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湖南省长沙市一中双语中学2025-2026九年级上学期入学考试数学试题
1．（2025九上·长沙开学考） 在下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：，不是最简二次根式；
B：是最简二次根式；
C：，不是最简二次根式；
D：，不是最简二次根式；
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的定义“被开方数中不含能开方的因数或因式，被开方数中不含分母的二次根式”逐项判断解答即可.
2．（2025九上·长沙开学考） 函数中自变量的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．为任何实数
【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题可得x-1≥0且x-2≠0，
解得x≥1且x≠2，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数且分母不为零解答即可.
3．（2025九上·长沙开学考） 已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　）
A．2022 B． C． D．2023
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根，
∴a+b=1，ab=-2024，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=-2024，然后代入代数式计算解答即可.
4．（2025九上·长沙开学考）把方程化成的形式，则（　　）
A．17 B．14 C．11 D．7
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故选A．
【分析】根据移项，两边都加上一次项系数的一半的平方，得到完全平方公式解答即可．
5．（2025九上·长沙开学考） 已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，且函数值随自变量的增大而减小，则下列结论正确的是（　　）
A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜2，m＜0
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：y=kx=m-2x=(k-2)x+m
∵一次函数y=kx-m-2x的图象与y轴的负半轴相交，函数值y随自变量的增大而减小，
故选：B.
【分析】由一次函数y=kx+m-2x的图象与y轴的负半轴相交且函数值y随自变量x的增大而减小，可得出k-2<0、m<0，解 之即可得出结论.
6．（2025九上·长沙开学考） 小明对五个数据26，33，45，5，59进行分析，发现其中一个两位数的个位数字被“”遮挡住了，下列统计量中，与被“”遮挡住的数字无关的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为35，与被涂污数字无关.
故选： B.
【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断.
7．（2025九上·长沙开学考）如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（　　）
A．2 B．3.5 C．7 D．14
【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD为菱形，
∴AB28=7，且O为BD的中点．
∵E为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OEAB=3.5．
故选B．
【分析】根据菱形的周长得到AB的长，然后利用三角形中位线定理解答即可.
8．（2025九上·长沙开学考）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：
①的长可以为；
②的长有两个不同的值满足菜园面积为；
③菜园面积的最大值为．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：设的边长为，则边的边长为，
当时，，
解得，
∵的长不能超过，
∴，故①错误；
∵当菜园面积为时，，
整理得，，
解得或，
∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确；
设矩形的菜园面积为，
根据题意得，，
∵，，
∴当时，y有最大值，最大值为200，故③正确；
故选：C．
【分析】设的边长为，根据列方程求解，根据x的取值范围判断①；根据矩形的面积为192列方程求x的值判断②；设矩形的菜园面积为，根据矩形的面积公式列函数关系式，根据二次函数的增减性得到函数最值判断③解答即可．
9．（2025九上·长沙开学考） 二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵开口向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴a，b同号，
∴b<0，
又∵对称轴为x=-，且当x=-3时，y>0，
∴当x=0时，y>0，即c>0，
∴abc>0，故①错误；
由图象可知a<0，c>0，对称轴为
∴b=3a，故②正确；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，
故③正确；
当x=-1时， a-b+c>0，
当x=-3时， 9a-3b+c>0，
∴10a-4b+2c>0，
∴5a-2b+c>0，故④正确；
故选： C.
【分析】①根据开口方向和对称轴的位置判断a和b的取值范围，再根据对称性和x=-3时，y>0判断c的取值范围，即可判断①；根据对称轴为 判断②；利用函数图象与x轴有两个不同的交点，判断③；当x=-1时， a-b+c>0，当x=-3时， 9a-3b+c>0，相加计算判断④解答即可.
10．（2025九上·长沙开学考） 如图，点E是正方形边上任意一点，，且，连接．若的最小值为，则正方形的边长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】在AD上取一点H， 使得AH = AE， 连接EH， BF.设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB， ∠A=∠ABC =90°，
∵AH=AE，
∴DH=BE，
∵∠DEF=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°， ∠AED+∠FEB=90°，
∴∠EDH =∠FEB，
在△EDH和△FEB中，
∴△EDH≌△FEB(SAS)，
∴∠DHE=∠EBF = 135°，
∴∠CBF=45°，
延长AB到T， 使得BT = BC， 连接DT， FT，
∵BC = BT， ∠CBF =∠FBT = 45°，
∴C， T关于BF对称，
∴CF=FT，
∴CF+DF=FT+DF≥DT，
∴CF+DF的最小值为 ，
∴a=2，
故答案为： .
