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上海市某校2026届高三上学期9月模拟考试数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。
1.已知函数，则“，”是“在上的最小值为”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2.若，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的公差，等比数列的公比，且，设为的前项和，则下列结论中正确的是( )
A. 存在唯一的公比，使得
B. 存在，使得恒成立
C. 若，当时，恒成立
D. 当时，恒成立
4.如图，有一正三棱锥，已知它的底面边长为，高为点到平面的距离，保持在平面上，且三棱锥绕转动若存在某个时刻，三棱锥在平面上的射影是等腰直角三角形，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。第5-10题每题4分，第11-16题每题5分。
5.已知集合表示直线上的点的集合，且，则的值为 ．
6.已知复数为虚数单位，则满足的复数的虚部为 ．
7.小明为了解自己每天花在体育锻炼上的时间单位：，连续记录了天的数据并绘制成如图所示的茎叶图，则这组数据的第百分位数是 ．
8.人参加百米赛跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有 种情况．
9.在的展开式中，的系数是 ．
10.已知双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为 ．
11.已知，若不等式对恒成立，则的最小正值为 ．
12.已知是定义在上的函数，若，且，则实数的取值范围为 ．
13.已知锐角满足，则的最小值为 ．
14.如图，在中，，点在以为直径的半圆外内及边界上运动，若，记的最大值与最小值分别为，则 ．
15.已知对于，过点可作曲线的条不同的切线，则实数的取值范围为 ．
16.对于一个有穷正整数数列，设其各项为，，，，各项和为，集合中元素的个数为，对所有满足的数列，则的最大值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，为的中点．
求证：平面；
若，求直线与平面所成的角．
18.本小题分
自健康中国规划纲要颁布实施以来，越来越多的市民加入绿色运动行列某公司为了了解员工一周的运动情况，调查了名员工一周的运动时长单位：小时，作出如图所示的频率分布直方图．已知运动时长在小时的员工有人．
求；
根据频率分布直方图，估计该公司员工一周运动时长的平均数；结果保留位小数
公司计划选择人向大家分享运动心得，则在选中的员工一周运动时长不少于小时的前提下，求此人一周运动时长在区间内的概率．
19.本小题分
年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，米，点是弧的中点，为线段上一点不与点重合为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道记，三条轨道的总长度为米
将表示成的函数，并写出的取值范围；
求三条轨道的总长度的最小值．
20.本小题分
已知点在抛物线：上，点为的焦点，且过点的直线与及圆依次相交于点，如图．
求抛物线的方程及点的坐标；
求的值；
过两点分别作的切线，，且与相交于点，已知三角形外接圆的圆心为，求的最小值．
21.本小题分
已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且
求；
求数列的前项和；
记，求的最值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 或
6.
7.
8.
9.
10.
11.或
12.
13.
14. 或
15.
16.
17.解：
如图，连接，交于点，连接，
因四边形是正方形，故，又为的中点，
故，因平面，平面，故平面．
因平面，则为直线与平面所成的角，
也即直线与平面所成的角，在中，因，故．
即直线与平面所成的角为．

18.解：由频率分布直方图可，
解得，
因为运动时长在小时的员工有人，
所以，解得，
即，．
由知，
则平均数为，
所以该公司员工一周运动时长的平均数约为．
【小问详解】
设选中的员工一周运动时长不少于小时为事件，
选中的员工一周一周运动时长在区间内为事件，
则，
，
，
所以在选中的员工一周运动时长不少于小时的前提下，
此人一周运动时长在区间内的概率．

19.解：
因为是弧的中点，所以，，
又，由正弦定理，得，
又，得，，
所以
，
当在处时，；当在处时，，所以的取值范围是．
令，；
，令得，
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以时，有最小值，所以三条轨道的总长度的最小值为．

20.解：
因为点在抛物线：上，点为的焦点，，
所以点到抛物线准线的距离为，得，
所以抛物线的方程为，
代入，得，
所以，所以或．
由题意得，抛物线的焦点与的圆心重合，即为，
显然直线斜率存在，所以设直线方程为，点、，
将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得，
，由韦达定理得，．
由抛物线的定义可知，，，．
故，即的值为．
因为，所以，
所以切线的方程为，即，
同理可得，切线的方程为，
联立两切线方程，解得，即．
由得，故是的中点，
而，
由中点坐标公式得，
故，，
法一：由平面向量数量积的坐标运算得，
当且仅当时等号成立，故的最小值是．
法二：由题意得，
所以，即，
所以，
由向量模长公式得，当且仅当时等号成立，
故的最小值是．

21.解：
因为方程的两个根为：，
又为方程的两个根且，
当时，，所以，
当时，，，所以，
当时，，，所以，
当时，，，所以．
由知数列中的相邻两项必为：
中的一个表达式，
所以数列的前项和中有项满足通项公式，
有项满足通项公式，
所以
．
因为
所以由有：
，
所以，
当时，
，
同时，
，
综上所述，，
所以的最大值为，最小值为．

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