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2025-2026学年江苏省锡山高级中学滨湖分校高一上学期 9月检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = 0,1,2 ， = 2 3 + 2 ≤ 0 ，则 ∩ =( )
A. 1 B. 2 C. 0,1 D. 1,2
2.已知正实数 , 满足 + 2 = 2 .则 + 的最小值为( )
A. 4 B. 2 C. 3 D. 2 + 32
3 1.若实数 ， 满足 > 0，则 2 + 2 + 2 + 1 的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.设集合 = 2 < < + 2 ， = < 3 或 > 5 ，若 ∩ = ，则实数 的取值范围为( )
A. 3 , + ∞ B. 32 2 , + ∞ C. ∞,
3
2 D. ∞,
3
2
5.已知集合 = { | 2 + 2 + = 0， ∈ }，若集合 有且仅有 2 个子集，则 的取值是( )
A. 1 B. 1 C. 0，1 D. 1，0，1
6.若关于 的方程 2 + 6 = 0 和 2 + 6 = 0 的解集分别为 ， ，且 ∩ = 2 ，则 + = ( )．
A. 21 B. 8 C. 7 D. 6
7.若 1 < < 3， 4 < < 2，那么 | |的范围是( )
A. 3 < | | ≤ 3 B. 3 < | | < 5
C. 3 < | | < 3 D. 1 < | | < 4
8.若集合 具有以下性质：
(Ⅰ)0 ∈ ，1 ∈ ；
(Ⅱ)若 ∈ ， ∈ 1，则 ∈ ，且 ≠ 0 时， ∈则称集合 是“好集”.下列命题正确的个数是( ) (1)
集合 = { 1,0,1}是“好集”；(2)有理数集 是“好集”；(3)设集合 是“好集”，若 ∈ ， ∈ ，则 +
∈ ．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A.若 > ，则 2 > 2
B.若 2 < < 3,1 < < 2，则 4 < < 2
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C.若 < < 0, < 0 ，则 >
D.若 > , > ，则 >
10.已知关于 的一元二次不等式 2 + + ≥ 0 的解集为{ ≤ 2 或 ≥ 1}，则( )
A. > 0 且 < 0
B. 4 + 2 + = 0
C.不等式 + > 0 的解集为 > 2
D.不等式 2 + < 0 的解集为 1 < < 12
11.下列命题为真命题的是( )
A.若 2 + 2 = 2，则 + 的最大值为 2；
B.若 0 ≤ + ≤ 2, 1 ≤ ≤ 1 3，则 2 ≤ 2 + ≤
9
2；
C. 1 2 不等式3 +1 > 1 的解集是
1
3 < < 0 ；
D. 当且仅当 ， 均为正数时， + ≥ 2 恒成立．
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.期中考试，某班数学优秀率为 70％，语文优秀率为 75％，则上述两门学科都优秀的百分率至少为 ．
13.设 > 0， > 1，若 + = 2 9 1，则 + 1的最小值为 ．
14.已知正实数 , 满足 + 2 = 2，若不等式 3 2 2 + 6 2 + 2 + 4 > 0 恒成立，则实数 的取值范
围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 > 0， > 0．
(1)求证： 2 + 3 2 ≥ 2 ( + )；
(2)若 + = 2 ，求 的最小值．
16.(本小题 15 分)
已知 > 0， ： 2 ≤ ≤ 6， ：2 ≤ ≤ 2 + ．
(1)已知 是 成立的必要不充分条件，求实数 的取值范围;
(2)若 是 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知关于 的不等式 2 ( + 1) + < 0．
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(1)若不等式的解集是 1 < < 5 ，求 + 的值；
(2)若 > 0， = 1，求此不等式的解集．
18.(本小题 17 分)
某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一
种使用寿命为 4 年的污水净化设备.这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积 (单位：平方米)
成正比，比例系数为 0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费 (单位：万元)与设备占地面积 之间的函数
关系为 ( ) = 20 +5 ( > 0)，将该企业的净水设备购置费与安装后 4 年需缴水费之和合计为 (单位：万元)．
