在第四象限.
故答案为： D.
【分析】点P与点P'关于原点对称，两点的横、纵坐标互为相反数解答即可.
6．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵ 点在第二象限，
∴k<0，b>0，
∴k-2<0，b+1>0，
∴ 一次函数的图象经过一、二、四象限，
故答案为：A.
【分析】根据点的坐标得到k<0，b>0，进而得到k-2<0，b+1>0，即可判断一次函数经过的象限解答即可.
7．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：根据题意得b-3≥0，6-2b≤0，
解得b=3，a=12，
∴的平方根是 ，
故答案为：D.
【分析】先根据二次根式的被开方数为非负数得到b=3，a=12，然后代入，利用平方根的定义解答即可.
8．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠ABD=，
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-66°=114°，
∴∠ABO=57°，
又∵OE⊥AB，
∴∠OEB=90°，
∴∠BOE=90°-∠OBE=90°-57°=33°，
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质得到∠ABC的度数，进而得到∠ABO的度数，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】如图，连接OE，∵四边形ABCD是平行四边形，AC=6，
=3， OB=OD，
= 6，
∵AB⊥AC，
∴∠OAB=90°，
∴OD=5，
∵点E是AD中点，
∵EF⊥BD，
∴OD·EF=6，
即5EF=6，
故答案为： A.
【分析】连接OE，由平行四边形的性质得OA=3，OB=OD，进而求出 再由勾股定理得OB=5，则OD =5，然后由三角形面积公式求出EF的长即可.
10．【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长DE，CB交于点H，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=2.5，
∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠DCH=90°，
∴∠DAB=∠ABH，∠ADE=∠H，
∴△ADE≌△BHE，
∴AD=BH=3，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠EDC，
∴tan∠AED=tan∠EDC，即，
设DP=5a，则PC=6a，
又∵PC⊥DH，
∴∠PDC+∠PCD=∠HCP+∠PCD=90°，
∴∠HCP=∠PDC，
∴tan∠HCP=tan∠PDC，即，
∴，解得，
又∵AD∥BC，
∴∠ADP=∠H，∠DGP=∠GBH，
∴△DGP∽△HBP，
∴，即，
解得DG=，
故答案为：A.
【分析】延长DE，CB交于点H，则可得到△ADE≌△BHE，即可得到AD=BH=3，然后根据平行线的性质和直角三角形的两锐角互余可得∠AED=∠EDC=∠HCP，根据正切设DP=5a，则PC=6a，求出，然后证明△DGP∽△HBP，根据对应边成比例解答即可.
11．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据二次根式的加减法运算法则解答即可.
12．【答案】x＞－2
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵ 函数y= 有意义，
∴x+2>0，
解得x>-2，
故答案为：x>-2.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0解答即可.
13．【答案】
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设y与t的函数关系式为y=kx+b(k、b为常数， 且k≠0).
将坐标(0，25)和(2，10)分别代入y=kx+b，
得
解得
∴y与t的函数关系式为
当y=0时，得
解得
∴一箱汽油可供汽车行驶 小时.
故答案为：
【分析】利用待定系数法求出y与t的函数关系式，将y=0代入该函数关系式，求出对应x的值即可.
14．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：如图设AB与y轴交于点C，
由条件可知：
，
故答案为：6.
【分析】用反比例函数比例系数k的代数式分别表示， 的面积，利用 求解即可.
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：
2x-x2=3
x2-2x+3=0，
故答案为：.
【分析】去括号，移项，把二次项系数化为正数解答即可.
16．【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
方程两边都乘，
得，
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，，
故答案为：．
【分析】先两边同时乘以x-4得到整式方程，将增根代入求出m的值即可．
17．【答案】=
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上 (或都减去)同一个常数后，它的平均数都加上 (或都减去)这一个常数，两数进行相减，方差不变，
故答案为：=.
【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.
