资源简介

湖南省长沙市北雅中学2025-2026学年上学期八年级入学数学试卷
1．（2025八上·长沙开学考）把无理数表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·长沙开学考）若a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a+b＜2b B．a-c＜b+c C．ac＜bc D．
3．（2025八上·长沙开学考）下列等式正确的是（　　）
A．=-3 B．=±12 C．=-2 D．-=-5
4．（2025八上·长沙开学考）每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，为了解某校800名初三学生的睡眠时间，从17个班级中抽取100名学生进行调查，下列说法正确的是（　　）
A．800名学生是总体 B．100是样本容量
C．17个班级是抽取的一个样本 D．每名学生是个体
5．（2025八上·长沙开学考）有4根长度分别为2、4、6、7的木条，从中任意选出三根，其中能构成三角形的有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
6．（2025八上·长沙开学考）如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC=△BFA，则需添加的条件是（　　）
A．EC=FA B．DC=BA C．∠D=∠B D．∠DCE=∠BAF
7．（2025八上·长沙开学考）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八上·长沙开学考）俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以O为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后，点A恰好落在点B（3，1）处，则上方的方块移动前点A所在位置的坐标为（　　）
A．（4，7） B．（5，6） C．（5，7） D．（7，5）
9．（2025八上·长沙开学考）过一点画已知直线的平行线（　　）
A．有且只有一条 B．不存在
C．有两条 D．不存在或有且只有一条
10．（2025八上·长沙开学考）已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AE=（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE-S△BCE=S△ADC．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2025八上·长沙开学考）如图，这是小明同学在体育课上跳远测量的方法，其中蕴含的数学道理是　 　．
12．（2025八上·长沙开学考）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为　 　．
13．（2025八上·长沙开学考）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于　 　．
14．（2025八上·长沙开学考）一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠B=∠D=25°，判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了.量得∠BCD=140°，这个零件　 　（填“合格”或“不合格”）.
15．（2025八上·长沙开学考）若关于x，y的方程组的解x与y互为相反数，则k的值为　 　.
16．（2025八上·长沙开学考）已知关于x的不等式组的解集是-1＜x＜1，则（a+1）（b-1）= 　 　.
17．（2025八上·长沙开学考）计算：.
18．（2025八上·长沙开学考）求下列各式中x的值：
（1）；
（2）（x-2）2=169.
19．（2025八上·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）将△ABC平移得到△A1B1C1，其中A的对应点是A1（2，1）；
（1）写出点B，C的对应点B1，C1的坐标：B1　 　，C1　 　；
（2）在图中画出△A1B1C1；
（3）设点P在x轴上，且△BCP的面积等于△ABC的面积，求出点P的坐标.
20．（2025八上·长沙开学考）请将下列证明过程补充完整：如图，已知CD⊥AB，GF⊥AB，∠1=∠2，求证：∠FEC+∠ECB=180°.
证明：∵CD⊥AB，GF⊥AB　 　 ；
∴∠CDF=∠GFB=90° 　 　 ；
∴CD∥ 　 　 （同位角相等，两直线平行）；
∴∠FGB=∠2 　 　 ；
∵∠1=∠2（已知）；
∴∠1= 　 　 ；
∴EF∥BC　 　 ；
∴∠FEC+∠ECB=180° 　 　 ；
21．（2025八上·长沙开学考）如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．
（1）求证：△ABH≌△DEG；
（2）求证：CE＝FB．
22．（2025八上·长沙开学考）我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃，若用380元可购进A种娃娃7件，B种娃娃8件；用340元可购进A种娃娃11件，B种娃娃4件.
（1）求A、B两种娃娃的进价分别为多少？
（2）若每件A种娃娃售价为25元，每件B种娃娃售价为37元，某商店准备用不超过900元购进A、B两种娃娃40件，且这两种娃娃全部售出后总获利不低于216元，问共有几种方案并求出利润最大值？
23．（2025八上·长沙开学考）
（1）如图1，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFC的度数；
（2）如图2，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=42°，
①求∠CAB的度数；
②求∠CAP的度数．
24．（2025八上·长沙开学考）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点P是第一象限内一动点.
（1）如图1，若动点P（a，b）满足|3a-9|+（3-b）2=0，求点P的坐标；
（2）如图2，在第（1）问的条件下，且PA⊥PB，
①求点B的坐标；
②当∠APB=∠CPD，求OD-OC的值.
（3）如图3，若OA=OA'，且BM⊥PA'，若动点P满足∠APA'=2∠OBA'，问：的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其值.
25．（2025八上·长沙开学考）我们约定：不等式组m＜x＜n，m＜x≤n，m≤x＜n，m≤x≤n的“长度”均为d=n-m，（m＜n），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”.例如：-2＜x≤2的“长度”d=2-（-2）=4，“整点”为x=-1，0，1，2.根据该约定，解答下列问题：
（1）不等式组的“长度”d= 　 　；“整点”为　 　；
（2）若不等式组的“长度”d=2，求a的取值范围；
（3）若不等式组的“长度，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵；，即；
；；
∴在这四个无理数中，被墨迹(如图所示)覆盖住的无理数是，
故答案为：C.
