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2025-2026学年湖南省株洲市南方中学高一上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A.由 1，2，3，1，4 构成的集合是{1,2,3,1,4}
B.满足 2 ≤ < 1 的 构成的集合是 2 ≤ < 1
C.全体实数构成的集合是{ | 是实数}
D.抛物线 = 2 + 1 上的所有点的坐标构成的集合是 | = 2 + 1
2 .若集合 = = 2 , ∈ ， = = 4 , ∈ ，则( )
A. B. C. = D. ∩ =
3.设集合 = ≥ 2 , = 1 ≤ ≤ 4 ，则 ∩ R =( )
A. 1, 2 B. ∞, 4 C. 2, 4 D. 1, + ∞
4.“ > 1”的一个充分不必要条件是( )
A. > 1 B. > 0 C. > 2 D. | | > 1
5.命题“ ∈ Z， Z”的否定是( )
A. ∈ Z， Z B. ∈ Z， Z C. ∈ Z， ∈ Z D. Z， ∈ Z
6.若 > ， > ，则( )
A. 2 > 2
B. >
C. >
D. >
7.已知 > 0， > 0 1，且 4 + 1 = 0，则 + 9 的最小值是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
8.已知集合 = ( , ) | | + | | ≤ 2, ∈ Z, ∈ Z ，若 ，且对任意的( , ) ∈ ，( , ) ∈ ，均有 + ≤
+ ，则 中元素个数的最大值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个关系中错误的是( )
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A. 1 1,2,3 B. 1 ∈ 1,2,3
C. 1,2,3 1,2,3 D.空集 1
10.已知集合 = = 1 , ∈ ， = 2 56 = 0 ，若 ，则实数 的值可以是( )
A. 8 77 B. 8 C. 0 D. 1
11.群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有
重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本
的概念之一，其定义如下：设 是一个非空集合，“ ”是 上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
①对任意的 ， ∈ ，有 ∈ ；②对任意的 ， ， ∈ ，有( ) = ( )；③存在 ∈ ，使得
对任意的 ∈ ，有 = = ， 称为单位元；④对任意的 ∈ ，存在 ∈ ，使 = = ，称
与 互为逆元.则称 关于“ ”新构成一个群.则下列说法不正确的有( )
A. = {0,1,2}关于数的乘法构成群
B.自然数集 关于数的加法构成群
C.实数集 关于数的乘法构成群
D. = { + 2 , ∈ }关于数的加法构成群
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知集合 = 2 < < 2 ， = 2,0,1,2 ，则 ∩ =
13.我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：“今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率
之，问各几何？”其意是：“今有人出钱 576，买竹子 78 根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根
大竹子比小竹子贵 1 钱，问买大、小竹子各多少根？每种竹子单价各是多少钱？”则在这个问题中大竹子
的单价可能为 钱；
14.若 ( + 1) 3 3 2 2 ≥ 0 对任意的 > 0 恒成立，则实数 的取值集合为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
+2
已知集合 = { 4 < 0 }， = { | < 0}
(1)若 ∩ = ，求实数 的取值范围；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知 : ( + 4)( 1) ≤ 0， : 2 (2 + 1) + 2 + ≤ 0．
(1)若 = 1， ， 有且只有一个为真，求实数 的取值范围；
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(2)若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图，直角 中，∠ = 90°， = 3， = 4， 在斜边 上， 在 (包括边界)内， 在线段
上， ， 在线段 上.四边形 和四边形 是矩形， = 2 = 2 ， = = ．
(1)试找出 与 之间的不等量关系式；
(2)求矩形 和矩形 面积之和的最大值．
18.(本小题 17 分)
已知集合 ，若集合 中存在三个元素 , , ，同时满足：① < < ；② + > ；③ + + 为偶
数，则称集合 具有性质 .已知集合 = 1,2,3, , 2 ∈ , ≥ 4 ，对于集合 的非空子集 ，若 中存
在三个互不相同的元素 , , ，使得 + , + , + 均属于 ，则称集合 是集合 的“期待子集”．
(1)若集合 = 1,2,3,5 ，判断集合 是否具有性质 ，并说明理由；
(2)若集合 = 3,4, 具有性质 ，证明：集合 是集合 4的“期待子集”；
(3)已知集合 是集合 的非空子集，证明：“集合 是集合 的‘期待子集’”是“集合 具有性质 ”的充
要条件．
19.(本小题 17 分)
已知实数 ， ， 满足 > > ．
(1) 1 + 1 1求证： + > 0．
(2) 1 1 1 将上述不等式加以推广，把 的分子 1 改为另一个大于 1 的自然数 ，使得 + + > 0 对任意
的 ， ， 恒成立，求 的值．
(3) 继续推广，自然数 ， ， 满足什么条件时，不等式 + + > 0 对任意 ， ， 恒成立？
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 0,1
13.8
14. 6 2 47
15.【详解】(1) +2由 4 < 0，可得 2 < < 4，即 = ( 2,4)，而 = ( ∞, )，
故当 ∩ = 时，有 ≤ 2，即实数 的取值范围为( ∞, 2]；
(2)由(1)已得， = ( 2,4)， = ( ∞, )，由 ∩ = 可得 ，
故得 ≥ 4，即实数 的取值范围[4, + ∞)．
16.【详解】(1)由( + 4)( 1) ≤ 0，得 4 ≤ ≤ 1；
当 = 1 时，由 2 3 + 2 ≤ 0，得 1 ≤ ≤ 2．
若 ， 有且只有一个为真命题，则 真 假，或 假 真，
当 4 ≤ ≤ 1 4 ≤ ≤ 1真 假时， < 1或 > 2，得 4 ≤ < 1；
< 4 > 1当 假 真时， 1 ≤ ≤ 2或 1 ≤ ≤ 2，解得 1 < ≤ 2，
综上，实数 的取值范围为{ ∣ 4 ≤ < 1 或 1 < ≤ 2}．
(2)由 2 (2 + 1) + 2 + ≤ 0，得 ≤ ≤ + 1．
≥ 4因为 是 的充分不必要条件，则 + 1 ≤ 1，且等号不同时成立，解得 4 ≤ ≤ 0，
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所以实数 的取值范围为 ∣ 4 ≤ ≤ 0 ．
17.【详解】(1) 的延长线交 于 ，交 于 ，如图，

