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浙江省杭州观成教育集团2025-2026学年九年级上学期开学数学试题
1．（2025九上·杭州开学考） 函数的图象与y轴的点坐标是（　　）
A．(2，0) B．(-2，0) C．(0，4) D．(0，-4)
2．（2025九上·杭州开学考） 抛物线 的对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九上·杭州开学考） 下列线段能成比例线段的是（　　）
A．1cm， 2cm， 3cm， 4cm B．1cm， cm， cm， 4cm
C．cm， cm， cm， 1cm D．2cm， 5cm， 3cm， 4cm
4．（2025九上·杭州开学考） 已知线段，，线段c是a和b的比例中项，则c等于（　　）
A．2 B．4 C． D．8
5．（2025九上·杭州开学考） 在一个不透明的盒子中装有8个白球，4个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·杭州开学考） 如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·杭州开学考） 在函数 的图像上有三点 ，，，则下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·杭州开学考） 二次函数 的图象如何平移就得到 的图像（　　）
A．向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位.
B．向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位.
C．向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位.
D．向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位.
9．（2025九上·杭州开学考） 如图是二次函数 图象的一部分，图象过点 A(-3，0)，对称轴为直线 ，给出四个结论：
①；②；③；④，其中正确结论是（　　）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
10．（2025九上·杭州开学考），点是函数图象上任意一点（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．（2025九上·杭州开学考） 某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为　 　.
12．（2025九上·杭州开学考） 若二次函数 的部分图象如图所示，关于 x 的一元二次方程 的一个解 ，则另一个解 　 　.
13．（2025九上·杭州开学考）在“Wish you success”中，任选一个字母，这个字母为“s”的概率为　 　．
14．（2025九上·杭州开学考） 已知，则　 　.
15．（2025九上·杭州开学考） 抛物线 与 y 轴交点的坐标为　 　，与 x 轴交点的坐标为　 　
16．（2025九上·杭州开学考） 如图，抛物线 与交于点 ，过点 作 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 、. 则以下结论，其中正确结论的编号是　 　.
① 无论 取何值， 的值总是正数；②；③ 当 时，；
④ 当 时，；⑤.
17．（2025九上·杭州开学考）小观、小武是某校八年级的同班同学，在升入九年级时，学校打算重新组班，他们将被随机编入A，B，C三个班中的其中一个.
（1）请你用画树状图法或列表法，列出所有可能的结果；
（2）求两人再次成为同班同学的概率.
18．（2025九上·杭州开学考）已知a：b：c=3：5：6，且2a+b-c=10，求abc的值.
19．（2025九上·杭州开学考）已知二次函数的图象经过点(-1， 8)，(2， -1)。
（1） 求这个二次函数的解析式；
（2） 求这个图象的顶点坐标和对称轴.
20．（2025九上·杭州开学考）一个斜抛物体的水平运动距离记为x(m)，对应高度记为h(m)，h与x之间具有函数关系（a，b是常数，）.已知当时，；当时，.
（1） 求h关于x的函数表达式.
（2） 求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平运动距离
21．（2025九上·杭州开学考）口袋里只有8个球，除颜色外都相同. 其中有x个红球，y个白球，没有其他颜色的球，从中任意摸出一个球：
（1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求x和y的值；
（2）在（1）的条件下，现从布袋中取出若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走了多少个白球.
22．（2025九上·杭州开学考）如图，用长为 40cm 的细铁丝围成一个矩形 ABCD（），若这个矩形为黄金矩形（AD 与 AB 之比等于黄金比）.
（1） 求该矩形的长.（结果保留根号）
（2） 求该矩形的面积.（结果保留根号）
23．（2025九上·杭州开学考）在一次高尔夫球的练习中，小成在 O 处击球，其飞行路线满足抛物线 . 其中 y(m) 是球的飞行高度，x(m) 是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有 2m.
（1） 请求出抛物线的顶点坐标；
（2） 请求出球洞离击球点的距离；
（3） 若小成再一次从 O 处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线？求出其解析式.