18．【答案】
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵
由题意可知， 为半圆 上靠近直径左端点的四等分点，
半圆 上靠近直径左端点的四等分点
半圆 上靠近直径左端点的四等分点
半圆 上靠近直径左端点的四等分点
半圆上靠近直径左端点的四等分点
，
半圆 上靠近直径左端点的四等分点
故答案为：.
【分析】根据题意得到规律，然后代入数值计算解答即可.
19．【答案】解：
=5.
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算乘方、绝对值、负整数指数次幂，化简二次根式，然后去括号，合并同类二次根式解答即可.
20．【答案】（1）解：
x+3=4或x+3=-4
x=4-3=1或x=-4-3=-7
（2）解：
(x-5)(x-5-2)=0
(x-5)(x-7)=0
x-5=0或x-7=0
x=5或x=7
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）运用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.
21．【答案】（1）解：设一次函数表达式为y = kx+b(k≠0)，
∵一次函数的图象经过点(1，-1)， (2，1)，
解得
∴一次函数表达式为y =2x-3；
当y=0时， 2x-3=0，
解得
当x =0时， y = 2x-3 = - 3，
∴B(0，-3)，
∴OB=3，
∴△OAB的面积
（2）4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】(2)解：一次函数的图象平移后的解析式为y =2x-3+m，
将点(-2，-3)代入， 得-4-3+m=-3，
解得m=4，
故答案为：4.
【分析】(1)利用待定系数法求解析式，然后分别求出点A和点B坐标，进一步求△AOB的面积即可；
(2)将点(-2，-3)代入平移后的解析式y = 2x-3+m，即可求出m的值.
22．【答案】（1）证明：∵点E和点F是直线BD上的两点且DE=BF，
∴DE+DB=BF+BD，
∴BE = DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD， AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF， ∠AEB=∠CFD，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）解：设点D到AF的距离为h，
∵AD⊥BD， AB=5， AD =BC =3，
∴∠ADB=90°，
∴点D到AF的距离是
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由DE=BF， 推导出BE= DF， 由平行四边形的性质得AB∥CD，AB=CD，则∠ABE=∠CDF， 即可根据“SAS”证明△ABE≌△CDF，得AE=CF， ∠AEB=∠CFD， 所以AE∥CF， 则四边形AECF是平行四边形；
(2)设点D到AF的距离为h， 由∠ADB=90°， AB=5， AD=BC=3， 求得BD=4， 则2BF+4=FE=8， 所以BF=2， 则DF =6， 求得A 由 ，求得 值即可.
23．【答案】（1）解：∵点A(1，2)和B(-2，a)在反比例函数 的图象上，
∴反比例函数的解析式为
∵点A(1，2)和B(-2，-1)在一次函数 (k≠0)图象上，
， 解得
∴一次函数解析式为y=x+1.
（2）解：如图，
由图可知，不等式 时x的取值范围为： x<0或x≥1.

（3）解：由一次函数解析式y=x+1可知M(0，1)， 设点N的坐标为(0，n)，根据题意得：
解得n=7或-5.
∴N(0，7)或((0，-5).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法分别求出两个函数解析式即可；
(2)根据图象直接写出不等式的解集即可；
(3)设点N的坐标为(0，n)，根据题意得到关于n的方程解得n-7或-5..即可得到点N的坐标.
24．【答案】（1）解：设A图书标价x元，B图书标价y元.
由题意得：
解得
答：A图书标价27元，B图书标价25元；
（2）解：依题意， 设购进A图书m本， B图书(200-m)本， 利润为W元.
则W=(27-20-1.5)m+(25-18)(200-m)
=5.5m+7(200-m)
=-1.5m+1400，
∵A图书不少于40本.不多于60本，
∴40≤m≤60；
（3）解：依题意， W =-1.5m+1400(40≤m≤60)；
∵-1.5<0
∴W随m的增大而减小，
∵40≤m≤60，
∴当m=40时， W最大值为-1.5×40+1400 =1340 (元) ， 200-40 =160 (本) ，
答：购进A图书40本，B图书160本，利润最大，且为1340元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设A图书标价x元，B图书标价y元，根据“购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元”列出二元一次方程组，解方程组即可得解；
(2) 设购进A图书m本， B图书(200-m)本， 利润为W元.根据题意得出W关于m的关系式；
(3)根据一次函数的性质即可得解.