【分析】根据无理数的估算求出各个无理数的取值范围，由此即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.∵a∴a+b<2b，故A选项正确，符合题意；
B.∵a∴a-cC.∵a∴当c>0时，acbc，当c=0时，ac=bc，故C选项错误，不符合题意；
D.∵a∴当c>0时，，当c<0时，，故D选项错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据不等式的基本性质逐一进行分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；平方根的概念与表示；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：A、原式=|-3|=3，错误；
B、原式=12，错误；
C、原式没有意义，错误；
D、原式=-5、正确；
故答案为：D.
【分析】原式利用平方根定义及二次根式的性质判断即可得到结果.
4．【答案】B
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，为了解某校800名初三学生的睡眠时间，从17个班级中抽取100名学生进行调查，
A、800名学生的睡眠时间是总体，故本选项不合题意；
B、100是样本容量，故本选项符合题意；
C、从17个班级中抽取100名学生的睡眠时间是抽取的一个样本，故本选项不合题意；
D、每名学生的睡眠时间是个体，故本选项不合题意.
故答案为：B.
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目.
5．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：从中任意选出三根，有以下4种情况：
2、4、6，2、4、7，2、6、7，4、6、7，
2+4=6，不能构成三角形，
2-4<7，不能构成三角形，
2+6>7，能构成三角形，
4+6>7，能构成三角形，
∴其中能构成三角形的有2种，
故答案为：B.
【分析】先列出所有可能的三根木条组合，再根据三角形三边关系判断每种组合能否构成三角形，最后统计符合条件的组合数并分析选项.
6．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：在△ABF与△CDE中，DE=BF，
由DE⊥AC，BF⊥AC，可得∠BFA=∠DEC=90°，
∴添加DC=AB后，满足HL.
故选：B.
【分析】已知DE=BF，∠BFA=∠DEC=90”，具备了一直角边对应相等，故添加DC=BA后可根据HL判定△DEC △BFA.
7．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故答案为：B.
【分析】设该店有客房x间，房客y人， 根据一间客房住7人，那么有7人无房可住可得7x+7=y；根据一间客房住9人，那么就空出一间客房可得9(x-1)=y，联立可得方程组.
8．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点A先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后的位置为点B.
∴将点B(3，1)先向上移动6个格子，再向右移动2个格子后得到点A，
∴上方的方块移动前点A所在位置的坐标为(5，7)
综上所述，只有选项C正确，符合题意；
故选：C.
【分析】上下平移只改变点的纵坐标，上加下减：左右平移只改变点的横坐标，左减右加，据此求解即可.
9．【答案】D
【知识点】平行线的性质；作图-平行线
【解析】【解答】解：若点在直线上，过这点不能画已知直线的平行线；
若点在直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行．
故答案为：D．
【分析】本题考查了平行公理，实际解题中，要注意讨论点和直线的位置关系，分类讨论：即点在线上，点在线外两种情况。
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①在AE取点F，使EF=BE.
∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，
∴AB=AD+2BE=AF+2BE
∴AD=AF.
∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2(AF+EF)=2AE，
∴，故①正确；
②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF，
在△ACD与△ACF中，
∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，
∴△ACD≌△ACF
∴∠ADC=∠AFC
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB
∴∠CFB=∠B
又∵∠AFC+∠CFB=180°
∴∠ADC+∠B=180°
∴∠DAB+∠DCB=360°-(∠ADC+∠B)=180°
故②正确；
③由②知，△ACD≌△ACF，
∴CD=CF，
又∵CF=CB.
∴CD=CB，故③正确；
④易证△CEF≌△CEB
∴S△ACE-S△BCE=S△ACE-S△FCE=S△ACF，
又∵△ACD≌△ACF
∴S△ACF=S△ADC，
∴S△ACE-S△BCE=S△ADC，故④正确；
故答案为：D.
【分析】①在AE取点F，使EF=BE，利用已知条件AB=AD+2BE，可得AD=AF，进而证出；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF，先由SAS证明△ACD △ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB=∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；③根据全等三角形的对应边相等得出CD=CF，根据线段垂直平分线的性质性质得出CF=CB，从而CD=CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S△ACE-S△BCE=S△ADC.
11．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
12．【答案】八
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2） 180°=3×360°，
解得n=8，
∴这个多边形为八边形．
故答案为：八．
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2） 180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
13．【答案】5
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定
【解析】【解答】作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF=DE=2，
∴△BCE的面积
故答案为：5.
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得EF=DE，则△BCE的面积=可求解。
14．【答案】合格
【知识点】三角形的外角和
【解析】【解答】解：如图，连接AC并延长，由三角形的外角性质，
∵∠3=∠1+∠B，∠4=∠2+∠D
∴∠BCD=∠3+∠4=∠1+∠B+∠2+∠D
=∠A+∠B+∠D
=90°+25°+25°
=140°.