24．（2025九上·杭州开学考）已知抛物线 (a，b 为常数，且 )。
（1） 当 ， 时，直接写出顶点坐标　 　；当 ， 时，直接写出顶点坐标　 　；
（2） 抛物线的顶点坐标随 a、b 的取值而改变，若 ，当抛物线的顶点在最低位置时：
① 求 a 与 b 满足的关系式；
② 抛物线上有两点 (2，s)，(m，t)，当 时，求 m 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：把x=0代入 得y=-4，则交点坐标是(0，-4).
故答案为：D .
【分析】抛物线 与y轴的交点的横坐标为0，故把x=0代入上式求出函数值即可.
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：根据 其对称轴为直线x=h可得：
那么其对称轴为直线x=1，
故答案为：A .
【分析】根据 其对称轴为直线x=h解题即可.
3．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：在A选项中，1：2≠3：4，故A不能构成比例线段；
在B选项中， 故B能构成比例线段；
在C选项中， 故C不能构成比例线段；
在D选项中，2：3≠4：5，故D不能构成比例线段；
故答案为：B .
【分析】成比例线段是指四条线段中的两条线段的比和另外两条线段的比相等，故可利用较短两条线段的比与较长两条线段的比是否相等来判断，
4．【答案】B
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，
故答案为：B .
【分析】根据比例中项的定义得到 然后利用算术平方根的定义求c的值.
5．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，白球个数占球总数的
故答案为：A .
【分析】根据概率的定义解答即可.
6．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：黄金分割定义知， 所以
设AB=1，AC=x，
解得：
故答案为：C .
【分析】根据黄金分割点的定义解答即可.
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：函数 的图象上有三点， )，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 -1，
∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大，
故答案为：C .
【分析】由题意可知该抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-1，根据二次函数图象的性质，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：可化为
向左平移1个单位，向下平移3个单位得到
故答案为：C .
【分析】根据配方法，可得顶点式解析式，根据右移减，上移加，可得答案.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为
与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
即 正确；
②∵抛物线的开口向下，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∵对称轴为
错误；
1时y有最大值，
由图象可知y≠0，错误；
④把x=1，x=-3代入解析式得a+b+c=0， 9
a-3b+c=0，两边相加整理得
5a-b=-c<0，即5a故答案为：B .
【分析】由抛物线的开口向下知a<0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c>0，由对称轴为 可以判定②错误；由图象与x轴有交点，对称轴为 与y轴的交点在y轴的正半轴上，可以推出 即 ①正确；由x=-11时y有最大值，由图象可知y≠0，③错误.然后即可作出选择.
10．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴直线为，
又∵m＞0，
∴y的最小值为，
又∵点（x0，y0）是该函数图象上的任意一点，
∴，
∴点n≥0时，.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的对称性可求出抛物线的对称轴直线为，进而结合m＞0可求出该函数的最小值，最后结合函数图象上点的坐标特点即可得出结论.
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抬头看信号灯时，是黄灯的概率为：
=5÷60
故答案为： .
【分析】随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时是黄灯的概率即可.
12．【答案】-1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数 关于x的一元二次方程3 的一个解 另一个解为x2， 对称轴为直线x=1，
解得：
故答案为：-1.
【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，可直接求出 的值.
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：任选一个字母，这个字母为“s”的概率为： = ，
故答案为： ．
【分析】这句话中共有字母14个，从中任选一个，共有14种等可能的结果，其中S出现了4次，根据概率公式即可算出任选一个字母，这个字母为“s”的概率。
14．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由分式的基本性质得：2(5x+y)=3x-2y，整理得
故答案为：
【分析】利用分式的性质，将 化为2(5x+y)=3x-2y，再整理得 即可求解.
15．【答案】；
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时， 故抛物线与y轴交点的坐标为
当y=0时，有
解得：
所以与x轴交点坐标为(1，0)，((-7，0).
故答案为：
【分析】根据函数图象与y轴交点的横坐标为0，与x轴交点的纵坐标为0，代入解析式即可求解.
16．【答案】①⑤
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①由图可知，y2的图象在x轴的上方，可见，无论x 取何值，y2的值总是正数，故本选项正确；
②将点A(1，3)代入抛物线 得a 解得 故本选项错误；
③当x=0时， ，故本选项错误；
④令 则有 ，解得 几何图象可知， -35⑤令 解得， 或 ；AB=5+1=6；
解得， =5-1=4；
则2AB=3AC..故本选项正确.
故答案为：①⑤.
