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苏教版(2019)必修第一册 数学 期中考点大串讲
串讲 04 第4章 指数与对数
考场练兵
典例剖析
01
02
03
目
录
考点透视
01 考点透视
考点1.根式的定义
(1)a的n次方根的定义：一般地，如果xn＝a，那么x叫做____________，其中n＞1，且n∈N＋.
(2)a的n次方根的表示
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．a的n次方根用符号_______表示；
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．正数a的正的n次方根用符号_______表示，负的n次方根用符号______表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成____________；
a的n次方根
考点2.根式的性质
没有
0
根指数
被开方数
a
a
|a|
考点3.分数指数幂的意义
0
没有意义
提示
考点4.有理数指数幂的运算性质
ar＋s
ars
arbr
考点5.无理数指数幂、实数指数幂的运算性质
知识点 　
(1)对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．
(2)定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．
知识点 　
(1)aras＝_____(a>0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝____ (a>0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝____ (a>0，b>0，r∈R)．
[拓展]　 ＝ar－s(a>0，r，s∈R)．
[提醒]　实数指数幂中一定要有a>0.
ar＋s
ars
arbr
考点6.指数函数的定义
一般地，___________________________________________________________
_________．
[想一想]　指数函数中为什么要规定a>0，且a≠1
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R
提示
考点7.指数增长模型
知识点
在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝_______________．形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．
N(1＋p)x(x∈N)
考点8.指数函数的图像与性质
a>1 0图象
性质 定义域 ____ 值域 _____________ 过定点 过定点________，即x＝___时，y＝___ 函数值 的变化 当x>0时，____； 当x<0时，________ 当x>0时，________；
当x<0时，____
单调性 是R上的增函数 是R上的减函数
对称性 y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 R
(0，＋∞)
(0，1)
0
1
y>1
00y>1
考点9.不同底指数函数图象的相对位置
[点拨]　(1)函数图象只出现在x轴上方．
(2)当a>1时，x→－∞，y→0；当0(3)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．
知识点 　
指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示，则0考点9.不同底指数函数图象的相对位置
在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由_____变_____ ；
在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由_____变_____ ．
即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向递增．
[点拨]　指数函数的底数即直线x＝1与图象交点的纵坐标，由此可求出指数函数底数的大小．
大
小
大
小
考点10.　指数型复合函数的单调性
知识点　
(1)关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0(2)若y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(g(x))的单调性有如下特点：
u＝g(x) y＝f(u) y＝f(g(x))
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
(3)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝g(x)，通过考查f(u)和g(x)的单调性，求出y＝f(g(x))的单调性．
考点11.对数的概念
知识点
(1)对数的概念：一般地，如果_________(a>0，且a≠1)，那么数__叫做以__为底__的对数，记作_________，其中__叫做对数的底数，___叫做真数．
(2)两种特殊的对数
①常用对数：通常，我们将___________的对数叫做常用对数，并把log10N记为______；
②自然对数：_________的对数称为自然对数，并把logeN记为_______(其中e＝2.71828…)．
ax＝N
x
a
N
以10为底
a
N
x＝logaN
lg N
以e为底
ln N
考点11.对数的概念
(3)对数式与指数式的关系
考点12.对数的基本性质
(1)对数的性质
①__________没有对数，即真数N>0；
②1的对数为___，即loga1＝___ (a>0，且a≠1)；
③底数的对数等于___，即logaa＝___ (a>0，且a≠1)．
(2)两个重要的对数恒等式
①alogaN＝___ (a>0，且a≠1，N>0)；
②logaaN＝___ (a>0，且a≠1)．
负数和0
0
0
1
1
N
N
考点13.对数运算性质
logaM＋logaN
logaM－logaN
nlogaM
考点14. 换底公式
1
考点15.对数函数
知识点　　一般地，函数______________________叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是____________．
[点拨]　两种特殊的对数函数
(1)常用对数函数：y＝lg x.
(2)自然对数函数：y＝ln x.