【分析】在AD上取一点H，使得AH=AE，连接EH，BF，证明 ，推出 推出 延长AB到T，使得BT=BC，连接DT，F T，证 明CF=FT， 推出CF+DF=FT+DF≥DT，利用勾股定理求出DT，可得结论.
11．（2025九上·长沙开学考） 方程的一次项为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：
x2-3x+2x-1=0
x2-x-1=0，
∴一次项为-x，
故答案为：-x.
【分析】把方程化为一元二次方程的一般式，得到一次项解答即可.
12．（2025九上·长沙开学考） 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为，
故答案为：.
【分析】根据 “左加右减，上加下减”的平移规律解答即可.
13．（2025九上·长沙开学考） 抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是　 　．
【答案】；5
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵二次函数
∴抛物线对称轴是：直线x=-1，
时，y随x的增大而增大，x<-1时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在-2≤x≤2内，x=2时，y有最大值， 时，y有最小值，是-4，
故答案为： -4，5.
【分析】借助图象可得顶点处为最小值，由x=2时，求得最大值，即可判断.
14．（2025九上·长沙开学考） 如图，在中，，，点C的坐标为，则点D的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
过C作 轴于N，过D作D
轴于M， BC交x轴于H，
∵点C的坐标为((3，-1)，
轴，
∴CN∥OB，
和 是等腰直角三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
是等腰直角三角形，
∴M和H重合，
∴点D的坐标为((2，-3).
故答案为：(2，-3).
【分析】过C作CN⊥x轴于N， 过D作DM⊥x轴于M， BC交x轴于H， 由点C的坐标得到ON =3， CN =1， 判定△CHN∽△BHO， 推出NH：OH=CN：OB=1：2， 求出OH =2， NH =1， 判定△BOH和△CNH是等腰直角三角形，得到HB=2 求出. ，由平行四边形的性质推出 ∥AD，得到∠DAM =∠BHO =45°， 判定△ADM是等腰直角三角形，求出 D=3， 得到OM 的值， 因此M和H重合，即可得到点D的坐标.
15．（2025九上·长沙开学考） 已知点，（点A在点B的左侧）是抛物线上的两点，若，则与满足的条件是　 　．
【答案】且
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，当 时，
当 时， 即
综上所述， 与 满足的条件为 或 2.
故答案为： 或
【分析】利用顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，讨论：当 时，根据二次函数性质得到 当 时，根据二次函数的性质得到
16．（2025九上·长沙开学考）如图，平行四边形中，，，点P是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形，连接，当点P是线段的中点，且时，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接QB交PA于点E，如图所示：
∵连接，以为对称轴作的轴对称图形，
∴BA=QA，QP=PB，
∴PA为线段QB的垂直平分线，
∴∠PEB=∠BEA=90°，
∵点P是线段的中点，
∴PE=2，PB=6，AB=8，
由勾股定理得，
∴的长为，
故答案为：
【分析】连接QB交PA于点E，根据轴对称的性质即可得到BA=QA，QP=PB，进而根据垂直平分线的性质得到∠PEB=∠BEA=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到PE=2，PB=6，AB=8，进而根据勾股定理即可得到，最后结合题意即可求解。
17．（2025九上·长沙开学考） 计算：．
【答案】解：
.

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算乘方、负整数指数次幂、零指数次幂，二次根式的化简，然后合同同类二次根式解答即可.
18．（2025九上·长沙开学考） 解方程
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：3x(x+6)=x+6
3x(x+6)-(x+6)=0
(x+6)(3x-1)=0
x+6=0或3x-1=0
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.
19．（2025九上·长沙开学考） 某公司为参加“2025年中国人形机器人生态大会”，对本公司生产的甲、乙两款人形机器人的满意度进行了评分测验，并从中各随机抽取20份对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：）下面给出了部分抽取的信息：
对甲款机器人的评数据中B等级的数据为：90，90，88，88，88，87，86，85．
对乙款机器人的评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
对甲，乙两款机器人的满意度评分统计表：
机器人 平均数 中位数 众数 方差
甲 86 86.5 88 69.8
乙 86 85.5 a 96.6
对甲款机器人的满意度评分扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中　 　，　 　．
（2）根据以上数据，你认为哪款机器人的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）
（3）在此次测验中，各有800人对甲、乙两款人形机器人进行评分，估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为A等级的共有多少人？
【答案】（1）85；
（2）解：甲、乙两款机器人的评分数据的平均数都是86，甲款机器人的评分数据的众数和中位数88大于乙款机器人的评分数据的众数和中位数85，甲款机器人的评分数据的方差为69.8小于乙款机器人的评分数据的方差96.6，
所以甲款机器人的评分数据的波动比乙款机器人的评分数据的波动小，
所以甲款机器人的满意度更好.
