资源简介

15.3.2 等边三角形
基础巩固提优
1.(2025·江苏南通崇川区期末)如图，某研究性学习小组为测量学校 A 与河对岸工厂 B 之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A=60°,∠C=90°,AC=3km.据此,可求得学校与工厂之间的距离AB 等于（ ）.
A. 5km B. km C. 3 km D. 6km
2. 如图,a∥b,△ABC 为等边三角形,若∠1=45°,则∠2 的度数为（ ）.
A. 105° B. 120° C. 75° D. 45°
3.(2025·江苏扬州仪征期中)如图,△ABC 是等边三角形,AB=6,BD 是∠ABC 的平分线,延长BC 到E,使CE=CD,则BE 长为( ).
A. 7 B. 8 C. D. 9
4.(2025·云南昆明民大附中期末)如图,△ABC 为等边三角形，D 为 BC 延长线上一点，作 DE∥AB 交AC 的延长线于点E.若AB=5,AE=8,则 DE 的长为 .
5.(2025·广东广州华南师大附中期末)如图，在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点 E 为AD上一点,连接BD,CE 交于点F,CE∥AB.
(1)若△ABD 为等边三角形,请判断△DEF的形状，并说明理由；
(2)在(1)的条件下,若AD=12,CE=9,求CF 的长.
6.如图,△ABC 是等边三角形,O为△ABC 内任意一点,OE∥AB,OF∥AC,分别交 BC 于点 E,F.求证:△OEF 是等边三角形.
思维拓展提优
7. 如图,∠MON=30°,点A ,A ,A ,…在射线ON 上,点 B ,B ,B ,…在射线 OM 上,△A B A ,△A B A ,△A B A ,…均为等边三角形.若 ,则△A B A 的边长为( ).
A. 8 B. 16 C. 24 D. 32
8.(2025·福建福州十九中期末)如图，已知点 M 是等边三角形 ABC 的边 AB 上的一点,若∠AMC=103°,则在以线段 AM,BM,CM 为边围成的三角形中，最小内角的度数为 °.
9.中考新考法 新定义问题 (2024·山东临沂经开区期末)定义：如果三角形有两个内角的差为 60°，那么这样的三角形叫作“准等边三角形”.已知△ABC 是“准等边三角形”,其中∠A=50°,∠C>90°,则∠B= .
10. (2025·黑龙江绥化海伦期末)如图，在平面直角坐标系xOy 中,已知点 A 的坐标是(0,1),以 OA为边在右侧作等边三角形OAA ，过点 A 作x 轴的垂线，垂足为点O ，以 O A 为边在右侧作等边三角形O A A ,再过点 A 作 x 轴的垂线,垂足为点O ，以O A 为边在右侧作等边三角形O A A ，…，按此规律继续作下去，得到等边三角形( 则点 A 的纵坐标为 .
11. (2025·福建南平期末)如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=100°,以 AC 为边,在△ABC的外部作等边三角形 ACD，E 是 AC 的中点,连接 DE 并延长交 BC 于 F.求∠DFC的度数.
12.在边长为9 的等边三角形 ABC 中,点 Q 是BC 上一点，点P 是 AB 上一动点，以每秒1个单位的速度从点 A 向点 B 移动，设运动时间为t秒.
(1)如图(1),若BQ=6,PQ∥AC,求 t 的值.
(2)如图(2),若点 P 从点 A 向点 B 运动,同时点 Q 以每秒2个单位的速度从点 B 经点C 向点 A 运动,当 t 为何值时,△APQ 为等边三角形
13. 如图,△ABC 为等边三角形,直线a∥AB,D 为直线 BC 上任一动点,将一 60°角的顶点置于点 D 处，它的精题详解一边始终经过点 A，另一边与直线 a 交于点E.
(1)若 D 恰好是 BC 的中点(如图(1)),求证：△ADE 是等边三角形.
(2)若D 为直线BC 上任一点(如图(2)),其他条件不变，上述(1)的结论是否成立 若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
延伸探究提优
14. (2025·浙江杭州萧山区期末)在△ABC 中,已知点 D 在BC上,且 CD=CA,点 E 在CB 的延长线上,且BE=BA.
(1)如图(1),若∠BAC=120°,AB=AC,求∠DAE 的度数;
(2)试探求∠DAE 与∠BAC 的数量关系;
(3)如图(2),若AB 平分∠DAE,AC⊥CD于点C,求证:BE=2CD.
15.如图，已知△ABC 是等边三角形，点 D 是边BC 上一点.
