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2025-2026学年上海市上海中学高一上学期分班考试数学试卷
一、单选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知抛物线开口向上，与轴有一正一负两个交点，其顶点坐标为，则，，中符号为正的是( )
A. 仅 B. 仅
C. 仅 D. ，
2.已知、为抛物线上的两点，为原点，满足，于，则点与轴距离最大值为( )
A. B. C. D.
3.有、、、四种量筒和一个足够大容器，若每次至多允许用两个量筒，问最多能盛出种不同体积的水．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共7小题，每小题6分，共42分。
4.已知、分别为的两根，，则的值为 ．
5.已知，，，则 ．
6.已知，则 ．
7.实数，，满足，，则的最大值是 ．
8.已知关于的方程至少有一个整数根，则正整数的值为 ．
9.已知内接于，劣弧沿弦翻折后经过圆心，则 ．
10.已知三角形三边，，上的高，，分别为，，，点为外一点，满足，则到三边的距离之和为 ．
三、解答题：本题共3小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.本小题分
解方程组．
12.本小题分
运用几何方法推导平方差公式和立方差公式；
根据平方差公式和立方差公式求．
13.本小题分
已知开口向上的抛物线与直线，中的每一条都至多有一个公共点．
求的最大值；
当取到最大值时，设抛物线的顶点为，直线和抛物线交于、两点，三角形内切圆半径为，求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.或或
11.解：由可得，
所以，
配方可得：，
所以且，
解得，
故方程组的解为．

12.解：证明平方差公式：

如图一，在一个边长为的大正方形右上角减去一个边长为的小正方形，剩余部分面积为，其中．
如图二，将剩余的图形沿如图所示见下一个小矩形．
如图三，将小矩形拼在原图形的右侧变成一个新矩形，此时该矩形长为，宽为，面积为．
故．
证明立方差公式：

将棱长为的立方体裁去一棱长为的小立方体，再沿如图虚线切开，剩余部分体积为．
切开后如右图，分为三个棱柱，各部分的棱长如图所示．
体积为．
故．
根据立方差公式得
再用完全平方和平方差公式化简，原式．
故答案为：

13.解：由消去得，而，解得或，
而抛物线与直线至多有一个公共点，得，
由消去得，
由抛物线与至多有一个公共点，
得，而，则，解得，
所以的最大值为．
由知，取到最大值时，，其顶点，
由解得或
即，，
令中点为，为的内心，则，，连接，

由，得，则，
因此是正三角形，，则，解得，
所以的值为．

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