25．【答案】（1）解： ∵矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上， 且B(4，7)，
=4，
且CE：EB=5：3，
由折叠得，
∴F(4，5).
如图1，过D作 交AB于H，
则四边形OAHD， DHBC为矩形，
设OD长为x， 则.AH=OD=x，
=7-x，
∴在 中，
由折叠可知(CD=DF，
解得：x=2，

（2）解：如图2， 连结PF交DE于点G，
由 (1) 得，
∵四边形PEFD是矩形，
∴点G分别为DE、PF的中点，
∴点D的横坐标为 纵坐标为
设P(m，n)， 则 n，
（3） 解： 由 (1) 得，AF=5，OD=2，BF=2，OC=7，
由折叠得，DF=CD=OC-OD=7-2=5=AF，
①当DF、DN为菱形的边时，则DN=DF=FM=MN=5，
∵点N在y轴上， 点F在AB上，
∴如图3，当点M与点A重合时，此时满足四边形DNMF为菱形，
则.
如图4，当点N与点C重合时，此时满足四边形NDFM为菱形，
则N(0，7)；
②当DF为菱形的边，DN为菱形的对角线时，如图5， 四边形MDFN为菱形，
连结FM，交DN于点K，则四边形CKFB为矩形，
∵四边形MDFN为菱形，
∴FM垂直平分DN，
∴N(0，8)；
②当DF为菱形的对角线，DN为菱形的边时，如图
6， 四边形MDNF是菱形，
设DN=FN=DM=FM=r，
图6
作于点H，则
由 得 解得，
综上所述， N(0，-3)， N(0，7)， N(0，8)， N

【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】(1) 由BC=4，且CE：EB=5：3，求出CE、BE的长，再由折叠的特征求出EF的长，由勾股定理求出BF的长即可得到点F的坐标；过D作B交AB于H， 设OD长为x， 由折叠知(CD=DF，以此为等量关系列方程即可求得OD长度.
(2) 连结CF、PF分别交DE于点Q、G， 由Q为CF的中点，可求出点Q的坐标，用待定系数法求直线DE的解析式，得到点D的坐标，再由点G分别为DE、PF的中点求出点P的坐标；
(3)以点M、N、D、F为顶点的四边形是菱形，则 而点N在y轴上，点 F在AB上，可知点M在直线AB上， 由F(4，5)、D(0，2)以及折叠得，DF=CD=AF，按以DF为菱形的边或对角线分类讨论，求出对应的点N的坐标即可.
26．【答案】（1）；
（2）解：①，②
（3）解：如图， 在y轴正半轴上截取OD=OE=OA， 连接AD， AE， 则∠ADO=∠AEO=∠BAC =45°
由(1) 得(
∵点A(-6，0)，点B(0，-3)，
CD=9-CD，
解得(CD=4，
则点C坐标为(0，2).