（3）解： (人)，
答：估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为A等级的共有400人.
【知识点】扇形统计图；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)抽取的对乙款机器人的评分数据中，85出现了4次，其余都少于4次，故众数a=85；
甲款机器人的评分数据中B等级的有8人，占
所以 故m=20；
故答案为： 85， 20；
【分析】(1)先根据乙款机器人的评分数据求出其众数b，再根据甲款机器人的评分数据中B等级的人数，求出其百分比，再用1减去除A等级外的百分比求出m；
(2)先比较两款机器人的评分数据的平均数、中位数、众数和方差的大小，来评判满意度的好坏，再作出判断；
(3)总人数乘以对应比例即可.
20．（2025九上·长沙开学考） 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两根，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： ∵方程 为一元二次方程， 即m≠2，
∵方程有实数根，
解得：
综上，m的取值范围为 且m≠2.

（2）解：设方程两根为x1， x2， 则：
代入 得
解得：m=5或m=-3，
经检验，m=5或m=-3是方程的解，
当m=5时，判别式∠ ，不符合实数根条件.
当m=-3时，判别式 ，符合条件.
综上，m=-3.

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)根据题意可得 且m-2≠0，解关于m的不等式组即可；
(2)根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值.
21．（2025九上·长沙开学考） 如图，将矩形的边延长到点，使，连接、，作交延长线于点，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）如果四边形的面积为24，，连接，求的长．
【答案】（1）证明： ∵BF∥DE，
∴∠EDC =∠BFC，
∵CE =CB， ∠DCE=∠FCB，
∴△DCE≌△FCB(AAS)，
∴DE=FB，
∵BF∥DE，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵在矩形ABCD中， ∠BCD = 90°，
∴DF⊥BE，
∴ BDEF是菱形；
（2）解：
∴DF=6，
∴在菱形BDEF中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC =90°， AB=CD=3，在Rt△ABE中，
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)证明△DCE≌△FCB(AAS)，得到DE= FB，又BF∥DE，可证得四边形BDEF是平行四边形，根据矩形的性质得到DF⊥BE，得证—BDEF是菱形；
(2)根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出DF =6， 从而 再根据勾股定理即可解答.
22．（2025九上·长沙开学考） 某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价（元）满足一次函数关系，并且当时，；当时，．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过45元．
（1）求y关于的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？
（3）求商家销售该商品每天获得的最大利润．
【答案】（1）解：设y= kx+b，
根据题意可得
解得：
则y=-10x+800， 0（2）解：根据题意， 得： (x-20)(-10x+800)=8000，
整理，得：
解得：
∵销售单价最高不能超过45元/件，
∴x=40，
答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元；
（3）解：利润w=(x-20)(-10x+800) =-10(x-80)(x-20)=-10(x-50)2+9000，
∵-10<0， 故w有最大值， 当x = 45时， w最大值为8750.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解可得；
(2)根据“总利润=单件利润×销售量”可得关于x的一元二次方程，解之即可得；
(3)利润w=(x-20)(-10x+800)=-10(x-50)2+9000， 根据自变量x的取值范围求出最值解答即可.
23．（2025九上·长沙开学考） 已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点．
（1）求出，的值；
（2）求的面积．
（3）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： 把B(-2， 0)代入 中， 得0=-2k-2，
解得k=-1，
把C(4，0)代入 中， 得0=4+b，解得b=-4；
（2）解：∵k=-1， b=-4，
联立 解得
∴点A的坐标为(1，-3)，
∵A(1，-3)， B(-2，0)， C(4，0)，
∴BC=6，
（3）解：存在，
设P(m，0)， 则PB=|m﹣(﹣2)|， PA=
当PB=PA时， 则(
解得： m=1，
∴P(1，0)；
当AB=AP时，
解得： m=4或m=-2 (舍)
∴P(4，0)；
当BA=BP时，
解得：
或
综上： 当△PBA为等腰三角形时， P(1，0)或P
(4，0)或 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的概念；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法分别求解即可；
(2)联立两一次函数的解析式求得交点A的坐标，利用三角形面积公式求解即可.
(3) 设P(m，0)， 则PB =|m﹣(﹣2)|， PA= 再分三种情况求解即可.
