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2025-2026学年上海市进才中学高一上学期第一次阶段测试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知、、，那么下列命题中正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
2.命题“对任意，都有”的否定为( )
A. 对任意，都有 B. 不存在，都有
C. 存在，使得 D. 存在，使得
3.一元二次方程有解是一元二次不等式有解的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
4.设、、是两个两两不相等的正整数若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.用描述法表示被除余的整数集为 ．
6.若全集，则 ．
7.用列举法表示方程组的解集 ．
8.已知，为常数，若的解集是，则的解集是 ．
9.满足条件的集合的个数是
10.已知，，若是的充分条件，则满足条件的最小的整数为 ．
11.集合有且仅有两个子集，则实数 ．
12.已知关于的方程的两个实根为、，，则实数 ．
13.已知集合，若，则实数的取值范围是 ．
14.向名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多人，其余的不赞成；另外，对，都不赞成的学生数比对，都赞成的学生数的
三分之一多人，问对，都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人．
15.若集合，集合，且中有四个元素，则元素和能被整除的集合的个数为 ．
16.已知关于的不等式其中且，若该不等式的解集恰好为，则
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
设，为实数，比较与的值的大小；
设全集为，已知集合，，求．
18.本小题分
已知集合．
设集合，求；
已知，设集合，若，求的取值范围．
19.本小题分
在解决实际问题时，往往会有不同的思路和方法，这些方法有些正确，有些错误；有些简洁，有些复杂．
问题：设，集合，若是的充分条件，求：的取值集合．
问题：设，若，求证：和至少有一个数是奇数
小明在解决问题，他认为原问题等价于，解得的取值集合为，张老师判断小明解题错误，请计算正确的的取值集合；
小红认为既然，只需根据是奇数还是偶数，分类讨论即可；小华则认为可以使用反证法解决问题，请你选一种你认为更好的方法并证明．
20.本小题分
定义区间、、、的长度均为，其中．
求不等式的解集区间的长度；
如果数集，都是集合的子集，那么集合，的长度的最小值和最大值分别是多少
已知不等式组的解集构成的各区间的长度和等于，求实数的范围．
21.本小题分
符号表示不大于的最大整数，例如：，，．
解下列两个方程：，；
分别研究当，时，不等式是否成立，并说明理由；
求方程的实数解．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.或
12.
13.
14.和
15.
16.
17.解：依题意，得
，
故．
由，得，解得，
故，则或；
由，得，解得，
故；
．

18.解：由二次函数的性质可得，
所以集合，又，
所以．
因为，所以，
所以当时，，即，
当时，，解得，
所以的取值范围为．

19.解：根据题意可知，当时，集合，
此时，即是的充分条件．
当时，集合，
因为是的充分条件，即．
所以此时或．
综上的取值集合为．
利用反证法证明．
假设均为偶数，则为偶数．
因为为奇数，
与为偶数相矛盾，所以原假设不成立．
故至少有一个数是奇数．

20.解：由得，
所以的解集为，故解集区间的长度为；
由，可得到的长度为，的长度为，
因为，都是集合的子集，
所以长度的最大值为，最小值为；
长度的最大值为，最小值为；
由即得，此不等式解集长度为，
又不等式组的解集构成的各区间的长度和等于，
设的解集为，则，
由得，
当时，，显然成立；
当时，，
由得或，
所以或；
当时，，
由得即，
所以；
综上，实数的范围是

21.解：因为，所以，因为，所以，所以．
对任意，有，
当时，成立，因为故
当时，不成立，因为故
因为，又不是解，
所以，所以
解得或，解得或或或，
分别代入方程得，解得，
，，
，，
，，
经检验，这四个值都是原方程的解．

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