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】(1)解：∵在Rt△ABC中， ∠BAC =90°， AB = AC，∴∠ACB =∠ABC =45°，
由旋转性质得∠ACF =∠ABD =45°， ∠CAF =∠BAD， CF= BD， AF = AD，
∴∠FCE=∠ACF+∠ACB =90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠CAE+∠BAD = 45°，则∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠BAD+∠CAE= 45°，
∴∠FAE=∠DAE，
又∵AF = AD， AE = AE，
∴△FAE=△DAE(SAS)，
则EF = DE，
在Rt△CEF中，
故答案为：
(2)解：猜想： =EF；
选择猜想 (i)，证明过程同 (1)过程可得；
选择猜想 (ii)，证明过程如下：
∵四边形ABCD是正方形，
如图，将 绕点B逆时针旋转9 得到
则
则G、D、F、C共线，
∵∠EAF =45°，
∴∠DAF+∠DAG=∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠GAF=∠EAF，
又∵AG=AE， AF= AF，
∴△GAF≌△EAF(SAS)，
∴GF =EF，
∵DG+DF=GF，
∴BE+DF=EF；
故答案为： = EF；(3)
【分析】(1)根据小红组的研究方法写出求解过程即可；
(2)猜想 (i)可由 (1)得到结论，仿照 (1)过程证明；选择猜想 (ii)证明，根据正方形性质和旋转性质可将 绕点B逆时针旋转 得到 ， 证明G、D、F、C共线， (SAS)， 得到DG=BE，GF=EF，进而可得结论；
(3)在y轴正半轴上截取(OD=OE=OA，连接AD， AE， 利用 (1) 中结论知 根据坐标与图形性质得到(OA=6，OB=3，进而得到BE=3，BC=9-CD，由 求得(CD=4，则OC=2，即可求解.
1 / 1湖南省衡阳市船山实验中学2025-2026学年九年级上学期入学考试数学试题
1．（2025九上·衡阳开学考） 若分式的值为0，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：分式的值为0，
∴，
解得x=-2，
故答案为：A.
【分析】根据分式值为0的条件分子为0，而分母不为0解答即可.
2．（2025九上·衡阳开学考）石墨烯是目前世界上最薄却最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.000 000 00034米，将0.000 000 000 34用科学记数法表示为 （　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.000 000 000 34=3.4×10- 。
故答案为：C.
【分析】根据小于1的书的科学记数法的规范写法，正确表示出来即可。
3．（2025九上·衡阳开学考） 如图是上海今年春节七天最高气温（）的统计结果，这七天最高气温的众数和中位数是（　　）
A．15，17 B．17，17 C．17，14 D．17，15
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：把这组数据按照温度从低到高排列为8，9，11，14，15，17，17，处在最中间的数据为14，出现次数最多的数据为17，
∴这七天最高气温的众数和中位数是17，14，
故答案为：C.
【分析】根据中位数和众数的定义“众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数”求解即可。
4．（2025九上·衡阳开学考） 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解： 为分式方程，所以A选项不符合题意.
为一元二次方程，所以B选项符合题意；
是一元三次方程，所以C选项不符合题意；
D、xy=4是二元二次方程，所以D选项不符合题意；
故答案为： B.
【分析】根据一元二次方程的定义“只含一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程是一元二次方程”逐项进行判断.
5．（2025九上·衡阳开学考） 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【解答】设点P关于原点的对称点是点P'.
∵点 与点P'关于原点对称，
∴点P'的坐标为
∴点P'在第四象限.
故答案为： D.
【分析】点P与点P'关于原点对称，两点的横、纵坐标互为相反数解答即可.
6．（2025九上·衡阳开学考） 已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系；正比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵ 点在第二象限，
∴k<0，b>0，
∴k-2<0，b+1>0，
∴ 一次函数的图象经过一、二、四象限，
故答案为：A.
【分析】根据点的坐标得到k<0，b>0，进而得到k-2<0，b+1>0，即可判断一次函数经过的象限解答即可.
7．（2025九上·衡阳开学考） 若a，b为实数，且，则的平方根是（　　）
A．36 B．6 C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：根据题意得b-3≥0，6-2b≤0，
解得b=3，a=12，
∴的平方根是 ，
故答案为：D.
【分析】先根据二次根式的被开方数为非负数得到b=3，a=12，然后代入，利用平方根的定义解答即可.
8．（2025九上·衡阳开学考） 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，，垂足为E，若，则的大小为（　　）
A．33度 B．34度 C．57度 D．67度
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠ABD=，
∴∠ABC=180°-∠BCD=180°-66°=114°，
∴∠ABO=57°，
又∵OE⊥AB，
∴∠OEB=90°，
∴∠BOE=90°-∠OBE=90°-57°=33°，
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质得到∠ABC的度数，进而得到∠ABO的度数，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可.
