资源简介

山东省潍坊市诸城市龙城中学2025届高三上学期第二次自我检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B.
C. D.
2.已知数列中，且，则( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知向量则在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则函数在处的切线方程是( )
A. B. C. D.
6.若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.为了广大人民群众的食品健康，国家倡导农户种植绿色蔬菜．绿色蔬菜生产单位按照特定的技术标准进行生产，并要经过专门机构认定，获得许可使用绿色蔬菜商标标志资格．农药的安全残留量是其很重要的一项指标，安全残留量是指某蔬菜使用农药后的残留量达到可以免洗入口且对人体无害的残留量标准．为了防止一种变异的蚜虫，某农科院研发了一种新的农药“蚜清三号”，经过大量试验，发现该农药的安全残留量为，且该农药喷洒后会逐渐自动降解，其残留按照的函数关系降解，其中的单位为小时，的单位为该农药的喷洒浓度为，则该农药喷洒后的残留量要达到安全残留量标准，至少需要 小时．参考数据
A. B. C. D.
8.已知函数在内有最小值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下正确的选项是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，，则
10.已知为奇函数，且对任意，都有，，则( )
A. B. C. D.
11.在棱长为的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点含边界，则下列说法中正确的是( )
A. 若平面，则动点的轨迹是一条长为的线段
B. 存在点，使得平面
C. 三棱锥的最大体积为
D. 若，且与平面所成的角为，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算：
13.已知函数，角为函数在点处的切线的倾斜角，则 ．
14.将正奇数按如图所示的规律排列：
则在第 行，从左向右第 个数．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
数列满足：，；设
证明是等比数列，并求的通项公式；
求的前项和．
16.本小题分
已知定义在上的奇函数．
求实数的值：
若在上的值域为，求实数的值．
17.本小题分
凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如，等．记为的导数．现有如下定理：在区间上为凸函数的充要条件为．
证明：函数为上的凸函数；
已知函数．
若为上的凸函数，求的最小值；
在的条件下，当取最小值时，证明：，在上恒成立．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，．

证明：平面平面；
若点是的中点，点是的中点，求点到平面的距离．
点是线段上的动点，上是否存在一点，使平面，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值；
若函数有唯一的极值点．
求实数取值范围；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意知，则，
即，又，则，
故是首项为，公比为的等比数列，
故，即；
由于，故．

16.解：由题意，，故，
，由为奇函数得
，
故，解得或舍，
故；
，故，
又，解得，
故．

17.解：因为，则，，
因为，又，所以，
故在区间上恒成立，即函数为上的凸函数．
因为，所以，，
由题知在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
令，则在区间上恒成立，
令，对称轴为，所以当时，取到最大值，最大值为，
所以，得到，所以的最小值为．
由知，
令，则，
令，则在区间恒成立，当且仅当时取等号，
所以在区间上单调递增，得到，当且仅当时取等号，
即在区间恒成立，当且仅当时取等号，
即在区间上单调递增，所以，
令，令，得到，
则在区间上恒成立，即在区间上单调递减，
所以，
即当，当且仅当时取等号，
所以，在上恒成立．

18.解：由平面，平面，平面，
得，，与底面所成角为．
所以三角形为等腰直角三角形，．
又由四边形是直角梯形，，可知，
所以为等腰直角三角形，而，故．
在直角梯形中，过作，垂足为，则四边形为正方形，
可知．
所以，在等腰直角三角形中，．
则有，所以．
又因为，，平面，平面．
所以平面因为平面，所以平面平面．
以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，．
因为是的中点，点是的中点，所以，．
设平面的法向量为，，，
则，得
取，则，得平面的一个法向量为，
而，所以点到平面的距离为．
设，注意到，
所以，
所以，
设，注意到，
所以，
因为，，所以，
若平面，
则当且仅当，即当且仅当
此时，
综上所述，当且仅当重合，此时存在，使平面．

19.解：由函数，可得其定义域为，且，
当时，可得，
则当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，函数的极小值为，无极大值．
由可知，分析的图像特征，
可得在上单调递增，且，
当时，则恒成立，
故函数在恒单调递增，即无极值点；
当时，令，解得舍去，，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为
即此时有唯一的极值点，且满足成立；
综上所述：当时，函数有唯一的极值点；
由可知，函数有唯一的极值点，且，
故
，
即等价于在时恒成立，
令，
可得且，
当时，构建，
则，
由，则，
所以对恒成立，所以在上单调递增，
即对恒成立，故在上单调递减，
即在上有成立；
又当时，则，
令，则，
当时，，可得在内单调递增，则有，
故在内单调递增，则，
故当时，有，
则对上恒成立，
则在上单调递增，可得，
综上所述：对恒成立，即．

第2页，共2页

展开更多......

收起↑