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苏教版(2019)必修第一册 数学 期中考点大串讲
串讲 02 第2章 常用逻辑用语
考场练兵
典例剖析
01
02
03
目
录
考点透视
01 考点透视
考点1.命题的概念及结构、充分条件与必要条件
命题
真命题
假命题
p
q
真命题
p q
充分条件
必要条件
充分条件
必要条件
考点2.充要条件
p q
q p
p q
充要条件
充要条件
充要条件
p q
充要条件
考点3.　全称量词与全称量词命题
所有的
任意一个

全称量词
x∈M，
p(x)
考点4.存在量词与存在量词命题
存在一个
至少有一个

存在量词
x∈M，p(x)
考点5.　全称量词命题的否定
x∈M，綈p(x)
存在量词
考点6.存在量词命题的否定
x∈M，綈p(x)
全称量词
02 典例透析
考点1.充分条件的判断
【例题1】下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
(1)若a∈Q，则a∈R；
(2)若x>1，则x2>1；
(3)若A B，则A∩B＝A；
(4)若(a－2)(a－3)＝0，则a＝3；
(5)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC.
考点1.充分条件的判断
解
考点2.必要条件的判断
解
考点3.利用充分条件、必要条件求参数的取值范围
【例题3】已知集合M＝{x|a－1解
考点4.充要条件的判断
解　 (1)因为由x≠0推不出x＋|x|>0，如当x＝－1时，x＋|x|＝0，所以p q，
所以p不是q的充要条件．
(2)若关于x的方程ax＋b＝0(a，b∈R)有唯一解，
则a≠0，所以p q，所以p不是q的充要条件．
解
考点4.充要条件的判断
(3)当c＝0时，函数y＝ax2＋bx的图象经过原点；当y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点时，0＝a×02＋b×0＋c，所以c＝0，所以p q，所以p是q的充要条件．
解
考点5.充要条件的证明
【例题5】设a，b，c为△ABC的三边，求证：关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
证明：①充分性：
因为∠A＝90°，所以a2＝b2＋c2，
所以x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0.
即(x＋a)2－c2＝0，(x＋a＋c)(x＋a－c)＝0，
所以x1＝－a－c，x2＝－a＋c.
同理，x2＋2cx－b2＝0可化为x2＋2cx＋c2－a2＝0，
即(x＋c)2－a2＝0，(x＋a＋c)(x＋c－a)＝0，
所以x3＝－a－c，x4＝a－c.
所以两个方程有公共根－a－c.
证明
考点5.充要条件的证明
②必要性：
设两个方程有公共根α，
则α2＋2aα＋b2＝0，α2＋2cα－b2＝0，
两式相加，得α2＋(a＋c)α＝0，
所以α＝0或α＝－a－c.
若α＝0，代入任一方程，得b＝0，这与已知a，b，c为△ABC的三边相矛盾，
所以α＝－a－c，代入题中的任何一个方程，均可得a2＝b2＋c2，所以∠A＝90°.
综上所述，关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
证明
考点6.探求充要条件
【例题6】求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．
解
考点6.探求充要条件
反过来，当k＝－2时，x2＋kx＋1＝x2－2x＋1＝0，
解得x1＝x2＝1.
x2＋x＋k＝x2＋x－2＝0，
解得x3＝1，x4＝－2.
因此两个方程有公共实根1，
所以方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件是k＝－2.
解
考点7.全称量词命题与存在量词命题的识别
【例题7】判断下列命题的真假：
(1)任何实数都有平方根；
(2)存在有理数x，使x2－2＝0；
(3) x∈R，x2－x＋1>0；
(4) x∈Z，3x＋4＝5.
解
考点7.全称量词命题与存在量词命题的识别
考点8.含有量词的命题的应用
【例题8】已知命题p：存在x∈R，x2＋3x＋a＝0.
若p为真命题，则实数a的取值范围是______________．
答案
解析
考点9.全称量词命题的否定
【例题9】写出下列命题的否定，并判断其否定的真假．
(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
(2)等圆的面积相等；
(3)每个三角形至少有两个锐角．
考点9.全称量词命题的否定
解
考点10.存在量词命题的否定
考点10.存在量词命题的否定
解
考点11.含有量词命题的否定的应用
【例题11】命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，求实数a的取值范围．