【分析】①根据图象可以判断出图象都在x轴的上方，据此即可得知，无论x取何值，y2的值总是正数； ②将点A(1，3)代入 得 即可判断；③将x=0分别代入 和 求出y1与y2的值，再相减即可得到 的值；④令 求出两个函数的交点坐标，再根据图象判断x的取值范围；⑤令 分别解方程，求出A、B、C点的横坐标，再计算出AB、AC的长，即可做出正确判断.
17．【答案】（1）解：画树状图如下：
由树状图可知，所有可能的结果为AA，AB，AC，BA， CA， BC， CA， BB， CC.
（2）解：由(1)可知，两人再次成为同伴同学的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)根据题意列出树状图，列出所有等可能结果数即可；
(2)找出两人再次成为同伴的结果数，利用概率公式解答.
18．【答案】解：设a=3k，b=5k，c=6k，
∴2a+b-c=6k+5k-6k=5k=10，
解得k=2，
∴a=6，b=10，c=12，
∴abc=6×25×12=720.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】设a=3k，b=5k，c=6k，代入代数式求出k的值，然后求出乘积即可.
19．【答案】（1）解：由题意可得：
（2）解：
∴顶点坐标(2，-1)，对称轴为直线x =2.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用待定系数法解题即可；
(2)将其表达式变成顶点式，然后根据 +k(a≠0)，其对称轴为x=h，顶点坐标为(h，k)解题即可.
20．【答案】（1）解：∵当x=2时，h=9；当x=4时，h=14，
解得
∴h关于x的函数表达式为： ；
（2）解：
∴斜抛物体的最大高度为18m，达到最大高度时的水平距离为8m.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将当x=2时， h=9； 当x=4时， h=14， 代入解析式，解关于a，b的二元一次方程组即可；
(2)配方为顶点式，解答即可.
21．【答案】（1）解：∵摸到红球与摸到白球的可能性相等，且x+y=8
（2）解：设取走x个白球，放入x个红球，则口袋中现在有白球(4-x)个，红球((4+x)个，
根据题意得，
解得：x=3，
答：取走3个白球.
【知识点】概率公式
【解析】【分析】(1)根据红球与白球的数量的情况即可求解；
(2)设取走x个白球，根据概率公式列出关于x的方程，解出x的值即可.
22．【答案】（1）解：用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD(AB>AD).
设AB=xcm，那么AD=(20-x)cm，
经检验， 是原方程的根，
答：矩形的长为
（2）解： m，
答：该矩形的面积为
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】(1)设AB=xcm，那么AD=(20-x)cm，然后根据AD与AB之比等于黄金比 代入解方程即可；
(2)利用长乘以宽，直接计算出答案即可.
23．【答案】（1）解： ，
∴抛物线 的顶点为
（2）解：令y=0，得：
解得：
∴球飞行的最大水平距离是8m，
∴球洞离击球点的距离为88+2=10m；
（3）解：要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m
∴抛物线的对称轴为直线x=5，顶点为 ，
设此时对应的抛物线解析式为 ，
又∵点(0，0)在此抛物线上，
即其解析式为
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】(1)用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标；
(2)令y=0，解出x1，x2的值，则球飞行的最大水平 距离 即可得到结论；
(3)用待定系数法求出二次函数的解析式.
24．【答案】（1）(1，4)；(-1，0)
（2）解：
顶点纵坐标为
若a<0，则
当抛物线的顶点在最低位置时，取最小值，
∴a与b满足的关系式为b=2a；
②由 (1) 知，b=2a，抛物线的解析式为y=a 对称轴为：x=-1，作图如下：
由对称性可知，x=2和x=-4对应的函数值相同，都等于s.
∴当s【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：(1) 当a=-1，b=2时，抛物线解析式为y=-y=-
顶点坐标为(1，4).
当a=2，b=4时，抛物线解析式为 顶点坐标为(-1，0).
故答案为：(1，4)；(-1，0)；
【分析】(1)代入a与b的值，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可求顶点坐标；
(2)①利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而可得顶点纵坐标为 再结合题中条件推出a与b满足的关系式；
②结合函数图象即可求m的取值范围.
1 / 1浙江省杭州观成教育集团2025-2026学年九年级上学期开学数学试题
1．（2025九上·杭州开学考） 函数的图象与y轴的点坐标是（　　）
A．(2，0) B．(-2，0) C．(0，4) D．(0，-4)
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：把x=0代入 得y=-4，则交点坐标是(0，-4).