(1)以 AD 为边构造等边三角形ADE(其中点 D,E 在直线 AC 两侧),连接 CE,猜想CE 与AB 的位置关系，并证明你的结论；
(2)若过点 C 作CM∥AB,在 CM 上取一点F,连接 AF,DF,使得 AF=DF,试猜想△ADF 的形状，并证明你的结论.
16. (2024·泰安中考)如图,直线l∥m,等边三角形ABC 的两个顶点 B,C分别落在直线l,m 上,若∠ABE=21°,则∠ACD 的度数是( ).
45° B. 39° C. 29° D. 21°
15.3.2 等边三角形
1. D
2. A [解析]∵△ABC为等边三角形,
∴∠ACB=60°.∵∠1=45°,
∴∠1+∠ACB=105°.
∵a∥b,∴∠2=∠1+∠ACB=105°.故选 A.
3. D [解析]由题意可知,BC=AB=AC=6.
∵BD 是∠ABC 的平分线,CE=CD,
∴BE=BC+CE=9.故选D.
4. 3 [解析]由条件可知,AB=AC=5,∠A=∠B=60°.
∵AE=8,∴CE=AE-AC=8-5=3.
∵DE∥AB,∴∠D=∠B=60°,∠E=∠A=60°,
∴∠D=∠E=60°,∴△CDE 为等边三角形,
∴DE=CE=3.
5. (1)△DEF 是等边三角形.理由如下:
∵△ABD 为等边三角形,
∴∠ADB=∠A=∠ABD=60°.
∵CE∥AB,
∴∠DEF=∠A=60°,∠EFD=∠ABD=60°,
∴△DEF 是等边三角形.
(2)连接AC 交BD 于点O,如图,∵AB=AD,CB=CD,∴AC 垂直平分BD,
∴AO⊥BD,∴∠BAO=∠DAO=30°.
∵CE∥AB,
∴∠ACE=∠BAO=∠DAO,
∴AE=CE=9,∴DE=AD-AE=12-9=3.
∵△DEF 是等边三角形,
∴EF=DE=3,∴CF=CE-EF=6.
6. ∵△ABC 是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=60°.
∵OE∥AB,∴∠OEF=∠ABC=60°.
∵OF∥AC,∴∠OFE=∠ACB=60°,
∴∠EOF=∠OEF=∠OFE=60°,
∴△OEF 是等边三角形.
7. D [解析]∴△A B A 为等边三角形,
又∠MON=30°,∴∠A B O=30°,
∴△OA B 为等腰三角形, 即△A B A 的边长为1,
同理△A B A 的边长为2,△A B A 的边长为4,…,以此类推,△AnB A 的边长为2 ,
∴△A B A 的边长为 故选 D.
8.17 [解析]如图所示,将△CBM绕点C 顺时针旋转60°得到△CAQ,
∴CM=CQ,∠MCQ=60°,BM=AQ,∠AQC=∠BMC,
∴△CMQ为等边三角形,∴MQ=CM,∠CQM=60°,
∴以AM,BM,CM线段为边的三角形,即△AMQ,最小的锐角为∠AQM.
∵∠AMC=103°,∴∠CMB=180°-103°=77°,
∴∠CQA=∠CMB=77°,
∴∠AQM=∠CQA-∠CQM=77°-60°=17°.
9. 20°或35°[解析]∵△ABC 是“准等边三角形”,∠A =50°,∠C>90°,∴分两种情况:
当∠C-∠A=60°时,
∴∠B=180°-∠C-∠A=180°-110°-50°=20°;当∠C-∠B=60°时,
∵∠A=50°,∴∠C+∠B=180°-∠A=130°,
∴2∠B=70°,∴∠B=35°.
综上所述,∠B 的度数为20°或35°.
[解析]∵三角形OAA 是等边三角形， 在 Rt△O OA 中, ，即点A 的纵坐标为 同理， 即点A 的纵坐标为 点 A 的纵坐标为 ∴点 A 的纵坐标为(
11.∵AB=AC,∠BAC=100°,
∵△ACD 是等边三角形,E 是AC 的中点,∴DE⊥AC,
∴∠CEF=90°,
∴∠DFC+∠ACB=90°,
12.(1)∵△ABC 是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°.
∵PQ∥AC,
∴∠BQP=∠C=60°,∠BPQ=∠A=60°.
∴∠B=∠BQP=∠BPQ,
∴△BPQ 是等边三角形,∴BP=BQ.