24．（2025九上·长沙开学考） 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
（1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”．
①当时，该全整根方程的“关爱码”是 　 　．
②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 　 　．
（2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”．
（3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）．
【答案】（1）；或3
（2）解：
-5)=4m+29，
∵4∴45<4m+29<89，
其中完全平方数有49、64和81，
4m+29=49时， m=5，
4m+29=64时， (不合题意)，
4m+29=81时， m=13，
当m=5时，原方程为：
则
当m=13时，原方程为：
则
综上所述：该方程的“最值码”为 或

（3）解：方程： 的“最值码”Q
方程： 的“最值码” Q(p，q，r)
由题意得：
+4，
整理得：
或m-n=2，
∵m，n均为正整数，
不合题意，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；完全平方式
【解析】【解答】(1) ①当m=2时，方程为 则
∴该全整根方程的“最值码”是
故答案为：
由题意得：
整理得：
解得：
则当m=-1或3时，若该全整根方程的“最值码”是-1，
故答案为：-1或3；(3)
【分析】(1)①根据全整根方程的“最值码”的定义计算；
②根据全整根方程的“最值码”的定义列出方程，解方程求出m；
(2)根据“全整根方程”的定义、完全平方数计算；
(3)分别求出两个方程的“全整根方程”的“最值码”，根据题意列出方程，解方程得到答案.
25．（2025九上·长沙开学考） 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是．
（1）求抛物线解析式；
（2）点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值．
（3）将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标．
【答案】（1）解：将点A，点C的坐标代入得：
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）解：
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
由题意得：点G在直线x=2上，
设直线AC的解析式为y=kx+n，将点A，点C的坐标代入得：
解得，
∴直线AC的解析式为y=-x+1，
如图，作 轴交AC于N，
设 ，则N(m，-m+1)，
，
，
其图象开口向下，
∴当 时， 的面积有最大值，最大为 此时
作 交AC于H，交对称轴x=2于G，交x轴于F，
∵直线AC的解析式为y=-x+1，
，
当M、G、F、H四点共线时， 的值最小，
的面积为
的最小值为

（3）解：点K的横坐标为 或 或
【知识点】二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）解：点K的横坐标为 或 或 理由如下： 直线AC的解析式为y=-x+1，
∴将抛物线沿射线AC平移个单位长度，即向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，得到新的抛物线
在 中，当x=0时，y=-3，即E(0，-3)，
当点K在AC上方时，如图，以AE为直角边，作等腰直角 作 轴于Q，作直线AP交抛物线y于K，
则
在 和 中，
，
满足题意，
设直线AP的解析式为y=sx+t，将点A，点P的坐标代入得：
解得：
∴直线AP的解析式为
联立
解得： 或
此时点K的横坐标为4或
如图3，当点K在AC的下方时，作点P关于直线AC的对称点R，作直线AR交抛物线y于
由轴对称的性质可得，
此时 满足题意，
设R(p，a)， 则
解得： 或 (不合题意，舍去)，
同理可得直线AR的解析式为y=-3x+3，
联立
解得： 或
此时点 的横坐标为 或 综上所述，点K的横坐标为 或 或4或

【分析】(1)利用待定系数法，将A、C坐标代入抛物线解析式，解方程组求系数，确定抛物线解析式；
(2)先求抛物线对称轴与直线AC解析式，设M坐标，通过作辅助线表示出 的面积，利用二次函数性质求面积最大时M坐标，再结合几何变换与最值原理，通过构造特殊角转化线段，求 的最小值；
(3)求出新的抛物线 再分两种情况：当点K在AC上方时，如图，以AE为直角边，作等腰直角 作 轴于Q，作直线AP交抛物线y'于K，当点K在AC的下方时，作点P关于直线AC的对称点R，作直线AR交抛物线y'于 分别求解即可得解.