∵140°=140°
∴这个零件合格，
故答案为：合格.
【分析】连接AC并延长，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，∠4=∠2+∠D，再求出∠BCD即可进行判定.
15．【答案】1
【知识点】解二元一次方程组；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组的解x与y互为相反数，
∴x+y=0，
∴，
解得
把代入2x+y=k中，得k=2×1+(-1)=1.
故答案为：1.
【分析】先根据相反数定义得到x+y=0，联立该方程与原方程组中的第二个方程求出x、y的值，再代入第一个方程求出k的值.
16．【答案】-6
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，x>2b+3，
∵不等式的解集为 -1∴，2b+3=-1，
解得：a=1，b=-2，
∴(a+1)(b-1)=(1+1)(-2-1)=-6.
故答案为：-6.
【分析】先用a、b表示出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，然后根据-117．【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算立方根和算术平方根，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案.
18．【答案】（1）解：x2= 62，
x=±
（2）解：x-2=±13
x=15或x=-11
【知识点】利用开平方求未知数
【解析】【分析】(1)根据等式的性质以及平方根的定义进行计算即可；
(2)根据平方根的定义进行计算即可.
19．【答案】（1）（2，-4）；（-1，-1）
（2）解：将△ABC向右平移3个单位，向下平移4个单位，得到△A1B1C1，如图即为所求；
（3）解：设点P的坐标为(m，0)，
∵△BCP的面积等于△ABC的面积，
∴，
解得：m=4或m=-6，
∴点P的坐标为(4，0)或(-6，0).
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：(1)∵A(-1，5)，A(2，1)，
∴2-(-1)=3，1-5--4
∴将△ABC向右平移3个单位，向下平移4个单位，得到△A1B1C1，
∵B(-1，0)，C(-4，3)，
∴-1+3-2，0-4=-4，-4+3=-1，3-4=-1，
∴B1(2，-4)，C1(-1，-1)，
故答案为：(2，-4)；(-1，-1).
【分析】(1)由点A及其对应点的坐标，可得平移方式，从而可得点B，C的对应点B1，C1的坐标；
(2)根据A1，B1，C1的坐标，描点，连线，即可得△A1B1C1；
(3)根据x轴上的点的坐标特征，设出点P的坐标，由面积相等列方程，求解即可得点P的坐标.
20．【答案】已知；垂线的定义；GF；两直线平行，同位角相等；∠FGB；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，GF⊥AB(已知)
∴∠CDF=∠GFB=90°(垂线的定义)
∴CD//GF(同位角相等，两直线平行)
∴∠FGB=∠2(两直线平行，同位角相等)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠FGB(等量代换)
∴EF//BC(内错角相等，两直线平行)
∴∠FEC+∠ECB=180°(两直线平行，同旁内角互补)
故答案为：已知；垂线的定义；GF；两直线平行，同位角相等；∠FGB；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补.
【分析】先根据垂线的定义得到∠CDF=∠GFB=90°，即可证明CD//GF得到∠FGB=∠2，等量代换得到∠1=∠FGB则EF//BC，即可证明∠FEC+∠ECB=180°.
21．【答案】（1）证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠DEG＝∠ABH＝90°，
在Rt△ABH和Rt△DEG中，
∵，
∴Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）；
（2）解：∵Rt△ABH≌Rt△DEG（HL），
∴AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC＝EF，
∴CE＝FB．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得AB＝DE，再根据全等三角形判定定理可得△ABC≌△DEF（AAS），则BC＝EF，即CE＝FB，即可求出答案.
22．【答案】（1）解：设A、B进价分别为x元、y元．
，
∴；
答：A、B进价分别为20元、30元．
（2）解：设商店购进A种a件，
，
∴30≤a≤32；
当a=30，利润：5×30+7×10=220（元），
当a=31，利润：5×31+7×9=218元），
当a=32，利润：5×32+7×8=216（元），
答：共有3种方案，当购进A种30件，B种10件时，获得最大利润220元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)利用总价等于单价乘以数量的关系，设A种纪念品进价为x元，B种纪念品进价为y元，可列出两个关于x和y的方程组成方程组，进而求解即可；
(2)设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品(40-a)件，根据总进价不超过900元和总获利不低于216元列出不等式组，分别解不等式组中的两个不等式，求出a的取值范围，再根据a为整数确定具体取值，得到不同的购进方案，再分别计算各方案的总利润，比较得出最大利润.
