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苏教版(2019)必修第一册 数学 期中考点大串讲
串讲 03 第3章 不等式
考场练兵
典例剖析
01
02
03
目
录
考点透视
01 考点透视
考点1.不等关系与不等式
知识点用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式．
[点拨]　不等式中文字语言与符号语言之间的转换
文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于或等于，至少，不少于，不低于 小于或等于，至多，不多于，不超过
符号语言 > < ≥ ≤
考点2.实数大小比较的基本事实,重要不等式
知识点　
(1)a>b ___________．
(2)a＝b a－b_______0.
(3)_______ a－b<0.
知识点　
一般地， a，b∈R，有a2＋b2_____2ab，当且仅当_________时，等号成立．
a－b>0
＝
a[点拨]　要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．
≥
a＝b
考点3.等式与不等式的性质
等式的性质 不等式的性质
a＝b ___________ a>b ___________
a＝b，b＝c ___________ a>b，b>c ___________
a＝b a±c＝b±c a>b ___________________
a＝b ac＝bc a>b，c>0 ___________；a>b，c<0 ___________
a＝b，c≠0 ______________ a>b，c>d __________________
— a>b>0，c>d>0 ___________
— a>b>0 _____________________________
b＝a
ba＝c
知识点　
a>c
a＋c>b＋c
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
an>bn(n∈N，n≥2)
考点4.基本不等式
知识点一　
如果a>0，b>0，则_____________，当且仅当________时，等号成立．通常称这个不等式为基本不等式．其中， _________叫做正数a，b的算术平均数， ________叫做正数a，b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数________它们的几何平均数．
a＝b
不小于
考点5.基本不等式与最大(小)值
知识点
　当x，y均为正数时，下面的命题均成立：
(1)若x＋y＝S(S为定值)，则当且仅当_______时，xy取得最_____值_________. (简记：和定积有最大值)
(2)若xy＝P(P为定值)，则当且仅当_________时，x＋y取得最______值______. (简记：积定和有最小值)
x＝y
大
x＝y
小
考点6.利用基本不等式证明不等式,利用基本不等式解决实际问题的一般步骤
知识点
利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆、并、配等变形，使之达到能使用基本不等式的形式．
知识点　
(1)读懂题意，设出变量，列出函数关系式；
(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
(3)在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值；
(4)正确写出答案．
考点7.一元二次不等式的概念,二次函数的零点
知识点　
一般地，我们把只含有________未知数，并且未知数的_____________的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
知识点　
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的_______．
[提醒]　零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标．
一个
最高次数是2
零点
考点8.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
考点8.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
{x|xx2}
R
{x|x1

考点9.简单的分式不等式的解法
（ax+b)(cx+d)>0(<0)
(ax+b)(cx+d)≥0(≤0)
考点10.一元二次不等式恒成立问题
知识点　
(1)在R上的恒成立问题
ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立 ___________________；


ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立 ___________________；


ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立 ___________________；
考点10.一元二次不等式恒成立问题


ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立 ____________．
(2)在给定范围内的恒成立问题
①当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0.
②当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
02 典例透析
考点1.用不等式(组)表示不等关系
解析
【例题1】某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5辆，B型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)．
考点2.作差法比较大小
解：∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)
＝(a－b)2(a＋b)，
∴当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.
解
【例题2】已知a>0，b>0，试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．
考点3.比较大小在实际问题中的应用
【例题3】甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲饭馆的老板每次购进100千克大米，而乙饭馆的老板每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？
解
考点4.利用不等式的性质判断命题的真假
解
考点4.利用不等式的性质判断命题的真假
解
考点5.利用不等式的性质证明不等式
证明
考点6.利用不等式的性质求取值范围
解
【例题6】已知－1考点7.对基本不等式的理解
答案
解析
解析：③中当x，y异号时，不成立．
①②
考点8.利用基本不等式比较大小
答案
解析
a＋b
考点9.配凑法求最值
答案
解析
1
考点10.常数代换法求最值
解
考点11.利用基本不等式证明不等式
证明
考点12.基本不等式在实际问题中的应用
考点12.基本不等式在实际问题中的应用
解
考点13.基本不等式的综合问题
答案
解析
2
考点14.一元二次不等式的解法
【例题14】求下列一元二次不等式的解集：
(1)x2－5x>6；
(2)4x2－4x＋1≤0；
(3)－x2＋7x>6.
解
考点14.一元二次不等式的解法
解
考点15.含参数的一元二次不等式的解法
解：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.
方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a，x2＝a2.
由a2－a＝a(a－1)可知，
①当a<0或a>1时，a2>a，
解原不等式得x>a2或x解
【例题15】解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.
考点15.含参数的一元二次不等式的解法
解
②当0解原不等式得x>a或x③当a＝0时，原不等式为x2>0，∴x≠0；
④当a＝1时，原不等式为(x－1)2>0，
∴x≠1.
综上可知，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|xa2}；当0a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}．
考点16.三个“二次”之间的关系
解
考点16.三个“二次”之间的关系
解
考点17.简单分式不等式的解法
解
考点17.简单分式不等式的解法
解
考点18.不等式恒成立问题
解
【例题18】已知不等式mx2－2x＋m－2<0，若对任意的实数x，不等式恒成立，求m的取值范围．
考点18.不等式恒成立问题
解
(2)若不等式x2＋mx>4x＋m－3对满足1≤m≤4的所有数m恒成立，求实数x的取值范围．
考点18.不等式恒成立问题
解
考点19.一元二次不等式的实际应用
解
【例题19】国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的取值范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
考点19.一元二次不等式的实际应用
解
03 考场练兵
答案
解析
解析：当导火索的长度为x厘米时，燃烧的时间为2x秒，人跑开的距离为4×2x米，为了保证安全，有4×2x>100.
答案
解析
3．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．ab>bc B．ac>bc
C．ab>ac D．a|b|>|b|c
解析：因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以3a>a＋b＋c＝0，3c0，c<0，所以ab>ac.
答案
解析
4．(2024·山西临汾同盛实验中学高一月考)若a，b∈R，则“aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当a0，所以a－b<0，即a答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8<0，所以不等式3x2－2x＋1>0的解集为R.
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
答案
解析
答案
解析
6
证明
证明
解
解

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