1 / 1湖南省长沙市一中双语中学2025-2026九年级上学期入学考试数学试题
1．（2025九上·长沙开学考） 在下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025九上·长沙开学考） 函数中自变量的取值范围是（　　）
A． B． C．且 D．为任何实数
3．（2025九上·长沙开学考） 已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　）
A．2022 B． C． D．2023
4．（2025九上·长沙开学考）把方程化成的形式，则（　　）
A．17 B．14 C．11 D．7
5．（2025九上·长沙开学考） 已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，且函数值随自变量的增大而减小，则下列结论正确的是（　　）
A．k＜2，m＞0 B．k＜2，m＜0 C．k＞2，m＞0 D．k＜2，m＜0
6．（2025九上·长沙开学考） 小明对五个数据26，33，45，5，59进行分析，发现其中一个两位数的个位数字被“”遮挡住了，下列统计量中，与被“”遮挡住的数字无关的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
7．（2025九上·长沙开学考）如图，菱形ABCD的周长为28，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长等于（　　）
A．2 B．3.5 C．7 D．14
8．（2025九上·长沙开学考）如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：
①的长可以为；
②的长有两个不同的值满足菜园面积为；
③菜园面积的最大值为．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．（2025九上·长沙开学考） 二次函数的部分图象如图所示，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025九上·长沙开学考） 如图，点E是正方形边上任意一点，，且，连接．若的最小值为，则正方形的边长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
11．（2025九上·长沙开学考） 方程的一次项为　 　．
12．（2025九上·长沙开学考） 将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为　 　．
13．（2025九上·长沙开学考） 抛物线如图所示，则函数y的最小值和最大值分别是　 　．
14．（2025九上·长沙开学考） 如图，在中，，，点C的坐标为，则点D的坐标为　 　．
15．（2025九上·长沙开学考） 已知点，（点A在点B的左侧）是抛物线上的两点，若，则与满足的条件是　 　．
16．（2025九上·长沙开学考）如图，平行四边形中，，，点P是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形，连接，当点P是线段的中点，且时，则的长为　 　．
17．（2025九上·长沙开学考） 计算：．
18．（2025九上·长沙开学考） 解方程
（1）
（2）
19．（2025九上·长沙开学考） 某公司为参加“2025年中国人形机器人生态大会”，对本公司生产的甲、乙两款人形机器人的满意度进行了评分测验，并从中各随机抽取20份对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：A：，B：，C：，D：）下面给出了部分抽取的信息：
对甲款机器人的评数据中B等级的数据为：90，90，88，88，88，87，86，85．
对乙款机器人的评分数据为：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
对甲，乙两款机器人的满意度评分统计表：
机器人 平均数 中位数 众数 方差
甲 86 86.5 88 69.8
乙 86 85.5 a 96.6
对甲款机器人的满意度评分扇形统计图：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中　 　，　 　．
（2）根据以上数据，你认为哪款机器人的满意度更好？请说明理由（写出一条理由即可）
（3）在此次测验中，各有800人对甲、乙两款人形机器人进行评分，估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为A等级的共有多少人？
20．（2025九上·长沙开学考） 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）是否存在实数m，使方程的两根，满足？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
21．（2025九上·长沙开学考） 如图，将矩形的边延长到点，使，连接、，作交延长线于点，连接．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）如果四边形的面积为24，，连接，求的长．
22．（2025九上·长沙开学考） 某商家销售一种成本为20元的商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价（元）满足一次函数关系，并且当时，；当时，．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过45元．
（1）求y关于的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少元时，商家销售该商品每天获得的利润是8000元？
（3）求商家销售该商品每天获得的最大利润．
23．（2025九上·长沙开学考） 已知：如图一次函数与轴相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，这两个函数图象相交于点．
（1）求出，的值；
（2）求的面积．
（3）在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2025九上·长沙开学考） 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
（1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”．
①当时，该全整根方程的“关爱码”是 　 　．
②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 　 　．
（2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”．
（3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）．
25．（2025九上·长沙开学考） 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是．
（1）求抛物线解析式；
（2）点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值．
（3）将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：，不是最简二次根式；
B：是最简二次根式；
C：，不是最简二次根式；
D：，不是最简二次根式；
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的定义“被开方数中不含能开方的因数或因式，被开方数中不含分母的二次根式”逐项判断解答即可.
2．【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题可得x-1≥0且x-2≠0，
解得x≥1且x≠2，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数且分母不为零解答即可.
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根，
∴a+b=1，ab=-2024，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=-2024，然后代入代数式计算解答即可.
4．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故选A．
【分析】根据移项，两边都加上一次项系数的一半的平方，得到完全平方公式解答即可．
5．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：y=kx=m-2x=(k-2)x+m
∵一次函数y=kx-m-2x的图象与y轴的负半轴相交，函数值y随自变量的增大而减小，
故选：B.
【分析】由一次函数y=kx+m-2x的图象与y轴的负半轴相交且函数值y随自变量x的增大而减小，可得出k-2<0、m<0，解 之即可得出结论.
6．【答案】B
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为35，与被涂污数字无关.
故选： B.
【分析】利用平均数、中位数、方差和众数的定义对各选项进行判断.