y＝logax(a>0，且a≠1)
(0，＋∞)
考点16.对数函数的图象和性质
定义 y＝logax(a>0，且a≠1) 底数 a>1 0图象
定义域 _________________ 值域 ________ 单调性 ________ ___________
(0，＋∞)
知识点　　
R
增函数
减函数
考点16.对数函数的图象和性质
共点性 图象过定点_________，即x＝1时，y＝0 函数值 x∈(0，1)时，y∈_____________； x∈[1，＋∞)时，y∈______________ x∈(0，1)时，y∈_____________；
x∈[1，＋∞)时，y∈_____________
对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于__________对称 趋势 在直线x＝1右侧，a值越_____，图象越靠近x轴 在直线x＝1右侧，a值越___，图象越靠近x轴 (1，0)
(－∞，0)
[0，＋∞)
(0，＋∞)
(－∞，0]
x轴
大
小
02 典例透析
考点1.n次方根与根式
答案
解析
考点2.根式的化简与求值
解
考点3. 根式与分数指数幂的互化
解
考点4.有理数指数幂的运算
考点4.有理数指数幂的运算
解
考点5.无理数指数幂的运算
考点6.指数幂运算中的条件求值
解
考点8.指数函数的概念
答案
解析
【例题8】若函数f(x)＝a2(2－a)x是指数函数，则a＝________．
解析：因为函数f(x)＝a2(2－a)x是指数函数，所以a2＝1，2－a>0，且2－a≠1，解得a＝－1.
－1
考点9. 指数函数的解析式及应用
答案
解析
考点10.指数函数的图象
　【例题10】如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为(　　)
A．aC．1答案
考点10.指数函数的图象
解析 解法一：由图象可知③④的底数必大于1，
①②的底数必小于1.
作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交
点的纵坐标即各指数函数的底数，则1而可知a，b，c，d与1的大小关系为b解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0且小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．所以a，b，c，d与1的大小关系为b解析
考点11.与指数函数有关的定义域和值域问题
考点11.与指数函数有关的定义域和值域问题
解
考点11.与指数函数有关的定义域和值域问题
解
考点11.与指数函数有关的定义域和值域问题
解
考点12.指数函数图象的应
答案
解析
【例题12】若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
考点13.利用指数函数的单调性比较大小
答案
解析
考点14.利用指数函数的单调性解不等式
解
考点15.指数函数性质综合应用问题
解
考点15.指数函数性质综合应用问题
解
考点15.指数函数性质综合应用问题
解
考点16.对数的概念
答案
解析
考点17.指数式与对数式的互化
考点17.指数式与对数式的互化
解
考点18.利用指数式与对数式的关系求值
考点18.利用指数式与对数式的关系求值
解
考点19.对数的性质及对数恒等式
考点19.对数的性质及对数恒等式
解
考点20.对数运算性质的应用
考点20.对数运算性质的应用
解
考点21.换底公式的应用
【例题21】已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．
解
考点22.对数运算的综合应用
答案
解析
考点23.对数函数的概念
答案
解析
考点24.对数型函数的定义域
解
考点24.对数型函数的定义域
解
考点25.对数型函数在实际问题中的应用
考点25.对数型函数在实际问题中的应用
解
考点26.对数函数的图象及应用
解析　因为函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1，0)，令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．
【例题26】函数y＝loga(x＋1)－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．
答案
解析
(0，－2)
考点27. 　比较对数值的大小
考点27. 　比较对数值的大小
解
考点27. 　比较对数值的大小
解
考点28.对数型函数的单调性
【例题28】函数y＝log2|x－2|在区间(2，＋∞)上(　　)
A．先增后减 B．先减后增
C．单调递增 D．单调递减
解析　当x>2时，函数f(x)＝log2|x－2|＝log2(x－2)．又函数y＝log2u是增函数，u＝x－2在区间(2，＋∞)上也是增函数，故y＝log2|x－2|在区间(2，＋∞)上单调递增．故选C.
答案
解析
考点29.对数型函数的值域问题
解　 (1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.
因为x2＋4≥4，
所以log2(x2＋4)≥log24＝2.
所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．
解
考点29.对数型函数的值域问题
解
03 考场练兵
答案
解析
答案
解析
3．若函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数在定义域内单调递增，则函数f(x)＝loga(x－1)的图象大致是(　　)
解析：由函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数在定义域内单调递增，可得a>1，所以函数f(x)＝loga(x－1)的图象在(1，＋∞)上单调递增，又f(2)＝0，故选D.
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
11．函数y＝3－x的图象是(　　)
答案
解析
12．若函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标为(　　)
A．(0，1) B．(1，1)
C．(2，1) D．(1，2)
解析：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0，1)，所以令x－1＝0，得x＝1，y＝2.所以函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P(1，2)．故选D.
答案
解析
答案
解析
14．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2，0)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
答案
解析
答案
解析
解析：原式＝log62＋log63＝log66＝1.故选D.
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
19．函数y＝loga(x－1)(0＜a＜1)的图象大致是(　　)
解析： ∵0答案
解析
答案
解析
答案
解析
22．若log(x－2)(x2－7x＋13)＝0，则x＝____．
答案
解析
4
答案
解析
(－∞，1)
答案
解析
3
答案
解析
(－∞，－1)
解
27．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份____(填“甲”或“乙”)食堂的营业额较高．
甲
答案
解析
解
解析

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