23．【答案】（1）解：∵∠ABC=40°，∠A=60°，
∴∠ACB=80°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠FBC=∠ABC=20°，∠FCB=∠ACB=40°，
∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=120°；
（2）解：①在△ABC中，∠ACD=∠BAC+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD=∠BPC+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，
∴∠PCD=∠BPC+∠PBC=42°+∠ABC，
∴∠ACD=∠ABC+42°，
∴∠ACD-∠ABC=84°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=84°，
即∠CAB=84°．
②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，
∴PE=PG，PF=PG，
∴PE=PF，
∴AP平分∠CAE，
∴∠CAP=∠CAE=×（180°-84°）=48°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得，，再根据三角形内角和定理求出即可；
(2)①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠PCD=∠BPC+∠PCB，根据角平分线的定义可得，，然后整理得到，再代入数据计算即可得解；
②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，根据角平分线的性质与判定可得AP平分∠CAE，再根据角平分线的定义可求解.
24．【答案】（1）解：∵|3a-9|+(3-b)2=0，
又∵3a-9≥0，(3-b)≥0，
∴3a-9=0，3-b=0，
∴a=3，b=3，
∴P（3，3）
（2）解：①作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∵a=b= 3，
∴PE=PF=3，
∵∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE= PF，
∴四边形PEOF是正方形
∴∠EPF=∠APB=90°，PE=OF=3，
∴∠APE=∠BPF，
∵∠PEA=∠PFB=90°
∴△PEA △PFB(ASA)，
∴AE=FB，PA=PB，∠PAE=∠PBF，
∵A(0，2)，
∴OA=3，
∴AE=BF=1
∴OB=4
∴B（4，0）；
②如图，
∵∠PAE=∠PBF，
∴∠PAO=∠PBD
∵∠APB=∠CPD=90°，
∴∠APC=∠BPD
∵PA=PB，
∴△APC △BPD(ASA)，
∴AC= BD，
∴OD-OC=OB+BD-(AC-OA)=BO+OA=4+2=6
（3）解：的值不会变化，
理由如下：
作BE⊥AP交AP的延长线于E，AB交PA'于N，
∵OA=OA'，OBI AA'，
∴BA=BA'.
∴∠OBA=∠OBA'，
∵∠APA'=2∠OBA'
∴∠APN=∠A'BN，
∴∠EAB=∠BA'M
∵BM⊥PA'，BE⊥AE
∴∠A'MB=∠E=90°
∴△A'MB≌△AEB(AAS)
∴BE=BM，AE= A'M
∵PB=PB，∠BMP=∠E=90°
∴Rt△PBM≌Rt△PBE(HL)，
∴PM=PE，
∴PA'-PA=PM+A'M-(AE-PE)=2PM，
∴
【知识点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】(1)利用非负数的性质可得a=b=3，即可求出点P的坐标；
(2)①作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，证明四边形PEOF是正方形，可得∠EPF=∠APB=90°，PE=OF=3，再证明△PEA≌△PFB得AE=FB，PA=PB，从而可求OB=4；
②证明△APC≌△BPD(ASA)，可得AC=BD，进而可求OD-OC的值；
(2)作BE⊥AP交AP的延长线于E，AB交PA'于N.证明△A'MB≌△AEB，可得BE=BM，AE=AM，证明Rt△PBM≌Rt△PBE，推出PM=PE，由此即可解决问题.
25．【答案】（1）2；-1，0
（2）解：解不等式得(2a-1)x<8，
当2a-1>0时，即，
则不等式解为：
∵x的最大值为3，
∴，
解得：
当2a-1<0时，即
则不等式解为：
∵x的最小值为1，
∴a=0时，原不等式的“长度”满足题意，
综上所述：a的取值范围为或a=0
（3）解：存在，
理由如下：
解不等式组，
当时，不等式的解集为1≤x≤3，
∴d=2，不符合；
当时，不等式的解集为，
∵，
∴
解得：a=1，
当时，不等式的解集为a∴
解得，
当时，，不符合
当或a > 3，方程组无解，
综上所述，a=1，
∴不等式组为，
解得：m-1∵关于y的不等式组恰有4个“整点”，
∴3.5≤2m+1-(m-1)< 4.5，
解得：1.5≤m<2.5.
故m的取值范围是．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：(1)解不等式组得，得-1.5∴不等式组的“长度”d=0.5-(-1.5)=2，
整点”为x=-1，0.
故答案为：2；-1，0.
【分析】(1)解不等式组求解集，计算长度和整点；
(2)结合已知长度分析参数a的取值范围；
(3)通过解集长度求a，再代入不等式组求m的范围.
1 / 1湖南省长沙市北雅中学2025-2026学年上学期八年级入学数学试卷
1．（2025八上·长沙开学考）把无理数表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵；，即；
；；
∴在这四个无理数中，被墨迹(如图所示)覆盖住的无理数是，
故答案为：C.
【分析】根据无理数的估算求出各个无理数的取值范围，由此即可得出答案.
2．（2025八上·长沙开学考）若a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．a+b＜2b B．a-c＜b+c C．ac＜bc D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A.∵a∴a+b<2b，故A选项正确，符合题意；
B.∵a∴a-cC.∵a∴当c>0时，acbc，当c=0时，ac=bc，故C选项错误，不符合题意；
D.∵a∴当c>0时，，当c<0时，，故D选项错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据不等式的基本性质逐一进行分析判断即可.