7．【答案】B
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵四边形ABCD为菱形，
∴AB28=7，且O为BD的中点．
∵E为AD的中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OEAB=3.5．
故选B．
【分析】根据菱形的周长得到AB的长，然后利用三角形中位线定理解答即可.
8．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题；一元二次方程的应用-动态几何问题
【解析】【解答】解：设的边长为，则边的边长为，
当时，，
解得，
∵的长不能超过，
∴，故①错误；
∵当菜园面积为时，，
整理得，，
解得或，
∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确；
设矩形的菜园面积为，
根据题意得，，
∵，，
∴当时，y有最大值，最大值为200，故③正确；
故选：C．
【分析】设的边长为，根据列方程求解，根据x的取值范围判断①；根据矩形的面积为192列方程求x的值判断②；设矩形的菜园面积为，根据矩形的面积公式列函数关系式，根据二次函数的增减性得到函数最值判断③解答即可．
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵开口向下，
∴a<0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴a，b同号，
∴b<0，
又∵对称轴为x=-，且当x=-3时，y>0，
∴当x=0时，y>0，即c>0，
∴abc>0，故①错误；
由图象可知a<0，c>0，对称轴为
∴b=3a，故②正确；
∵函数图象与x轴有两个不同的交点，
故③正确；
当x=-1时， a-b+c>0，
当x=-3时， 9a-3b+c>0，
∴10a-4b+2c>0，
∴5a-2b+c>0，故④正确；
故选： C.
【分析】①根据开口方向和对称轴的位置判断a和b的取值范围，再根据对称性和x=-3时，y>0判断c的取值范围，即可判断①；根据对称轴为 判断②；利用函数图象与x轴有两个不同的交点，判断③；当x=-1时， a-b+c>0，当x=-3时， 9a-3b+c>0，相加计算判断④解答即可.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】在AD上取一点H， 使得AH = AE， 连接EH， BF.设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB， ∠A=∠ABC =90°，
∵AH=AE，
∴DH=BE，
∵∠DEF=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°， ∠AED+∠FEB=90°，
∴∠EDH =∠FEB，
在△EDH和△FEB中，
∴△EDH≌△FEB(SAS)，
∴∠DHE=∠EBF = 135°，
∴∠CBF=45°，
延长AB到T， 使得BT = BC， 连接DT， FT，
∵BC = BT， ∠CBF =∠FBT = 45°，
∴C， T关于BF对称，
∴CF=FT，
∴CF+DF=FT+DF≥DT，
∴CF+DF的最小值为 ，
∴a=2，
故答案为： .
【分析】在AD上取一点H，使得AH=AE，连接EH，BF，证明 ，推出 推出 延长AB到T，使得BT=BC，连接DT，F T，证 明CF=FT， 推出CF+DF=FT+DF≥DT，利用勾股定理求出DT，可得结论.
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：
x2-3x+2x-1=0
x2-x-1=0，
∴一次项为-x，
故答案为：-x.
【分析】把方程化为一元二次方程的一般式，得到一次项解答即可.
12．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解： 抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为，
故答案为：.
【分析】根据 “左加右减，上加下减”的平移规律解答即可.
13．【答案】；5
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】∵二次函数
∴抛物线对称轴是：直线x=-1，
时，y随x的增大而增大，x<-1时，y随x的增大而减小，
由图象可知：在-2≤x≤2内，x=2时，y有最大值， 时，y有最小值，是-4，
故答案为： -4，5.
【分析】借助图象可得顶点处为最小值，由x=2时，求得最大值，即可判断.
14．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：
过C作 轴于N，过D作D
轴于M， BC交x轴于H，
∵点C的坐标为((3，-1)，
轴，
∴CN∥OB，
和 是等腰直角三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
是等腰直角三角形，
∴M和H重合，
∴点D的坐标为((2，-3).
故答案为：(2，-3).
【分析】过C作CN⊥x轴于N， 过D作DM⊥x轴于M， BC交x轴于H， 由点C的坐标得到ON =3， CN =1， 判定△CHN∽△BHO， 推出NH：OH=CN：OB=1：2， 求出OH =2， NH =1， 判定△BOH和△CNH是等腰直角三角形，得到HB=2 求出. ，由平行四边形的性质推出 ∥AD，得到∠DAM =∠BHO =45°， 判定△ADM是等腰直角三角形，求出 D=3， 得到OM 的值， 因此M和H重合，即可得到点D的坐标.
15．【答案】且
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，当 时，
当 时， 即
综上所述， 与 满足的条件为 或 2.