解：因为命题“存在x>a，使得2x＋a<3”是假命题，所以此命题的否定“对任意x>a，使得2x＋a≥3”是真命题，因为对任意x>a有2x＋a>3a，所以3a≥3，解得a≥1.所以实数a的取值范围为{a|a≥1}．
解
03 考场练兵
1．(2024·重庆育才中学高一上期中)设p：|x|≤3，q：－4(　　)
A．充分不必要条件 B.必要不充分条件
C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由题设，p：－3≤x≤3，q：－4答案
解析
答案
解析
解析： a<0，b<0 a＋b<0.故选A.
答案
解析
4．(2024·安徽蚌埠二中高一上阶段考试)设x∈Z，集合A＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，B＝{y|y＝4n＋2，n∈N}．若命题p： x∈A，2x∈B，则命题p的否定和命题p的真假为(　　)
A． x∈A，2x∈B，且p是真命题
B． x A，2x∈B，且p是假命题
C． x∈A，2x B，且p是真命题
D． x A，2x B，且p是假命题
解析：命题p： x∈A，2x∈B，则命题p的否定为 x∈A，2x B.对于x∈A，则2x＝4n＋2，n∈N，即2x∈B，故p是真命题．故选C.
答案
解析
5．已知命题p： x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是
(　　)
A．{a|a<－1} B．{a|a≥1}
C．{a|a>1} D．{a|a≤－1}
解析：∵p为假命题，∴綈p为真命题，即 x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1.∴实数a的取值范围是{a|a≥1}．故选B.
答案
解析
答案
解析
答案
解析
8．(2024·安徽凤阳县第二中学高一上期中)下列选项中，可以作为一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是(　　)
A．a>1 B．a>0
C．a<－1 D．a<1
答案
解析
9．已知集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，N＝{x|x＝4m＋1，m∈Z}，则“x∈M”是“x∈N”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案
解析
解析：A是全称量词命题，但不是真命题，故A不满足题意；B是真命题，但不是全称量词命题，故B不满足题意；C是全称量词命题，也是真命题，故C满足题意；D是全称量词命题，但不是真命题，故D不满足题意．故选C.
答案
解析
11．下列存在量词命题中是假命题的是(　　)
A．存在x∈Q，使2x－x3＝0
B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0
C．有的自然数是偶数
D．存在一个实数与其相反数的和为0
答案
解析
12．(多选)已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则(　　)
A．p是q的既不充分也不必要条件
B．p是s的充分条件
C．r是q的必要不充分条件
D．s是q的充要条件
解析：由已知，得p r s q，q r s.所以p是q的充分条件；p是s的充分条件；r是q的充要条件；s是q的充要条件．故选BD.
答案
解析
答案
解析
答案
解析
15．(2024·河南商丘高一检测)已知命题p： x∈R，x2－2x＋k＋2＝0，命题q： x∈R，x2－2(k－1)x＋k2－3≠0.若p是真命题，q是假命题，则实数k的取值范围为_____________．
解析：若命题p为真命题，即关于x的方程x2－2x＋k＋2＝0有实根，则Δ1＝4－4(k＋2)≥0，解得k≤－1.若命题q为真命题，则Δ2＝4(k－1)2－4(k2－3)<0，解得k>2，故当q为假命题时，k≤2.因为p是真命题，q是假命题，所以实数k的取值范围为{k|k≤－1}．
{k|k≤－1}
答案
解析
16．(2024·江苏宿迁青华中学高一上月考)设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|2－a≤x≤1＋2a}，其中a∈R.
(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求a的取值范围；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．
解
解
17．(2024·湖南岳阳高一上期中)已知集合A＝{x|0≤x≤a}，B＝{x|m2＋3≤x ≤m2＋4}，如果命题“ m∈R，使得A∩B≠ ”为假命题，求实数a的取值范围．
解：因为“ m∈R，使得A∩B≠ ”为假命题，所以它的否定“ m∈R，使得A∩B＝ ”为真命题，
当a<0时，A＝{x|0≤x≤a}＝ ，符合A∩B＝ ；
当a≥0时，因为m2＋3>0，所以由 m∈R，A∩B＝ 可得a因为m2＋3≥3，所以0≤a<3.
综上，实数a的取值范围为{a|a<3}．
解

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