9．（2025九上·衡阳开学考） 如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为（　　）
A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．0.6
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】如图，连接OE，∵四边形ABCD是平行四边形，AC=6，
=3， OB=OD，
= 6，
∵AB⊥AC，
∴∠OAB=90°，
∴OD=5，
∵点E是AD中点，
∵EF⊥BD，
∴OD·EF=6，
即5EF=6，
故答案为： A.
【分析】连接OE，由平行四边形的性质得OA=3，OB=OD，进而求出 再由勾股定理得OB=5，则OD =5，然后由三角形面积公式求出EF的长即可.
10．（2025九上·衡阳开学考） 在矩形中，，，，分别是边，的中点，于点，的延长线交于点，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长DE，CB交于点H，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=2.5，
∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠DCH=90°，
∴∠DAB=∠ABH，∠ADE=∠H，
∴△ADE≌△BHE，
∴AD=BH=3，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠EDC，
∴tan∠AED=tan∠EDC，即，
设DP=5a，则PC=6a，
又∵PC⊥DH，
∴∠PDC+∠PCD=∠HCP+∠PCD=90°，
∴∠HCP=∠PDC，
∴tan∠HCP=tan∠PDC，即，
∴，解得，
又∵AD∥BC，
∴∠ADP=∠H，∠DGP=∠GBH，
∴△DGP∽△HBP，
∴，即，
解得DG=，
故答案为：A.
【分析】延长DE，CB交于点H，则可得到△ADE≌△BHE，即可得到AD=BH=3，然后根据平行线的性质和直角三角形的两锐角互余可得∠AED=∠EDC=∠HCP，根据正切设DP=5a，则PC=6a，求出，然后证明△DGP∽△HBP，根据对应边成比例解答即可.
11．（2025九上·衡阳开学考） 计算：　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据二次根式的加减法运算法则解答即可.
12．（2025九上·衡阳开学考） 函数y=中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x＞－2
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：∵ 函数y= 有意义，
∴x+2>0，
解得x>-2，
故答案为：x>-2.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0解答即可.
13．（2025九上·衡阳开学考） 张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系用如图的线段表示，那么一箱汽油可供汽车行驶　 　小时．
【答案】
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设y与t的函数关系式为y=kx+b(k、b为常数， 且k≠0).
将坐标(0，25)和(2，10)分别代入y=kx+b，
得
解得
∴y与t的函数关系式为
当y=0时，得
解得
∴一箱汽油可供汽车行驶 小时.
故答案为：
【分析】利用待定系数法求出y与t的函数关系式，将y=0代入该函数关系式，求出对应x的值即可.
14．（2025九上·衡阳开学考） 如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若，则的值为　 　．
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的两曲一平行型
【解析】【解答】解：如图设AB与y轴交于点C，
由条件可知：
，
故答案为：6.
【分析】用反比例函数比例系数k的代数式分别表示， 的面积，利用 求解即可.
15．（2025九上·衡阳开学考） 把方程写成一般形式为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：
2x-x2=3
x2-2x+3=0，
故答案为：.
【分析】去括号，移项，把二次项系数化为正数解答即可.
16．（2025九上·衡阳开学考）若关于x的分式方程有增根，则的值是 　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：，
方程两边都乘，
得，
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，，
故答案为：．
【分析】先两边同时乘以x-4得到整式方程，将增根代入求出m的值即可．
17．（2025九上·衡阳开学考） 小林想要计算一组数据的方差．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去，得到一组新数据．记这组新数据的方差为，则　 　．(填“>”，“<”或“=”)
【答案】=
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上 (或都减去)同一个常数后，它的平均数都加上 (或都减去)这一个常数，两数进行相减，方差不变，
故答案为：=.
【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.