3．（2025八上·长沙开学考）下列等式正确的是（　　）
A．=-3 B．=±12 C．=-2 D．-=-5
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；平方根的概念与表示；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：A、原式=|-3|=3，错误；
B、原式=12，错误；
C、原式没有意义，错误；
D、原式=-5、正确；
故答案为：D.
【分析】原式利用平方根定义及二次根式的性质判断即可得到结果.
4．（2025八上·长沙开学考）每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，为了解某校800名初三学生的睡眠时间，从17个班级中抽取100名学生进行调查，下列说法正确的是（　　）
A．800名学生是总体 B．100是样本容量
C．17个班级是抽取的一个样本 D．每名学生是个体
【答案】B
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，为了解某校800名初三学生的睡眠时间，从17个班级中抽取100名学生进行调查，
A、800名学生的睡眠时间是总体，故本选项不合题意；
B、100是样本容量，故本选项符合题意；
C、从17个班级中抽取100名学生的睡眠时间是抽取的一个样本，故本选项不合题意；
D、每名学生的睡眠时间是个体，故本选项不合题意.
故答案为：B.
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目.
5．（2025八上·长沙开学考）有4根长度分别为2、4、6、7的木条，从中任意选出三根，其中能构成三角形的有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：从中任意选出三根，有以下4种情况：
2、4、6，2、4、7，2、6、7，4、6、7，
2+4=6，不能构成三角形，
2-4<7，不能构成三角形，
2+6>7，能构成三角形，
4+6>7，能构成三角形，
∴其中能构成三角形的有2种，
故答案为：B.
【分析】先列出所有可能的三根木条组合，再根据三角形三边关系判断每种组合能否构成三角形，最后统计符合条件的组合数并分析选项.
6．（2025八上·长沙开学考）如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE=BF，若利用“HL”证明△DEC=△BFA，则需添加的条件是（　　）
A．EC=FA B．DC=BA C．∠D=∠B D．∠DCE=∠BAF
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：在△ABF与△CDE中，DE=BF，
由DE⊥AC，BF⊥AC，可得∠BFA=∠DEC=90°，
∴添加DC=AB后，满足HL.
故选：B.
【分析】已知DE=BF，∠BFA=∠DEC=90”，具备了一直角边对应相等，故添加DC=BA后可根据HL判定△DEC △BFA.
7．（2025八上·长沙开学考）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设该店有客房x间，房客y人；
根据题意得：，
故答案为：B.
【分析】设该店有客房x间，房客y人， 根据一间客房住7人，那么有7人无房可住可得7x+7=y；根据一间客房住9人，那么就空出一间客房可得9(x-1)=y，联立可得方程组.
8．（2025八上·长沙开学考）俄罗斯方块是一款经典休闲益智游戏，如图是小宇玩俄罗斯方块时某一时刻的截图，若在以O为原点建立的平面直角坐标系中，小宇将上方的方块先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后，点A恰好落在点B（3，1）处，则上方的方块移动前点A所在位置的坐标为（　　）
A．（4，7） B．（5，6） C．（5，7） D．（7，5）
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点A先向左移动2个格子，再向下移动6个格子后的位置为点B.
∴将点B(3，1)先向上移动6个格子，再向右移动2个格子后得到点A，
∴上方的方块移动前点A所在位置的坐标为(5，7)
综上所述，只有选项C正确，符合题意；
故选：C.
【分析】上下平移只改变点的纵坐标，上加下减：左右平移只改变点的横坐标，左减右加，据此求解即可.
9．（2025八上·长沙开学考）过一点画已知直线的平行线（　　）
A．有且只有一条 B．不存在
C．有两条 D．不存在或有且只有一条
【答案】D
【知识点】平行线的性质；作图-平行线
【解析】【解答】解：若点在直线上，过这点不能画已知直线的平行线；
若点在直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行．
故答案为：D．
【分析】本题考查了平行公理，实际解题中，要注意讨论点和直线的位置关系，分类讨论：即点在线上，点在线外两种情况。
10．（2025八上·长沙开学考）已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AE=（AB+AD）；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S△ACE-S△BCE=S△ADC．其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：①在AE取点F，使EF=BE.
∵AB=AD+2BE=AF+EF+BE，EF=BE，
∴AB=AD+2BE=AF+2BE
∴AD=AF.
∴AB+AD=AF+EF+BE+AD=2AF+2EF=2(AF+EF)=2AE，
∴，故①正确；
②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF，
在△ACD与△ACF中，
∵AD=AF，∠DAC=∠FAC，AC=AC，
∴△ACD≌△ACF
∴∠ADC=∠AFC
∵CE垂直平分BF，
∴CF=CB
∴∠CFB=∠B
又∵∠AFC+∠CFB=180°
∴∠ADC+∠B=180°
∴∠DAB+∠DCB=360°-(∠ADC+∠B)=180°
故②正确；
③由②知，△ACD≌△ACF，
∴CD=CF，
又∵CF=CB.
