资源简介

上海市延安中学2026届高三上学期9月质量调研数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。
1.是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.根据一组样本数据，，，，求得经验回归方程为，且平均数现发现这组样本数据中有两个样本点和误差较大，去除后，重新求得的经验回归方程为，则( )
A. B. C. D.
3.正四面体的棱长为，若且满足，则动点的轨迹所形成的空间区域的体积为( )
A. B. C. D.
4.已知实数，，满足，且是，的等比中项，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。第5-10题每题4分，第11-16题每题5分。
5.已知集合，，则 ．
6.不等式的解集是 ．
7.已知，则 ．
8.已知函数，则 ．
9.若向量，则在方向上的投影向量的坐标为 ．
10.已知、，且是关于的方程的一个根， ．
11.年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ．
12.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则 ．
13.若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
14.已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点点在第二象限，若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是 ．
15.已知集合，是由函数，的图像上两两不同的点构成的点集．集合，其中、若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差的等差数列，符合条件的点集的个数为 ．
16.若函数在定义域内的图像上的所有点均在直线的下方，则称函数为定义域内的“下界函数”若函数为定义域内的“下界函数”，则的最大值减去的最小值等于 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设的内角所对的边分别是，且向量与共线，
求；
若，，求边上的高．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱底面，且．

证明：平面平面；
求点到平面的距离．
19.本小题分
暑期旅游期间，小明一家四口到西湖度假，中午在某餐厅就餐，该餐厅推出七种特色美食，其中有种汤类，种炒菜类，种米面类，小明一家要点四道美食每道不重复．
小明家点一道汤、一种米面类和两种炒菜类美食的不同组合方式有多少种？
用随机变量表示所选美食中米面类的数量，求的分布和期望．
20.本小题分
已知双曲线的离心率为，且过点．
求双曲线的标准方程；
已知直线经过点，
若直线与双曲线的左支相切，求直线的方程；
若双曲线的右顶点为，直线与双曲线交于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值．
21.本小题分
已知定义在上的函数和，和分别为其导函数．若对任意，恒成立，则称为的“倍导函数”．
判断函数是否是的“倍导函数”；
若函数是的“倍导函数”，求的取值范围；
已知函数，是偶函数，若是的“倍导函数”，证明：“”的充要条件是“是上的常值函数”．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.因为向量与共线，
所以，
边化角可得，，
因为，所以，所以，
即，
因为，所以．
由余弦定理，可得，
整理得，解得或舍，
所以，
即，解得．

18.底面，平面，
，
又，且，平面，
平面，
平面，
平面平面；
如图建立空间直角坐标系，

则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即
解得，令，得，则，
所以点到平面的距离为：．

19.解：根据题意，有种汤类，种炒菜类，种米面类，其中小明家点一道汤、一种米面类和两种炒菜类美食，
可得汤类只有种选法，米面类有种选法，炒菜类有种选法，
由分步计数原理得，共有种不同的选法．
解：根据题意，随机变量的可能取值为，
可得，
，
所以随机变量的分布列为：
所以期望为．

20.由，可得，即，
所以双曲线方程为，代入点，
可得，
所以双曲线方程为．
如图，
由题意，直线斜率存在，设直线的方程为，
联立，消元可得：
，
由直线与双曲线相切，则，
即，解得，
所以直线的方程为，即．
由题意知，，
设，直线的方程为，
联立双曲线方程，化简可得，
，
由知，
所以，
，
所以
，
即为定值．

21.是的“倍导函数”，理由如下：
，，
因为对，都有，所以，
故，是的“倍导函数”；
，，
因为函数是的“倍导函数”，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，故只需，
其中
，
因为，，
所以令，解得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，
所以，的取值范围是；
证明充分性：
若为上的常值函数，则存在常数，，，
由，故为偶函数，
由，得，
又为偶函数，故，
即，所以在上恒成立，
故；
再证明必要性：
若，则，所以，
即为偶函数，
因为是的“倍导函数”，所以，
因为，所以，
所以，即，，
所以，
综上，，故，恒成立，
所以为常值函数；
综上，“”的充要条件是“是上的常值函数．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