18．（2025九上·衡阳开学考） 如图，在平面直角坐标系中，半径均为2个单位长度的半圆，，组成一条平滑的曲线，其中，，，…，在每一段半圆上均有靠近直径端点的两个四等分点，，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】用代数式表示数值变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵
由题意可知， 为半圆 上靠近直径左端点的四等分点，
半圆 上靠近直径左端点的四等分点
半圆 上靠近直径左端点的四等分点
半圆 上靠近直径左端点的四等分点
半圆上靠近直径左端点的四等分点
，
半圆 上靠近直径左端点的四等分点
故答案为：.
【分析】根据题意得到规律，然后代入数值计算解答即可.
19．（2025九上·衡阳开学考） 计算：．
【答案】解：
=5.
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算乘方、绝对值、负整数指数次幂，化简二次根式，然后去括号，合并同类二次根式解答即可.
20．（2025九上·衡阳开学考） 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
x+3=4或x+3=-4
x=4-3=1或x=-4-3=-7
（2）解：
(x-5)(x-5-2)=0
(x-5)(x-7)=0
x-5=0或x-7=0
x=5或x=7
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）运用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.
21．（2025九上·衡阳开学考） 已知一次函数的图象经过点，，与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求一次函数的表达式及的面积；
（2）将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过，则m的值为　 　．
【答案】（1）解：设一次函数表达式为y = kx+b(k≠0)，
∵一次函数的图象经过点(1，-1)， (2，1)，
解得
∴一次函数表达式为y =2x-3；
当y=0时， 2x-3=0，
解得
当x =0时， y = 2x-3 = - 3，
∴B(0，-3)，
∴OB=3，
∴△OAB的面积
（2）4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】(2)解：一次函数的图象平移后的解析式为y =2x-3+m，
将点(-2，-3)代入， 得-4-3+m=-3，
解得m=4，
故答案为：4.
【分析】(1)利用待定系数法求解析式，然后分别求出点A和点B坐标，进一步求△AOB的面积即可；
(2)将点(-2，-3)代入平移后的解析式y = 2x-3+m，即可求出m的值.
22．（2025九上·衡阳开学考） 如图，在平行四边形中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，，求点D到的距离．
【答案】（1）证明：∵点E和点F是直线BD上的两点且DE=BF，
∴DE+DB=BF+BD，
∴BE = DF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD， AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴AE=CF， ∠AEB=∠CFD，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）解：设点D到AF的距离为h，
∵AD⊥BD， AB=5， AD =BC =3，
∴∠ADB=90°，
∴点D到AF的距离是
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由DE=BF， 推导出BE= DF， 由平行四边形的性质得AB∥CD，AB=CD，则∠ABE=∠CDF， 即可根据“SAS”证明△ABE≌△CDF，得AE=CF， ∠AEB=∠CFD， 所以AE∥CF， 则四边形AECF是平行四边形；
(2)设点D到AF的距离为h， 由∠ADB=90°， AB=5， AD=BC=3， 求得BD=4， 则2BF+4=FE=8， 所以BF=2， 则DF =6， 求得A 由 ，求得 值即可.
23．（2025九上·衡阳开学考） 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直接写出时的取值范围；
（3）在轴上取一点，当的面积为3时，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵点A(1，2)和B(-2，a)在反比例函数 的图象上，
∴反比例函数的解析式为
∵点A(1，2)和B(-2，-1)在一次函数 (k≠0)图象上，
， 解得
∴一次函数解析式为y=x+1.
（2）解：如图，
由图可知，不等式 时x的取值范围为： x<0或x≥1.

（3）解：由一次函数解析式y=x+1可知M(0，1)， 设点N的坐标为(0，n)，根据题意得：
解得n=7或-5.
∴N(0，7)或((0，-5).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法分别求出两个函数解析式即可；
(2)根据图象直接写出不等式的解集即可；
(3)设点N的坐标为(0，n)，根据题意得到关于n的方程解得n-7或-5..即可得到点N的坐标.