故答案为： 或
【分析】利用顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向下，讨论：当 时，根据二次函数性质得到 当 时，根据二次函数的性质得到
16．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接QB交PA于点E，如图所示：
∵连接，以为对称轴作的轴对称图形，
∴BA=QA，QP=PB，
∴PA为线段QB的垂直平分线，
∴∠PEB=∠BEA=90°，
∵点P是线段的中点，
∴PE=2，PB=6，AB=8，
由勾股定理得，
∴的长为，
故答案为：
【分析】连接QB交PA于点E，根据轴对称的性质即可得到BA=QA，QP=PB，进而根据垂直平分线的性质得到∠PEB=∠BEA=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到PE=2，PB=6，AB=8，进而根据勾股定理即可得到，最后结合题意即可求解。
17．【答案】解：
.

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算乘方、负整数指数次幂、零指数次幂，二次根式的化简，然后合同同类二次根式解答即可.
18．【答案】（1）解：
（2）解：3x(x+6)=x+6
3x(x+6)-(x+6)=0
(x+6)(3x-1)=0
x+6=0或3x-1=0
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.
19．【答案】（1）85；
（2）解：甲、乙两款机器人的评分数据的平均数都是86，甲款机器人的评分数据的众数和中位数88大于乙款机器人的评分数据的众数和中位数85，甲款机器人的评分数据的方差为69.8小于乙款机器人的评分数据的方差96.6，
所以甲款机器人的评分数据的波动比乙款机器人的评分数据的波动小，
所以甲款机器人的满意度更好.
（3）解： (人)，
答：估计此次测验中甲、乙两款人形机器人的满意度评分为A等级的共有400人.
【知识点】扇形统计图；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：(1)抽取的对乙款机器人的评分数据中，85出现了4次，其余都少于4次，故众数a=85；
甲款机器人的评分数据中B等级的有8人，占
所以 故m=20；
故答案为： 85， 20；
【分析】(1)先根据乙款机器人的评分数据求出其众数b，再根据甲款机器人的评分数据中B等级的人数，求出其百分比，再用1减去除A等级外的百分比求出m；
(2)先比较两款机器人的评分数据的平均数、中位数、众数和方差的大小，来评判满意度的好坏，再作出判断；
(3)总人数乘以对应比例即可.
20．【答案】（1）解： ∵方程 为一元二次方程， 即m≠2，
∵方程有实数根，
解得：
综上，m的取值范围为 且m≠2.

（2）解：设方程两根为x1， x2， 则：
代入 得
解得：m=5或m=-3，
经检验，m=5或m=-3是方程的解，
当m=5时，判别式∠ ，不符合实数根条件.
当m=-3时，判别式 ，符合条件.
综上，m=-3.

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】(1)根据题意可得 且m-2≠0，解关于m的不等式组即可；
(2)根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值.
21．【答案】（1）证明： ∵BF∥DE，
∴∠EDC =∠BFC，
∵CE =CB， ∠DCE=∠FCB，
∴△DCE≌△FCB(AAS)，
∴DE=FB，
∵BF∥DE，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵在矩形ABCD中， ∠BCD = 90°，
∴DF⊥BE，
∴ BDEF是菱形；
（2）解：
∴DF=6，
∴在菱形BDEF中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC =90°， AB=CD=3，在Rt△ABE中，
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)证明△DCE≌△FCB(AAS)，得到DE= FB，又BF∥DE，可证得四边形BDEF是平行四边形，根据矩形的性质得到DF⊥BE，得证—BDEF是菱形；
(2)根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出DF =6， 从而 再根据勾股定理即可解答.
22．【答案】（1）解：设y= kx+b，
根据题意可得
解得：
则y=-10x+800， 0（2）解：根据题意， 得： (x-20)(-10x+800)=8000，
整理，得：
解得：
∵销售单价最高不能超过45元/件，
∴x=40，
答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元；
（3）解：利润w=(x-20)(-10x+800) =-10(x-80)(x-20)=-10(x-50)2+9000，
∵-10<0， 故w有最大值， 当x = 45时， w最大值为8750.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求解可得；
(2)根据“总利润=单件利润×销售量”可得关于x的一元二次方程，解之即可得；
(3)利润w=(x-20)(-10x+800)=-10(x-50)2+9000， 根据自变量x的取值范围求出最值解答即可.