由题意可知AP=t,则BP=9-t,∴9-t=6,解得t=3,∴t的值为3.
(2)①如图(1),当点 Q 在边 BC上时,此时△APQ 不可能为等边三角形；
②如图(2),当点 Q 在边AC上时,
若△APQ 为等边三角形,则AP=AQ,
由题意可知AP=t,BC+CQ=2t,
∴AQ=BC+AC-(BC+CQ)=9+9-2t=18-2t,即18-2t=t,解得t=6,
∴当t=6时,△APQ为等边三角形.
13.(1)∵a∥ AB,且△ABC 为等边三角形,
∴∠ACE=∠BAC=∠ABD=60°,AB=AC.
∵BD=CD,∴AD⊥BC.
∵∠ADE=60°,∴∠EDC=30°,
∴∠DEC=∠DOC-∠ACE=30°,
∴∠EDC=∠DEC,∴EC=CD=DB,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AD=AE,且
∴△ADE 是等边三角形.
(2)成立.理由如下：
如图,在AC上取点F,使CF=CD,连接DF.
∵∠ACB=60°,∴△DCF 是等边三角形.
∵∠ADF+∠FDE=∠EDC+∠FDE=60°,
∴∠ADF=∠EDC.
∵∠DAF+∠ADE=∠DEC+∠ACE,
∴∠DAF=∠DEC,
∴△ADF≌△EDC(AAS),∴AD=ED.又∠ADE=60°,∴△ADE 是等边三角形.
14.(1)∵∠BAC=120°,AB=AC,
∵CD=CA,
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=45°.
∵BE=BA,∴∠E=∠BAE.
∵∠ABC=∠E+∠BAE=2∠BAE,
∴2∠BAE=30°,∴∠BAE=15°,
∴∠DAE=∠BAE+∠BAD=15°+45°=60°.
(2)∠BAC=2∠DAE,理由如下:
∵CD=CA,∴设∠CAD=∠CDA=α.
∵BE=BA,∴设∠E=∠BAE=β,
∴∠ABD=∠E+∠BAE=2β.
∵∠CDA=∠ABD+∠DAB,
∴∠DAB=∠CDA-∠ABD=α-2β,
∴∠BAC=∠DAB+∠CAD=α-2β+α=2(α-β).
∵∠DAE=∠BAE+∠DAB=β+α-2β=α-β,
∴∠BAC=2∠DAE.
(3)∵AB平分∠DAE,∴设∠BAE=∠BAD=θ.
∵BE=BA,∴∠E=∠BAE=θ,
∴∠ABD=∠E+∠BAE=2θ.
∵CD=CA,AC⊥CD,
∴△CAD 是等腰直角三角形,∴∠ADC=45°.
∵∠ADC=∠ABD+∠BAD=3θ,
∴3θ=45°,∴θ=15°,∴∠ABD=2θ=30°.
在Rt△ABC 中,∠ABD=30°,∴BA=2CA.
∵CD=CA,BE=BA,∴BE=2CD.
15.(1)CE∥AB.证明如下:
如图(1),∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠B=∠BAC=∠DAE=60°,
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD 和△CAE 中,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE=60°,
∴∠BAC=∠ACE,∴CE∥AB.
(2)△ADF 是等边三角形.证明如下：
如图(2),延长BC 至点G,使得CG=CF,作FH⊥CG于点H,作 FN⊥AC于点N.
∵CM∥AB,
∴∠ACF=∠BAC=60°,∠FCG=∠B=60°.
又CF=CG,∴△CFG是等边三角形,
∴CF=FG,∠G=∠FCG=60°,
∴∠FCN=∠G=60°.
∵∠FNC=∠FHG=90°,
∴△NFC≌△HFG(AAS),
∴NF=HF,∠NFC=∠HFG.
又AF=DF,∴Rt△AFN≌Rt△DFH(HL),
∴∠DFH=∠AFN,
∴∠DFH+∠GFH=∠AFN+∠NFC,即∠AFC=∠DFG,
∴∠AFD+∠DFC=∠CFG+∠DFC,
∴∠AFD=∠CFG=60°.
又AF=DF,∴△ADF 是等边三角形.
16. B [解析]如图,过点 A 作AF∥l.
∵直线l∥m,∴AF∥m.
∵△ABC 是等边三角形,∴∠BAC=60°.
∵AF∥l,∴∠BAF=∠ABE.
∵∠ABE=21°,∴∠BAF=21°,
∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=60°-21°=39°.
∵AF∥m,∴∠ACD=∠CAF=39°.故选 B.

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