24．（2025九上·衡阳开学考） 某书店在“读书节”之前，图书按标价销售，在“读书节”期间制定了活动计划．
（1）“读书节”之前小明发现：购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元，请求出A、B图书的标价；
（2）“读书节”期间书店计划购进A、B图书共200本，且A图书不少于40本．不多于60本，A、B两种图书进价分别为20元、18元，销售时准备A图书每本降价1.5元，B图书价格不变，设A图书进货m本，请写出m的取值范围，并用含m的式子表示书店此时的利润W（元）；
（3）在（2）的条件下，书店如何进货才能使利润最大，最大是多少？
【答案】（1）解：设A图书标价x元，B图书标价y元.
由题意得：
解得
答：A图书标价27元，B图书标价25元；
（2）解：依题意， 设购进A图书m本， B图书(200-m)本， 利润为W元.
则W=(27-20-1.5)m+(25-18)(200-m)
=5.5m+7(200-m)
=-1.5m+1400，
∵A图书不少于40本.不多于60本，
∴40≤m≤60；
（3）解：依题意， W =-1.5m+1400(40≤m≤60)；
∵-1.5<0
∴W随m的增大而减小，
∵40≤m≤60，
∴当m=40时， W最大值为-1.5×40+1400 =1340 (元) ， 200-40 =160 (本) ，
答：购进A图书40本，B图书160本，利润最大，且为1340元.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设A图书标价x元，B图书标价y元，根据“购买5本A图书和8本B图书共花335元，购买10本A图书比购买6本B图书多花120元”列出二元一次方程组，解方程组即可得解；
(2) 设购进A图书m本， B图书(200-m)本， 利润为W元.根据题意得出W关于m的关系式；
(3)根据一次函数的性质即可得解.
25．（2025九上·衡阳开学考） 如图，四边形为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是．点D，E分别在，边上，且，将矩形沿直线折叠，使点落在边上点处．
（1）F点的坐标为 ▲ ，并求出线段的长；
（2）若点P在第二象限，且四边形是矩形，求P点的坐标；
（3）若M是坐标系内的点，点N在y轴上，若以点M，N，D，F为顶点的四边形是菱形，请直接写出所有满足条件的点N的坐标．
【答案】（1）解： ∵矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上， 且B(4，7)，
=4，
且CE：EB=5：3，
由折叠得，
∴F(4，5).
如图1，过D作 交AB于H，
则四边形OAHD， DHBC为矩形，
设OD长为x， 则.AH=OD=x，
=7-x，
∴在 中，
由折叠可知(CD=DF，
解得：x=2，

（2）解：如图2， 连结PF交DE于点G，
由 (1) 得，
∵四边形PEFD是矩形，
∴点G分别为DE、PF的中点，
∴点D的横坐标为 纵坐标为
设P(m，n)， 则 n，
（3） 解： 由 (1) 得，AF=5，OD=2，BF=2，OC=7，
由折叠得，DF=CD=OC-OD=7-2=5=AF，
①当DF、DN为菱形的边时，则DN=DF=FM=MN=5，
∵点N在y轴上， 点F在AB上，
∴如图3，当点M与点A重合时，此时满足四边形DNMF为菱形，
则.
如图4，当点N与点C重合时，此时满足四边形NDFM为菱形，
则N(0，7)；
②当DF为菱形的边，DN为菱形的对角线时，如图5， 四边形MDFN为菱形，
连结FM，交DN于点K，则四边形CKFB为矩形，
∵四边形MDFN为菱形，
∴FM垂直平分DN，
∴N(0，8)；
②当DF为菱形的对角线，DN为菱形的边时，如图
6， 四边形MDNF是菱形，
设DN=FN=DM=FM=r，
图6
作于点H，则
由 得 解得，
综上所述， N(0，-3)， N(0，7)， N(0，8)， N

【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】(1) 由BC=4，且CE：EB=5：3，求出CE、BE的长，再由折叠的特征求出EF的长，由勾股定理求出BF的长即可得到点F的坐标；过D作B交AB于H， 设OD长为x， 由折叠知(CD=DF，以此为等量关系列方程即可求得OD长度.