∴CD=CB，故③正确；
④易证△CEF≌△CEB
∴S△ACE-S△BCE=S△ACE-S△FCE=S△ACF，
又∵△ACD≌△ACF
∴S△ACF=S△ADC，
∴S△ACE-S△BCE=S△ADC，故④正确；
故答案为：D.
【分析】①在AE取点F，使EF=BE，利用已知条件AB=AD+2BE，可得AD=AF，进而证出；②在AB上取点F，使BE=EF，连接CF，先由SAS证明△ACD △ACF，得出∠ADC=∠AFC；再根据线段垂直平分线、等腰三角形的性质得出∠CFB=∠B；然后由邻补角定义及四边形的内角和定理得出∠DAB+∠DCB=180°；③根据全等三角形的对应边相等得出CD=CF，根据线段垂直平分线的性质性质得出CF=CB，从而CD=CB；④由于△CEF≌△CEB，△ACD≌△ACF，根据全等三角形的面积相等易证S△ACE-S△BCE=S△ADC.
11．（2025八上·长沙开学考）如图，这是小明同学在体育课上跳远测量的方法，其中蕴含的数学道理是　 　．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
12．（2025八上·长沙开学考）一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为　 　．
【答案】八
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2） 180°=3×360°，
解得n=8，
∴这个多边形为八边形．
故答案为：八．
【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2） 180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可．
13．（2025八上·长沙开学考）如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于　 　．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定
【解析】【解答】作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF=DE=2，
∴△BCE的面积
故答案为：5.
【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得EF=DE，则△BCE的面积=可求解。
14．（2025八上·长沙开学考）一个零件的形状如图，按规定∠A=90°，∠B=∠D=25°，判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了.量得∠BCD=140°，这个零件　 　（填“合格”或“不合格”）.
【答案】合格
【知识点】三角形的外角和
【解析】【解答】解：如图，连接AC并延长，由三角形的外角性质，
∵∠3=∠1+∠B，∠4=∠2+∠D
∴∠BCD=∠3+∠4=∠1+∠B+∠2+∠D
=∠A+∠B+∠D
=90°+25°+25°
=140°.
∵140°=140°
∴这个零件合格，
故答案为：合格.
【分析】连接AC并延长，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠3=∠1+∠B，∠4=∠2+∠D，再求出∠BCD即可进行判定.
15．（2025八上·长沙开学考）若关于x，y的方程组的解x与y互为相反数，则k的值为　 　.
【答案】1
【知识点】解二元一次方程组；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵关于x，y的方程组的解x与y互为相反数，
∴x+y=0，
∴，
解得
把代入2x+y=k中，得k=2×1+(-1)=1.
故答案为：1.
【分析】先根据相反数定义得到x+y=0，联立该方程与原方程组中的第二个方程求出x、y的值，再代入第一个方程求出k的值.
16．（2025八上·长沙开学考）已知关于x的不等式组的解集是-1＜x＜1，则（a+1）（b-1）= 　 　.
【答案】-6
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，x>2b+3，
∵不等式的解集为 -1∴，2b+3=-1，
解得：a=1，b=-2，
∴(a+1)(b-1)=(1+1)(-2-1)=-6.
故答案为：-6.
【分析】先用a、b表示出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，然后根据-117．（2025八上·长沙开学考）计算：.
【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算立方根和算术平方根，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案.
18．（2025八上·长沙开学考）求下列各式中x的值：
（1）；
（2）（x-2）2=169.
【答案】（1）解：x2= 62，
x=±
（2）解：x-2=±13
x=15或x=-11
【知识点】利用开平方求未知数
【解析】【分析】(1)根据等式的性质以及平方根的定义进行计算即可；
(2)根据平方根的定义进行计算即可.
19．（2025八上·长沙开学考）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）将△ABC平移得到△A1B1C1，其中A的对应点是A1（2，1）；
（1）写出点B，C的对应点B1，C1的坐标：B1　 　，C1　 　；
（2）在图中画出△A1B1C1；
（3）设点P在x轴上，且△BCP的面积等于△ABC的面积，求出点P的坐标.
【答案】（1）（2，-4）；（-1，-1）
（2）解：将△ABC向右平移3个单位，向下平移4个单位，得到△A1B1C1，如图即为所求；
（3）解：设点P的坐标为(m，0)，
∵△BCP的面积等于△ABC的面积，
∴，
解得：m=4或m=-6，
∴点P的坐标为(4，0)或(-6，0).
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：(1)∵A(-1，5)，A(2，1)，
∴2-(-1)=3，1-5--4
∴将△ABC向右平移3个单位，向下平移4个单位，得到△A1B1C1，
∵B(-1，0)，C(-4，3)，
∴-1+3-2，0-4=-4，-4+3=-1，3-4=-1，
∴B1(2，-4)，C1(-1，-1)，
故答案为：(2，-4)；(-1，-1).