此时 // ，所以 = ，
因为 = 2 = 2 ， = = ，
3
所以 4 = 3 ，
≥ 2 2 3 而由题意 ，所以 4 ≤ 4 = 3 ，
可得 ≤ 2 23 ，
因为 < 3 3，所以 2 < 3，解得 0 < < 2，即 ∈ 0, 2 ，
2 3
所以 与 之间的不等量关系式为 ≤ 2 3 ，其中 ∈ 0, 2 ．
(2)矩形 和矩形 面积之和 = 2 + = 3 ，
△ 因为 ，故 =
3 2 12 8
，故4 = 3 ，故 = 3 ，
故 = (12 8 ) 12 8 ，而 3 ≤ 2
2
3 ，故 ≥ 1
3
，故 1 ≤ < 2，
2
= 4 3 + 9而 4 4，故当 = 1 时， max = 4
18.【详解】(1)集合 = 1,2,3,5 不具有性质 ，理由如下：
若取 = 1, = 3, = 5， + + = 9 为奇数，不满足条件③；
若取 = 1, = 2, = 3，或 = 1, = 2, = 5 或 = 2, = 3, = 5，
均有 + ≤ ，不满足条件②，
所以 2 = {1,2,3,5}不具有性质 ；
(2)由 3 + 4 + 是偶数，得实数 是奇数，
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当 < 3 < 4 时，由 + 3 > 4，得 1 < < 3，即 = 2，
因为 2 + 3 + 4 = 9 不是偶数，所以 = 2 不合题意．
当 3 < 4 < 时，由 3 + 4 > ，得 4 < < 7，即 = 5，或 = 6，
因为 3 + 4 + 5 = 12 是偶数，3 + 4 + 6 = 13 不是偶数，所以 = 6 不合题意．
所以集合 = {3,4,5}，令 + = 3, + = 4, + = 5，
解得 = 2, = 1, = 3，
显然 , , ∈ 4 = {1,2,3,4,5,6,7,8}，所以集合 是集合 4的“期待子集”；
(3)先证充分性：当集合 是集合 的“期待子集”时，存在三个互不相同的 , , ，
使得 + , + , + 均属于 ，不妨设 < < ，令 = + ， = + ， = + ，
则 < < ，即满足条件①，
因为 + = ( + ) + ( + ) ( + ) = 2 > 0，所以 + > ，即满足条件②，
因为 + + = 2( + + )，所以 + + 为偶数，即满足条件③，
所以当集合 是集合 的“期待子集”时，集合 具有性质 .
再证必要性：
当集合 具有性质 ，则 中存在 , , ，同时满足① < < ；② + > ；③ + + 为偶数，
= + + = + + + + 令 2 ， 2 ， = 2 ，则由条件①得 < < ，
+ + +
由条件②得 = 2 = 2 > 0，由条件③得 , , 均为整数，
因为 = + + + = + +( ) 2 2 > 2 = 0，
所以 0 < < < < ，且 , , 均为整数，所以 , , ∈ ，
因为 + = , + = , + = ，所以 + , + , + 均属于 ，
所以当集合 具有性质 时，集合 是集合 的“期待子集”，
综上所述，对于 的非空子集 ，集合 是集合 的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质 ．
19.【详解】(1)证明：因为 > > ，所以 > 0， > 0， > 0，
1 1 1 1
所以 + ( ) = + ( ) + ( )
= 2 + + ≥ 2 + 2 = 4，

当且仅当 = ，即 = ，即 + = 2 时等号成立，
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1 1 4 1
所以 + ≥ > ，
1 + 1 + 1所以 > 0．
(2) 1 1 + +

> 0 可变形为
< 1 1 + ( ) + ( ) ，
(1) 1由 知 +
1
( ) + ( ) 的最小值为 4，所以 < 4．
又 > 1，且 ∈ ，所以 = 2 或 3．
(3)类似(2) ，不等式 + + > 0 恒成立，
即 < +

( ) + ( ) 恒成立，

而 + ( ) + ( )
= + + ( ) + ( ) ≥ + + 2 ，
( ) = ( )当且仅当 ，
即 ( ) = ( )时等号成立，
所以 < + + 2
2
，即 < + ，
即 < + ．

所以当自然数 ， ， 满足 < + 时，不等式 + + > 0 对任意 ， ， 恒成立．
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