故答案为：D .
【分析】抛物线 与y轴的交点的横坐标为0，故把x=0代入上式求出函数值即可.
2．（2025九上·杭州开学考） 抛物线 的对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：根据 其对称轴为直线x=h可得：
那么其对称轴为直线x=1，
故答案为：A .
【分析】根据 其对称轴为直线x=h解题即可.
3．（2025九上·杭州开学考） 下列线段能成比例线段的是（　　）
A．1cm， 2cm， 3cm， 4cm B．1cm， cm， cm， 4cm
C．cm， cm， cm， 1cm D．2cm， 5cm， 3cm， 4cm
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：在A选项中，1：2≠3：4，故A不能构成比例线段；
在B选项中， 故B能构成比例线段；
在C选项中， 故C不能构成比例线段；
在D选项中，2：3≠4：5，故D不能构成比例线段；
故答案为：B .
【分析】成比例线段是指四条线段中的两条线段的比和另外两条线段的比相等，故可利用较短两条线段的比与较长两条线段的比是否相等来判断，
4．（2025九上·杭州开学考） 已知线段，，线段c是a和b的比例中项，则c等于（　　）
A．2 B．4 C． D．8
【答案】B
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：∵线段c是线段a、b的比例中项，
故答案为：B .
【分析】根据比例中项的定义得到 然后利用算术平方根的定义求c的值.
5．（2025九上·杭州开学考） 在一个不透明的盒子中装有8个白球，4个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，白球个数占球总数的
故答案为：A .
【分析】根据概率的定义解答即可.
6．（2025九上·杭州开学考） 如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（），则下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：黄金分割定义知， 所以
设AB=1，AC=x，
解得：
故答案为：C .
【分析】根据黄金分割点的定义解答即可.
7．（2025九上·杭州开学考） 在函数 的图像上有三点 ，，，则下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：函数 的图象上有三点， )，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 -1，
∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大，
故答案为：C .
【分析】由题意可知该抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-1，根据二次函数图象的性质，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可.
8．（2025九上·杭州开学考） 二次函数 的图象如何平移就得到 的图像（　　）
A．向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位.
B．向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位.
C．向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位.
D．向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位.
【答案】C
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：可化为
向左平移1个单位，向下平移3个单位得到
故答案为：C .
【分析】根据配方法，可得顶点式解析式，根据右移减，上移加，可得答案.
9．（2025九上·杭州开学考） 如图是二次函数 图象的一部分，图象过点 A(-3，0)，对称轴为直线 ，给出四个结论：
①；②；③；④，其中正确结论是（　　）
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：①∵图象与x轴有交点，对称轴为
与y轴的交点在y轴的正半轴上，
又∵二次函数的图象是抛物线，
∴与x轴有两个交点，
即 正确；
②∵抛物线的开口向下，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∵对称轴为
错误；
1时y有最大值，
由图象可知y≠0，错误；
④把x=1，x=-3代入解析式得a+b+c=0， 9
a-3b+c=0，两边相加整理得
5a-b=-c<0，即5a故答案为：B .
【分析】由抛物线的开口向下知a<0，与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c>0，由对称轴为 可以判定②错误；由图象与x轴有交点，对称轴为 与y轴的交点在y轴的正半轴上，可以推出 即 ①正确；由x=-11时y有最大值，由图象可知y≠0，③错误.然后即可作出选择.
10．（2025九上·杭州开学考），点是函数图象上任意一点（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴直线为，
又∵m＞0，
∴y的最小值为，
又∵点（x0，y0）是该函数图象上的任意一点，
∴，
∴点n≥0时，.
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的对称性可求出抛物线的对称轴直线为，进而结合m＞0可求出该函数的最小值，最后结合函数图象上点的坐标特点即可得出结论.
11．（2025九上·杭州开学考） 某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：抬头看信号灯时，是黄灯的概率为：
=5÷60
故答案为： .
【分析】随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时是黄灯的概率即可.
12．（2025九上·杭州开学考） 若二次函数 的部分图象如图所示，关于 x 的一元二次方程 的一个解 ，则另一个解 　 　.
