2025-2026学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期摸底考试数学试卷(含答案)

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2025-2026学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期摸底考试数学试卷(含答案)

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2025-2026学年上海市上海交通大学附属中学高一上学期摸底考试
数学试卷
一、单选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如果为实数,且,那么一定有( )
A. B. C. D.
2.设,则“且”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
3.下列说法正确的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则
4.如图,直线与反比例函数的图象相交于点,,与坐标轴分别相交于点,,作轴于点,作轴于点,过点,分别作,,分别交轴于点,,线段与相交于点,有以下说法:
的面积等于的面积;

若与的面积和为,则.
其中正确的说法是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
5.设全集,集合,则 .
6.“四边形是正方形”是“四边形的两条对角线相等”的 条件用“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”填空
7.若,则符合条件的集合有 个
8.已知,,则的范围是 .
9.设,且,,则的值是 .
10.若关于的二次三项式因式分解为,则的值为 .
11.若是方程的两个实数根,则的值等于 .
12.观察下列各式:



计算: .
13.已知集合,集合,若,则的所有取值构成的集合为 .
14.已知集合或,,若,则实数的取值范围 .
15.如图,是的直径且,点是的中点,过点作交于点,点是上一点,连接,交的延长线于点,则的值为 .
16.已知三角形为等腰三角形,其中,,在、上分别取、两点,若沿线段折叠该三角形时,顶点恰好落在边上则线段的长度的最小值为 .
三、解答题:本题共5小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解关于的不等式.
18.本小题分
已知,.
若是的子集,求实数的值;
若是的子集,求实数的取值范围.
19.本小题分
上海交大附中为构建书香校园,拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高,用元购进的甲种书柜的数量比用元购进的乙种书柜的数量少台.
求甲、乙两种书柜的进价;
若学校拟购进这两种规格的书柜共个,其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的倍,请您帮学校设计一种购买方案,使得花费最少,并求出最少花费多少钱.
20.本小题分
如图,已知二次函数的图象经过点,与轴分别交于点,点点是直线上方的抛物线上一动点.
求二次函数的表达式;
连接,,并把沿轴翻折,得到四边形,若四边形为菱形,请求出此时点的坐标;
当点运动到什么位置时,四边形的面积最大?求出此时四边形的面积以及点的坐标.
21.本小题分
已知,若存在数阵满足:;则称集合为“好集合”,并称数阵为的一个“好数阵”.
已知数阵是的一个“好数阵”,试写出的值;
若集合为“好集合”,证明:集合的“好数阵”必有偶数个;
判断是否为“好集合”若是,求出满足条件的所有“好数阵”;若不是,说明理由.
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.充分不必要
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.
17.【详解】由不等式,
当时,即时,解得,所以不等式的解集为;
当时,即时,不等式即为恒成立,所以不等式的解集为;
当时,即时,解得,所以不等式的解集为.
综上可得:当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为.

18.【详解】因为,
若是的子集,则,
所以,解得.
若是的子集,则.
若为空集,则,解得;
若为单元素集合,则,解得.
将代入方程,得,解得,所以,符合要求;
若为双元素集合,,则.
综上所述,或.

19.【详解】设乙种规格的书柜进价为元,则甲种规格的书柜进价为元,
由题可得,,解得,
所以甲种书柜的进价为元,乙种书柜的进价为元
设购进甲种书柜个,则购进乙种书柜个,
则所需花费,
由题知,,故,
由一次函数性质可知,当时,所需花费最小,最小值为元
即当购进甲种书柜个,乙种书柜个时花费最小,最少花费元

20.【详解】因为、在二次函数上,
代入可得,解得
所以二次函数的表达式为.
因为四边形为菱形,
所以,即为线段的垂直平分线与抛物线的交点,
因为,
所以线段的垂直平分线方程为,
联立,可得,
因为是直线上方的抛物线上一动点,
所以,则点坐标为.
令,解得,
所以点坐标为,即,
因为在抛物线上,所以设,
设直线方程为,
代入、点坐标可得,解得
直线方程为,
过作轴的垂线,交轴于点,交直线于点,如图所示
所以点坐标为,
所以,
所以

当时,四边形的面积最大,且为,
此时,即点坐标为,
所以当点坐标为时,四边形的面积最大为.

21.【详解】由“好数阵”的定义,
知,,,,
故,,,,进一步得到,,
从而,,,.
如果是一个“好数阵”,
则,.
从而,

故也是一个“好数阵”.
由于是偶数,故,从而.
所以数阵和的第行第列的数不相等,故是不同的数阵.
设全体“好数阵”构成的集合为,并定义映射如下:
对,规定.
因为由中的元素构成的数阵只有不超过种,故是有限集合.


即,从而是满射,由是有限集,知也是单射,故是一一对应.
对于“好数阵”,
已证数阵和是不同的数阵,
故.
同时,对两个“好数阵”,,如果,则;
如果,则所以,当且仅当.
最后,对,由,称元集合为一个“好对”.
对,若属于某个“好对”,则或,即或.
由于,故无论是还是,都有.
所以每个“好数阵”恰属于一个“好对”,所以“好数阵”的个数是“好对”个数的倍,从而“好数阵”必有偶数个.
若是“好数阵”,则有

所以,

若,
因为,,
所以只有以下两种可能:和,
若,则,
使的只有,使的有两种可能:,或,
情形一:时,只有,,,可得;
情形二:时,只有,,,可得;
若,则,
使的只有,使的有两种可能:,或,
情形一:时,只有,,,可得,
情形二:时,只有,,,可得,
综上,是“好集合”,且满足的好数阵有四个:
;;;.

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