【分析】(1)由点A及其对应点的坐标，可得平移方式，从而可得点B，C的对应点B1，C1的坐标；
(2)根据A1，B1，C1的坐标，描点，连线，即可得△A1B1C1；
(3)根据x轴上的点的坐标特征，设出点P的坐标，由面积相等列方程，求解即可得点P的坐标.
20．（2025八上·长沙开学考）请将下列证明过程补充完整：如图，已知CD⊥AB，GF⊥AB，∠1=∠2，求证：∠FEC+∠ECB=180°.
证明：∵CD⊥AB，GF⊥AB　 　 ；
∴∠CDF=∠GFB=90° 　 　 ；
∴CD∥ 　 　 （同位角相等，两直线平行）；
∴∠FGB=∠2 　 　 ；
∵∠1=∠2（已知）；
∴∠1= 　 　 ；
∴EF∥BC　 　 ；
∴∠FEC+∠ECB=180° 　 　 ；
【答案】已知；垂线的定义；GF；两直线平行，同位角相等；∠FGB；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，GF⊥AB(已知)
∴∠CDF=∠GFB=90°(垂线的定义)
∴CD//GF(同位角相等，两直线平行)
∴∠FGB=∠2(两直线平行，同位角相等)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1=∠FGB(等量代换)
∴EF//BC(内错角相等，两直线平行)
∴∠FEC+∠ECB=180°(两直线平行，同旁内角互补)
故答案为：已知；垂线的定义；GF；两直线平行，同位角相等；∠FGB；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补.
【分析】先根据垂线的定义得到∠CDF=∠GFB=90°，即可证明CD//GF得到∠FGB=∠2，等量代换得到∠1=∠FGB则EF//BC，即可证明∠FEC+∠ECB=180°.
21．（2025八上·长沙开学考）如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．
（1）求证：△ABH≌△DEG；
（2）求证：CE＝FB．
【答案】（1）证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠DEG＝∠ABH＝90°，
在Rt△ABH和Rt△DEG中，
∵，
∴Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）；
（2）解：∵Rt△ABH≌Rt△DEG（HL），
∴AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴BC＝EF，
∴CE＝FB．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得AB＝DE，再根据全等三角形判定定理可得△ABC≌△DEF（AAS），则BC＝EF，即CE＝FB，即可求出答案.
22．（2025八上·长沙开学考）我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了150亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃，若用380元可购进A种娃娃7件，B种娃娃8件；用340元可购进A种娃娃11件，B种娃娃4件.
（1）求A、B两种娃娃的进价分别为多少？
（2）若每件A种娃娃售价为25元，每件B种娃娃售价为37元，某商店准备用不超过900元购进A、B两种娃娃40件，且这两种娃娃全部售出后总获利不低于216元，问共有几种方案并求出利润最大值？
【答案】（1）解：设A、B进价分别为x元、y元．
，
∴；
答：A、B进价分别为20元、30元．
（2）解：设商店购进A种a件，
，
∴30≤a≤32；
当a=30，利润：5×30+7×10=220（元），
当a=31，利润：5×31+7×9=218元），
当a=32，利润：5×32+7×8=216（元），
答：共有3种方案，当购进A种30件，B种10件时，获得最大利润220元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)利用总价等于单价乘以数量的关系，设A种纪念品进价为x元，B种纪念品进价为y元，可列出两个关于x和y的方程组成方程组，进而求解即可；
(2)设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品(40-a)件，根据总进价不超过900元和总获利不低于216元列出不等式组，分别解不等式组中的两个不等式，求出a的取值范围，再根据a为整数确定具体取值，得到不同的购进方案，再分别计算各方案的总利润，比较得出最大利润.
23．（2025八上·长沙开学考）
（1）如图1，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=40°，∠A=60°，求∠BFC的度数；
（2）如图2，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=42°，
①求∠CAB的度数；
②求∠CAP的度数．
【答案】（1）解：∵∠ABC=40°，∠A=60°，
∴∠ACB=80°，
∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠FBC=∠ABC=20°，∠FCB=∠ACB=40°，
∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=120°；
（2）解：①在△ABC中，∠ACD=∠BAC+∠ABC，
在△PBC中，∠PCD=∠BPC+∠PBC，
∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACD的平分线，
∴∠PCD=∠ACD，∠PBC=∠ABC，
∴∠PCD=∠BPC+∠PBC=42°+∠ABC，
∴∠ACD=∠ABC+42°，
∴∠ACD-∠ABC=84°，
∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=84°，
即∠CAB=84°．
②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，
∴PE=PG，PF=PG，
∴PE=PF，
∴AP平分∠CAE，
∴∠CAP=∠CAE=×（180°-84°）=48°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义可得，，再根据三角形内角和定理求出即可；
(2)①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠PCD=∠BPC+∠PCB，根据角平分线的定义可得，，然后整理得到，再代入数据计算即可得解；
②作PE⊥BA于E，PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，根据角平分线的性质与判定可得AP平分∠CAE，再根据角平分线的定义可求解.
