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荆州中学2025-2026学年高二上学期9月双周练
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数其中为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，则事件与事件的关系为( )
A. 互斥 B. 互为对立 C. 相互独立 D. 相等
3.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中2人都是女同学的概率为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
5.圆台上、下底面面积分别是，侧面积是，这个圆台的体积是( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，，若，，三向量共面，则实数( )
A. B. 2 C. D.
7.在中，角的对边分别为，若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，四棱锥的体积为，底面是平行四边形，，分别是所在棱的中点，则多面体的体积为( )
A. B. C. D.
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
若，则 B. 若，则
C. 若则 D. 若，则
10.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.以下为过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息.
甲：中位数为2，极差为5；
乙地：平均数为1，方差大于0；
丙地：平均数为2，方差为3；
丁地：平均数为2，众数为2
则一定符合该标志的是( )
A. 甲地 B. 乙地 C. 丙地 D. 丁地
11.已知三棱锥，为在底面的射影，下列说法正确的是( )
A. 若三条侧棱与底面所成角均相等，则为的内心
B. 若，垂足为，则为的垂心
C. 若，则为的外心
D. 若三组相对棱的中点间的距离相等，则三组相对的棱也互相垂直
三、填空题：本题共三小题，每题5分，共15分
12.在中，角所对的边分别为，若，则的面积等于__________．
13.小白和小高进行乒乓球比赛，先得11分的人为胜方，但打到10平以后，先多得2分者为胜方.在10：10平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发1个球.若在比赛中，小白发球时小白得分的概率为，小高发球时小白得分的概率为，各球的结果相互独立，现在在双方10：10平后，小白先发球，则双方战至13：11的概率为____________.
14.如图，边长为2的正方形，、分别为线段上的点.
点与构成等边三角形，且点在右上方. ，
. 则的最大值为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知向量.
（1）若，分别求与的值；
（2）若，且与垂直，求.
16.“国庆小长假”即将到来，某市举办了主题为“旅游文化周”的活动为了了解该市关注“旅游文化周”活动的市民的年龄段分布，该市旅游局随机抽取了名年龄在且关注“旅游文化周”的市民进行调查，所得结果统计为如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，估计市民的年龄的平均数、第25百分位数和众数；（同一组数据用该区间的中点值代替）
若按照分层抽样的方法从年龄在，的市民中抽取人进行旅游知识推广，并在知识推广后再抽取人反馈，求进行反馈的市民中至少有人的年龄在的概率.
17.如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在上，且．
请以为原点，分别以为轴正方向
建立空间直角坐标系，并求出点坐标
（2）求证：；
（3）求与所成角的余弦值．
18.如图，在四棱锥，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，
（1）设，分别为，的中点，求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
19.某超市购进了一批“玲珑骰子”如图所示棱长为的水晶正八面体八个面都是全等的正三角形，中间的球体部分是被挖空的表面不被破坏，并嵌入了红豆．
（1）当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积．
（2）超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片甲、乙两人每人抽取一次抽取结果互不影响，求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率．
（3）若点为（1）中球面上的任一点，设，，二面角的平面角为，求证：为定值．荆州中学2024级高二双周练数学试题答案
1-8：C C D B D B A C 9. BC 10.AC 11.BCD
其中原题及其改编的有：1（2024级高一期中联考模拟试卷）
2（必修二课本第253页第1题）
7（2024级高一6.19周练卷）
8（2024级高一6.12周练卷）
10（必修二步步高小本第272页第12题）
11（选项均来自课本课后习题，其中A为自编，B，C为必修二课本第152页第4题，D为选择性必修一课本的第15页第8题）
13.（必修二小本第290页第11题改编）
14.4（必修二课本第53页第11题引申原创题）
15.（长江作业本大本第18页探究2原题）
解：（1）由得
所以，解得
（2）因为，且，
所以
化简得，解得，
16.解：年龄在的频率为：，
故估计该市被抽取市民的年龄的平均数为： ，
中位数：
众数为；
由题意得被抽取的人中，有人年龄在，分别记为，，，；
有人年龄在，分别记为，．
记表示抽取，两人，
则“抽取人进行反馈”包含的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，共种，
其中事件“至少有人的年龄在”包含的基本事件为，，，，，，，，，共种，
故该事件发生的概率为．
解:（1），，
（2），
，
C.
（3）由（2）知，
则，，
，
，
又两直线所成夹角的余弦值不小于，
所以与所成角的余弦值为．
证明：（1）连接，由题意得，，
又由，得，
平面，平面，
平面；
（2）证明：取棱中点，连接，
依题意得，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面，，
又，，
平面，平面，
平面；
（3）解：连接，由中平面，
知是直线与平面所成角，
是等边三角形，，且为中点，
，
又平面，，
，
在中，．
直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：（1）设红豆球心为，半径为，
则四棱锥的高，
正八面体的体积为，
解得，
（2）在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，
该试验的样本空间，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
共个样本点，所以，
每种选择是等可能的，因此这个实验是古典概型，
设事件甲获得“花好”卡片，事件乙获得“花好”卡片，
，，，，，，，，
所以，
从而，
设事件甲获得“月圆”卡片，事件乙获得“月圆”卡片，
任取三个顶点构成三角形，除等边三角形外，其余全部为直角三角形，
所以，
从而，
记两人所获得卡片能凑成“花好月圆”为事件，，且与互斥，
根据概率的加法公式和事件的独立性定义，
得
．
因此甲、乙两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率为．
（3）证明：过点作交或其延长线于点，
过点作交或其延长线于点，
则，，为二面角的的平面角，
在中，，
在中，，
由得，
从而有，
所以，
即，
所以为定值．
解：可设A为原点，方向为轴正方向，再设，
则
，再将逆时针旋转得到向量
则

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