23．【答案】（1）解： 把B(-2， 0)代入 中， 得0=-2k-2，
解得k=-1，
把C(4，0)代入 中， 得0=4+b，解得b=-4；
（2）解：∵k=-1， b=-4，
联立 解得
∴点A的坐标为(1，-3)，
∵A(1，-3)， B(-2，0)， C(4，0)，
∴BC=6，
（3）解：存在，
设P(m，0)， 则PB=|m﹣(﹣2)|， PA=
当PB=PA时， 则(
解得： m=1，
∴P(1，0)；
当AB=AP时，
解得： m=4或m=-2 (舍)
∴P(4，0)；
当BA=BP时，
解得：
或
综上： 当△PBA为等腰三角形时， P(1，0)或P
(4，0)或 或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的概念；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】(1)利用待定系数法分别求解即可；
(2)联立两一次函数的解析式求得交点A的坐标，利用三角形面积公式求解即可.
(3) 设P(m，0)， 则PB =|m﹣(﹣2)|， PA= 再分三种情况求解即可.
24．【答案】（1）；或3
（2）解：
-5)=4m+29，
∵4∴45<4m+29<89，
其中完全平方数有49、64和81，
4m+29=49时， m=5，
4m+29=64时， (不合题意)，
4m+29=81时， m=13，
当m=5时，原方程为：
则
当m=13时，原方程为：
则
综上所述：该方程的“最值码”为 或

（3）解：方程： 的“最值码”Q
方程： 的“最值码” Q(p，q，r)
由题意得：
+4，
整理得：
或m-n=2，
∵m，n均为正整数，
不合题意，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；完全平方式
【解析】【解答】(1) ①当m=2时，方程为 则
∴该全整根方程的“最值码”是
故答案为：
由题意得：
整理得：
解得：
则当m=-1或3时，若该全整根方程的“最值码”是-1，
故答案为：-1或3；(3)
【分析】(1)①根据全整根方程的“最值码”的定义计算；
②根据全整根方程的“最值码”的定义列出方程，解方程求出m；
(2)根据“全整根方程”的定义、完全平方数计算；
(3)分别求出两个方程的“全整根方程”的“最值码”，根据题意列出方程，解方程得到答案.
25．【答案】（1）解：将点A，点C的坐标代入得：
解得：
∴抛物线的解析式为
（2）解：
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
由题意得：点G在直线x=2上，
设直线AC的解析式为y=kx+n，将点A，点C的坐标代入得：
解得，
∴直线AC的解析式为y=-x+1，
如图，作 轴交AC于N，
设 ，则N(m，-m+1)，
，
，
其图象开口向下，
∴当 时， 的面积有最大值，最大为 此时
作 交AC于H，交对称轴x=2于G，交x轴于F，
∵直线AC的解析式为y=-x+1，
，
当M、G、F、H四点共线时， 的值最小，
的面积为
的最小值为

（3）解：点K的横坐标为 或 或
【知识点】二次函数图象的平移变换；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）解：点K的横坐标为 或 或 理由如下： 直线AC的解析式为y=-x+1，
∴将抛物线沿射线AC平移个单位长度，即向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，得到新的抛物线
在 中，当x=0时，y=-3，即E(0，-3)，
当点K在AC上方时，如图，以AE为直角边，作等腰直角 作 轴于Q，作直线AP交抛物线y于K，
则
在 和 中，
，
满足题意，
设直线AP的解析式为y=sx+t，将点A，点P的坐标代入得：
解得：
∴直线AP的解析式为
联立
解得： 或
此时点K的横坐标为4或
如图3，当点K在AC的下方时，作点P关于直线AC的对称点R，作直线AR交抛物线y于
由轴对称的性质可得，
此时 满足题意，
设R(p，a)， 则
解得： 或 (不合题意，舍去)，
同理可得直线AR的解析式为y=-3x+3，
联立
解得： 或
此时点 的横坐标为 或 综上所述，点K的横坐标为 或 或4或

【分析】(1)利用待定系数法，将A、C坐标代入抛物线解析式，解方程组求系数，确定抛物线解析式；
(2)先求抛物线对称轴与直线AC解析式，设M坐标，通过作辅助线表示出 的面积，利用二次函数性质求面积最大时M坐标，再结合几何变换与最值原理，通过构造特殊角转化线段，求 的最小值；
(3)求出新的抛物线 再分两种情况：当点K在AC上方时，如图，以AE为直角边，作等腰直角 作 轴于Q，作直线AP交抛物线y'于K，当点K在AC的下方时，作点P关于直线AC的对称点R，作直线AR交抛物线y'于 分别求解即可得解.
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