【答案】-1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数 关于x的一元二次方程3 的一个解 另一个解为x2， 对称轴为直线x=1，
解得：
故答案为：-1.
【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，可直接求出 的值.
13．（2025九上·杭州开学考）在“Wish you success”中，任选一个字母，这个字母为“s”的概率为　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：任选一个字母，这个字母为“s”的概率为： = ，
故答案为： ．
【分析】这句话中共有字母14个，从中任选一个，共有14种等可能的结果，其中S出现了4次，根据概率公式即可算出任选一个字母，这个字母为“s”的概率。
14．（2025九上·杭州开学考） 已知，则　 　.
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由分式的基本性质得：2(5x+y)=3x-2y，整理得
故答案为：
【分析】利用分式的性质，将 化为2(5x+y)=3x-2y，再整理得 即可求解.
15．（2025九上·杭州开学考） 抛物线 与 y 轴交点的坐标为　 　，与 x 轴交点的坐标为　 　
【答案】；
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当x=0时， 故抛物线与y轴交点的坐标为
当y=0时，有
解得：
所以与x轴交点坐标为(1，0)，((-7，0).
故答案为：
【分析】根据函数图象与y轴交点的横坐标为0，与x轴交点的纵坐标为0，代入解析式即可求解.
16．（2025九上·杭州开学考） 如图，抛物线 与交于点 ，过点 作 轴的平行线，分别交两条抛物线于点 、. 则以下结论，其中正确结论的编号是　 　.
① 无论 取何值， 的值总是正数；②；③ 当 时，；
④ 当 时，；⑤.
【答案】①⑤
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①由图可知，y2的图象在x轴的上方，可见，无论x 取何值，y2的值总是正数，故本选项正确；
②将点A(1，3)代入抛物线 得a 解得 故本选项错误；
③当x=0时， ，故本选项错误；
④令 则有 ，解得 几何图象可知， -35⑤令 解得， 或 ；AB=5+1=6；
解得， =5-1=4；
则2AB=3AC..故本选项正确.
故答案为：①⑤.
【分析】①根据图象可以判断出图象都在x轴的上方，据此即可得知，无论x取何值，y2的值总是正数； ②将点A(1，3)代入 得 即可判断；③将x=0分别代入 和 求出y1与y2的值，再相减即可得到 的值；④令 求出两个函数的交点坐标，再根据图象判断x的取值范围；⑤令 分别解方程，求出A、B、C点的横坐标，再计算出AB、AC的长，即可做出正确判断.
17．（2025九上·杭州开学考）小观、小武是某校八年级的同班同学，在升入九年级时，学校打算重新组班，他们将被随机编入A，B，C三个班中的其中一个.
（1）请你用画树状图法或列表法，列出所有可能的结果；
（2）求两人再次成为同班同学的概率.
【答案】（1）解：画树状图如下：
由树状图可知，所有可能的结果为AA，AB，AC，BA， CA， BC， CA， BB， CC.
（2）解：由(1)可知，两人再次成为同伴同学的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】(1)根据题意列出树状图，列出所有等可能结果数即可；
(2)找出两人再次成为同伴的结果数，利用概率公式解答.
18．（2025九上·杭州开学考）已知a：b：c=3：5：6，且2a+b-c=10，求abc的值.
【答案】解：设a=3k，b=5k，c=6k，
∴2a+b-c=6k+5k-6k=5k=10，
解得k=2，
∴a=6，b=10，c=12，
∴abc=6×25×12=720.
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】设a=3k，b=5k，c=6k，代入代数式求出k的值，然后求出乘积即可.
19．（2025九上·杭州开学考）已知二次函数的图象经过点(-1， 8)，(2， -1)。
（1） 求这个二次函数的解析式；
（2） 求这个图象的顶点坐标和对称轴.
【答案】（1）解：由题意可得：
（2）解：
∴顶点坐标(2，-1)，对称轴为直线x =2.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)利用待定系数法解题即可；
(2)将其表达式变成顶点式，然后根据 +k(a≠0)，其对称轴为x=h，顶点坐标为(h，k)解题即可.
20．（2025九上·杭州开学考）一个斜抛物体的水平运动距离记为x(m)，对应高度记为h(m)，h与x之间具有函数关系（a，b是常数，）.已知当时，；当时，.