(2) 连结CF、PF分别交DE于点Q、G， 由Q为CF的中点，可求出点Q的坐标，用待定系数法求直线DE的解析式，得到点D的坐标，再由点G分别为DE、PF的中点求出点P的坐标；
(3)以点M、N、D、F为顶点的四边形是菱形，则 而点N在y轴上，点 F在AB上，可知点M在直线AB上， 由F(4，5)、D(0，2)以及折叠得，DF=CD=AF，按以DF为菱形的边或对角线分类讨论，求出对应的点N的坐标即可.
26．（2025九上·衡阳开学考） 【问题探究】
综合实践课上，老师给出这样一个问题要求同学们进行小组合作探究：
如图①，在中，，点在边上，．探究图中线段之间的数量关系．
小红同学这一个学习小组探究此问题的方法是：
将绕点逆时针旋转，得到，连接（如图②），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及，可证，得．即可得出之间的数量关系．
（1）请你根据小红同学这一学习小组的探究方法，写出探究结论：
在图②中，　 　度，之间的数量关系是　 　．
（2）【问题延伸】
小明同学这一学习小组在上述探究的基础上，又进行了如下问题的探究：
如图③，在正方形中，点分别是边上的动点，连接交于，若．请你帮小明同学这一学习小组完成如下猜想：
①线段的数量关系是 ▲ ；
②线段的数量关系是 ▲ ；
请任选一个你的猜想说明理由．
（3）【问题解决】
请根据上述探究方法，解决如下问题：如图④，已知点，点，点位于轴正半轴，，试求出点的坐标．
【答案】（1）；
（2）解：①，②
（3）解：如图， 在y轴正半轴上截取OD=OE=OA， 连接AD， AE， 则∠ADO=∠AEO=∠BAC =45°
由(1) 得(
∵点A(-6，0)，点B(0，-3)，
CD=9-CD，
解得(CD=4，
则点C坐标为(0，2).
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】(1)解：∵在Rt△ABC中， ∠BAC =90°， AB = AC，∴∠ACB =∠ABC =45°，
由旋转性质得∠ACF =∠ABD =45°， ∠CAF =∠BAD， CF= BD， AF = AD，
∴∠FCE=∠ACF+∠ACB =90°，
∵∠DAE=45°，
∴∠CAE+∠BAD = 45°，则∠FAE=∠CAF+∠CAE=∠BAD+∠CAE= 45°，
∴∠FAE=∠DAE，
又∵AF = AD， AE = AE，
∴△FAE=△DAE(SAS)，
则EF = DE，
在Rt△CEF中，
故答案为：
(2)解：猜想： =EF；
选择猜想 (i)，证明过程同 (1)过程可得；
选择猜想 (ii)，证明过程如下：
∵四边形ABCD是正方形，
如图，将 绕点B逆时针旋转9 得到
则
则G、D、F、C共线，
∵∠EAF =45°，
∴∠DAF+∠DAG=∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠GAF=∠EAF，
又∵AG=AE， AF= AF，
∴△GAF≌△EAF(SAS)，
∴GF =EF，
∵DG+DF=GF，
∴BE+DF=EF；
故答案为： = EF；(3)
【分析】(1)根据小红组的研究方法写出求解过程即可；
(2)猜想 (i)可由 (1)得到结论，仿照 (1)过程证明；选择猜想 (ii)证明，根据正方形性质和旋转性质可将 绕点B逆时针旋转 得到 ， 证明G、D、F、C共线， (SAS)， 得到DG=BE，GF=EF，进而可得结论；
(3)在y轴正半轴上截取(OD=OE=OA，连接AD， AE， 利用 (1) 中结论知 根据坐标与图形性质得到(OA=6，OB=3，进而得到BE=3，BC=9-CD，由 求得(CD=4，则OC=2，即可求解.
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