(1)要使 不超过 7.2 万元，求设备占地面积 的取值范围；
(2)设备占地面积 为多少时， 的值最小？
19.(本小题 17 分)
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维
到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．
1 1
例如，已知 = 1，求证：1+ + 1+ = 1．
1 1
证明：原式= + + 1+ = 1+ + 1+ = 1．
波利亚在《怎样解题》中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成
群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．
请根据上述材料解答下列问题：
(1) = 1 1 + 1已知 ，求1+ 2 1+ 2的值；
(2) 5 5 5 若 = 1，解方程 + +1 + + +1+ + +1 = 1；
(3)若正数 , 满足 = 1，求 = 1 11+ + 1+2 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.45％
13.16
14. ∞,2 10 + 2
15.证明：(1) ∵ 2 + 3 2 2 ( + ) = 2 2 + 2 = ( )2 ≥ 0，
∴ 2 + 3 2 ≥ 2 ( + )．
(2) ∵ > 0， > 0，
∴ 2 = + ≥ 2 ，即 2 ≥ 2 ，
∴ ≥ 1，∴ ≥ 1．
当且仅当 = = 1 时取等号，此时 取最小值 1．
16.(1) ∵ 是 成立的必要不充分条件，
∴ 且 ，
则[2 ,2 + ]是[ 2,6]的真子集，
2 < 2 + ,
有{ 2 ≥ 2,解得 0 < ≤ 4．
2 + ≤ 6．
又当 = 4 时，[2 ,2 + ] = [ 2,6]，不合题意，舍去，∴ 的取值范围是(0,4)．
(2) ∵ 是 成立的充分不必要条件，
∴ 且 推不出 ，
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2 < 2 + ,
则( ∞,2 ) ∪ (2 + , + ∞)是( ∞, 2) ∪ (6, + ∞)的真子集，则{ 2 ≤ 2,解得 ≥ 4．
2 + ≥ 6,
又当 = 4 时，两集合相等，不合题意，舍去，
∴ 的取值范围是(4, + ∞).
17.(1)由题意知 > 0，且 1 和 5 是方程 2 ( + 1) + = 0 的两根，
∴ 1 + 5 = ( +1) ，且 1 × 5 = ，
解得 = 1 65， = 1，∴ + = 5．
(2)若 > 0， = 1，原不等式为 2 ( + 1) + 1 < 0，
∴ ( 1)( 1) < 0，∴ 1 ( 1) < 0．
∴ > 1 1 1时， < 1，原不等式解集为 < < 1 ，
= 1 1时， = 1，原不等式解集为 ，
0 < < 1 1 1时， > 1，原不等式解集为 1 < < ，
综上所述：当 > 1 1时，原不等式解集为 < < 1 ，
当 = 1 时，原不等式解集为 ．
当 0 < < 1 1时，原不等式解集为 1 < < ．
18.(1)由题意得 = 0.2 + 80 +5 ( > 0)，
令 ≤ 7.2 即 0.2 + 80 2 +5 ≤ 7.2，整理得 31 + 220 ≤ 0 即( 11)( 20) ≤ 0，
所以解得 11 ≤ ≤ 20，
所以设备占地面积 的取值范围为[11,20]．
(2) = 0.2 + 80 = +5 80 +5 5 + +5 1 ≥ 2
+5 × 805 +5 1 = 2 16 1 = 7，
+5 80
当且仅当 5 = +5即 = 15 时等号成立，
所以设备占地面积为 15m2时， 的值最小．
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19.(1) 1 1 1+ 2 + 1+ 2 = + 2 +

+ 2 = + +

+ = 1．
(2) ∵ = 1
∴ 5 + 5 + 5 原方程可化为： + + + +1 ( + +1) = 1
5 5 5
即： +1+ + + +1 + 1+ + = 1
∴ 5(1+ + ) 11+ + = 1，即 5 = 1，解得： = 5．
1 1 2 2 +2 +1 1
(3) = + + 1+ 2 = 1+ + 1+ 2 = 2 = 1 2 = 1 2 + 3 + 1 2 + 3 + 1 2 + 1 + 3
∵ 2 + 1 1 1 2 ≥ 2 2 = 2 2，当且仅当 2 = ，即 = 2 , =
1
= 2时，等号成立，
∴ 2 + 1 1 有最小值 2 2，此时 1 有最大值 3 2 2，2 + +3
1 1 1
从而 1 1 有最小值 2 2 2，即 = 1+ +2 + +3 1+2
有最小值 2 2 2．

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