（1） 求h关于x的函数表达式.
（2） 求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平运动距离
【答案】（1）解：∵当x=2时，h=9；当x=4时，h=14，
解得
∴h关于x的函数表达式为： ；
（2）解：
∴斜抛物体的最大高度为18m，达到最大高度时的水平距离为8m.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将当x=2时， h=9； 当x=4时， h=14， 代入解析式，解关于a，b的二元一次方程组即可；
(2)配方为顶点式，解答即可.
21．（2025九上·杭州开学考）口袋里只有8个球，除颜色外都相同. 其中有x个红球，y个白球，没有其他颜色的球，从中任意摸出一个球：
（1）如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求x和y的值；
（2）在（1）的条件下，现从布袋中取出若干个白球，并放入相同数量的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走了多少个白球.
【答案】（1）解：∵摸到红球与摸到白球的可能性相等，且x+y=8
（2）解：设取走x个白球，放入x个红球，则口袋中现在有白球(4-x)个，红球((4+x)个，
根据题意得，
解得：x=3，
答：取走3个白球.
【知识点】概率公式
【解析】【分析】(1)根据红球与白球的数量的情况即可求解；
(2)设取走x个白球，根据概率公式列出关于x的方程，解出x的值即可.
22．（2025九上·杭州开学考）如图，用长为 40cm 的细铁丝围成一个矩形 ABCD（），若这个矩形为黄金矩形（AD 与 AB 之比等于黄金比）.
（1） 求该矩形的长.（结果保留根号）
（2） 求该矩形的面积.（结果保留根号）
【答案】（1）解：用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD(AB>AD).
设AB=xcm，那么AD=(20-x)cm，
经检验， 是原方程的根，
答：矩形的长为
（2）解： m，
答：该矩形的面积为
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】(1)设AB=xcm，那么AD=(20-x)cm，然后根据AD与AB之比等于黄金比 代入解方程即可；
(2)利用长乘以宽，直接计算出答案即可.
23．（2025九上·杭州开学考）在一次高尔夫球的练习中，小成在 O 处击球，其飞行路线满足抛物线 . 其中 y(m) 是球的飞行高度，x(m) 是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有 2m.
（1） 请求出抛物线的顶点坐标；
（2） 请求出球洞离击球点的距离；
（3） 若小成再一次从 O 处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线？求出其解析式.
【答案】（1）解： ，
∴抛物线 的顶点为
（2）解：令y=0，得：
解得：
∴球飞行的最大水平距离是8m，
∴球洞离击球点的距离为88+2=10m；
（3）解：要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m
∴抛物线的对称轴为直线x=5，顶点为 ，
设此时对应的抛物线解析式为 ，
又∵点(0，0)在此抛物线上，
即其解析式为
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】(1)用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标；
(2)令y=0，解出x1，x2的值，则球飞行的最大水平 距离 即可得到结论；
(3)用待定系数法求出二次函数的解析式.
24．（2025九上·杭州开学考）已知抛物线 (a，b 为常数，且 )。
（1） 当 ， 时，直接写出顶点坐标　 　；当 ， 时，直接写出顶点坐标　 　；
（2） 抛物线的顶点坐标随 a、b 的取值而改变，若 ，当抛物线的顶点在最低位置时：
① 求 a 与 b 满足的关系式；
② 抛物线上有两点 (2，s)，(m，t)，当 时，求 m 的取值范围.
【答案】（1）(1，4)；(-1，0)
（2）解：
顶点纵坐标为
若a<0，则
当抛物线的顶点在最低位置时，取最小值，
∴a与b满足的关系式为b=2a；
②由 (1) 知，b=2a，抛物线的解析式为y=a 对称轴为：x=-1，作图如下：
由对称性可知，x=2和x=-4对应的函数值相同，都等于s.
∴当s【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：(1) 当a=-1，b=2时，抛物线解析式为y=-y=-
顶点坐标为(1，4).
当a=2，b=4时，抛物线解析式为 顶点坐标为(-1，0).
故答案为：(1，4)；(-1，0)；
【分析】(1)代入a与b的值，利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，即可求顶点坐标；
(2)①利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，进而可得顶点纵坐标为 再结合题中条件推出a与b满足的关系式；
②结合函数图象即可求m的取值范围.
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