24．（2025八上·长沙开学考）已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），点P是第一象限内一动点.
（1）如图1，若动点P（a，b）满足|3a-9|+（3-b）2=0，求点P的坐标；
（2）如图2，在第（1）问的条件下，且PA⊥PB，
①求点B的坐标；
②当∠APB=∠CPD，求OD-OC的值.
（3）如图3，若OA=OA'，且BM⊥PA'，若动点P满足∠APA'=2∠OBA'，问：的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化，请求出其值.
【答案】（1）解：∵|3a-9|+(3-b)2=0，
又∵3a-9≥0，(3-b)≥0，
∴3a-9=0，3-b=0，
∴a=3，b=3，
∴P（3，3）
（2）解：①作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∵a=b= 3，
∴PE=PF=3，
∵∠PEO=∠PFO=∠EOF=90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∵PE= PF，
∴四边形PEOF是正方形
∴∠EPF=∠APB=90°，PE=OF=3，
∴∠APE=∠BPF，
∵∠PEA=∠PFB=90°
∴△PEA △PFB(ASA)，
∴AE=FB，PA=PB，∠PAE=∠PBF，
∵A(0，2)，
∴OA=3，
∴AE=BF=1
∴OB=4
∴B（4，0）；
②如图，
∵∠PAE=∠PBF，
∴∠PAO=∠PBD
∵∠APB=∠CPD=90°，
∴∠APC=∠BPD
∵PA=PB，
∴△APC △BPD(ASA)，
∴AC= BD，
∴OD-OC=OB+BD-(AC-OA)=BO+OA=4+2=6
（3）解：的值不会变化，
理由如下：
作BE⊥AP交AP的延长线于E，AB交PA'于N，
∵OA=OA'，OBI AA'，
∴BA=BA'.
∴∠OBA=∠OBA'，
∵∠APA'=2∠OBA'
∴∠APN=∠A'BN，
∴∠EAB=∠BA'M
∵BM⊥PA'，BE⊥AE
∴∠A'MB=∠E=90°
∴△A'MB≌△AEB(AAS)
∴BE=BM，AE= A'M
∵PB=PB，∠BMP=∠E=90°
∴Rt△PBM≌Rt△PBE(HL)，
∴PM=PE，
∴PA'-PA=PM+A'M-(AE-PE)=2PM，
∴
【知识点】三角形全等的判定；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】(1)利用非负数的性质可得a=b=3，即可求出点P的坐标；
(2)①作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，证明四边形PEOF是正方形，可得∠EPF=∠APB=90°，PE=OF=3，再证明△PEA≌△PFB得AE=FB，PA=PB，从而可求OB=4；
②证明△APC≌△BPD(ASA)，可得AC=BD，进而可求OD-OC的值；
(2)作BE⊥AP交AP的延长线于E，AB交PA'于N.证明△A'MB≌△AEB，可得BE=BM，AE=AM，证明Rt△PBM≌Rt△PBE，推出PM=PE，由此即可解决问题.
25．（2025八上·长沙开学考）我们约定：不等式组m＜x＜n，m＜x≤n，m≤x＜n，m≤x≤n的“长度”均为d=n-m，（m＜n），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”.例如：-2＜x≤2的“长度”d=2-（-2）=4，“整点”为x=-1，0，1，2.根据该约定，解答下列问题：
（1）不等式组的“长度”d= 　 　；“整点”为　 　；
（2）若不等式组的“长度”d=2，求a的取值范围；
（3）若不等式组的“长度，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2；-1，0
（2）解：解不等式得(2a-1)x<8，
当2a-1>0时，即，
则不等式解为：
∵x的最大值为3，
∴，
解得：
当2a-1<0时，即
则不等式解为：
∵x的最小值为1，
∴a=0时，原不等式的“长度”满足题意，
综上所述：a的取值范围为或a=0
（3）解：存在，
理由如下：
解不等式组，
当时，不等式的解集为1≤x≤3，
∴d=2，不符合；
当时，不等式的解集为，
∵，
∴
解得：a=1，
当时，不等式的解集为a∴
解得，
当时，，不符合
当或a > 3，方程组无解，
综上所述，a=1，
∴不等式组为，
解得：m-1∵关于y的不等式组恰有4个“整点”，
∴3.5≤2m+1-(m-1)< 4.5，
解得：1.5≤m<2.5.
故m的取值范围是．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：(1)解不等式组得，得-1.5∴不等式组的“长度”d=0.5-(-1.5)=2，
整点”为x=-1，0.
故答案为：2；-1，0.
【分析】(1)解不等式组求解集，计算长度和整点；
(2)结合已知长度分析参数a的取值范围；
(3)通过解集长度求a，再代入不等式组求m的范围.
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