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鲁西新区德能高级中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷
一、选择题
1．命题“,”的否定是( )
A., B.,
C., D.,
2．已知,,则等于( )
A. B. C. D.
3．使不等式成立的一个充分不必要条件是( )
A. B.
C. D.
4．已知集合有且仅有1个真子集,则实数a的取值集合为( )
A. B.
C. D.或
5．若x的不等式的解集中恰有两个整数,则实数m的取值范围是( )
A. B.
C.或 D.或
6．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
7．已知集合，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
8．关于x的不等式的解集中恰有2个整数,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．已知，则下列各选项正确的是( )
A. B.
C. D.
10．下列说法中,正确的是( )
A.若,,则
B.“”是“”的充分不必要条件
C.“对,恒成立”是“”的必要不充分条件
D.设,则的最小值为2
11．以下结论正确的是( )
A.函数的最小值是2
B.若且,则
C.的最小值是2
D.函数的最大值为0
三、填空题
12．已知命题p:，；命题q:，.若p，q都是假命题，则实数m的取值范围是______.
13．已知命题,;命题,.若p,q都是假命题,则实数m的取值范围是____________.
14．在，，设全集，若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________.
四、解答题
15．记全集,已知集合,.
(1)若,求;
(2)若,求a的取值范围.
16．解答下列各题.
(1)若，求的最小值.
(2)若正数满足，
①求的最小值.
②求的最小值.
17．如图,某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为,宽为．
(1)若菜园面积S为,则x,y为何值时,可使所用篱笆总长C最小
(2)若使用的篱笆总长C为,求的最小值．
18．某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备,并从2024年起全面发售.经测算,生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元,每生产x百台高级设备需要另投成本y万元,且,每百台高级设备售价为80万元.
（1）求企业获得年利润P（万元）关于年产量x（百台）函数关系式;
（2）当年产量为多少时,企业所获年利润最大 并求最大年利润.
19．已知函数.
(1)已知函数图象过点,若,求的最小值;
(2)当时,,求关于x的不等式的解集.
参考答案
1．答案：C
所以命题“,”的否定是：
,.
故选：C.
2．答案：A
解析：,,
所以,
故选:A
3．答案：C
解析：因为.
设它的充分不必要条件为p,则集合满足是的真子集.
结合选项知,满足题意,故C成立.
故选：C.
4．答案：B
解析：由集合有且仅有1个真子集,可得集合A中有且只有一个元素,
所以方程有2个相等的实数解,
即,解得,
所以实数a的取值集合为,
故选：B.
5．答案：C
解析：不等式,等价于,
当,即时,不等式的解集为,
若集合中有2个整数,则,得；
若,即时,不等式的解集为,
若集合中有2个整数,则,得；
当,即时,不等式的解集为,不成立；
所以实数m的取值范围是或.
故选：C.
6．答案：B
解析：不等式的解集为,
所以,又,
所以,
故选：B.
7．答案：A
解析：因为，，
所以，
所以，
即图中阴影部分表示的集合为.
故选：A
8．答案：C
解析：由可得,
当时,,即原不等式无解,不满足题意;
当时,原不等式解得,由于解集中恰有2个整数,所以该整数解为2和3,因此可得,即;
当时,原不等式解得,由于解集中恰有2个整数,所以该整数解为和0,因此由数轴法可得,即;
综上:或,所以实数a的取值范围为.
故选:C.
9．答案：AC
解析：对于A，由，
得，则，A正确；
对于B，取，，满足，
而，B错误；
对于C，由，得，
则，因此，C正确；
对于D，取，，，满足，
而，D错误．
故选：AC
10．答案：BC
解析：对于选项A,若,,,,则,故A错误,
对于选项B,能推出,但不能推出,例如：,,故B正确.
对于选项C,由,恒成立,得,
又因为时,,当且仅当时取等号,所以得,
因为由不能推出,由可以推出,
所以“对,恒成立”是“”的必要不充分条件,故C正确.
对于选项D,因为,
所以,
当且仅当,即时取等号,
因此等号取不到,的最小值不为2,故D错误.
故选：BC.
11．答案：BD
解析：对于A,当时,结论显然不成立,故错误；
对于B,由知,,根据均值不等式可得,故正确；
对于C,令,则单调递增,故最小值,故C错误；
对于D,由可知,,当且仅当时取等号,故D正确.
故选：BD.
12．答案：
解析：命题p的否定，为真命题，当时恒成立，当时，可得，故.命题q的否命题，为真命题，所以，解得或，故范围是.
13．答案：
解析：命题p的否定,为真命题,
当时恒成立,当时,可得,故.
命题q的否命题,为真命题,
所以,解得或,
综上,m的取值范围是.
故答案为：.
14．答案：或
解析：解不等式，
即，得，
得，，
“”是“”的充分不必要条件，
A为B的真子集，
分类讨论如下：
①，即时，，不符题意；
②，即时，，
此时需满足，（等号不同时成立），解得，满足题意，
③，即时，，
此时，，（等号不同时成立），解得，满足题意，
综上，或时，满足“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：或
15．答案：(1)或
(2)
解析：(1)由,得,
方法1：
可得或,
由题,有或,
所以或.
方法2：
则,
所以,或.
(2)依题意,或,
因为,所以
解得,故a的取值范围为.
16．答案：(1)7；
(2)①36；②.
解析：(1)由题.
当且仅当，即时取等号；
(2)①由结合基本不等式可得：
，
又为正数，
则，
当且仅当，即时取等号；
②由可得，
则
当且仅当，
又，
即时取等号.
17．答案：(1),
(2)
解析：(1)由已知可得,,
所以,.
又,
所以,,
当且仅当,即时等号成立,此时,
所以,菜园的长x为,宽y为时,可使所用篱笆总长C最小.
(2)由已知可得,,
所以,,
所以,
所以,,
当且仅当,且,即,时等号成立,
所以,z的最小值为.
18．答案：（1）
（2）当年产量为60万台时,企业所获年利润最大,最大利润为350万元.
解析：（1）当,时,
,
当,时,
,
故;
（2）当,时,
,故当百台时,p取得最大值,最大值为万元,
当,时,
（万元）,
当且仅当,即时,等号成立,
由于,故当年产量为60万台时,企业所获年利润最大,最大利润为350万元.
19．答案：(1)
(2)答案见解析
解析：(1)由函数图象过点,即时,,可得,
又因为,可得,
所以,
当且仅当时取等号,即,时取得最小值为.
(2)因为当时,,可得,
则,
当时,不等式的解为;
当时,得,则不等式的解为;
当时,得,则不等式的解为或;
当时,得,则不等式的解为;
当时,得,则不等式的解为或;
综上所述,当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为或;
当时,不等式的解集为或.

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