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2025-2026学年上海市七宝中学高一上学期9月开学摸底考试数学试卷
一、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合，，则 ．
2.已知、是两个集合，定义运算：且，若，，则 ．
3.已知，则集合所有可能的个数是 个．
4.对于集合，，定义且，设，，则 ．
5.有下面四个结论：
与表示同一个集合；
集合与表示同一个集合；
方程的所有解的集合可表示为；
集合不能用列举法表示．
其中正确的结论是 填写序号．
6.已知集合，则下列集合是集合的子集的是 填序号；；；．
7.集合，用列举法表示集合．
8.已知集合，，其中为实数，当，则满足的条件是 ．
9.集合，，则 填“”“”“”或“”
10.向名学生调查对、两事件的态度，有如下结果：赞成的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成的比赞成的多人，其余的不赞成；另外，对，都不赞成的学生数比对，都赞成的学生数的三分之一多人，问对，都赞成的学生和都不赞成的学生各有 人．
11.设、是非空集合，定义且，若，，则
12.若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第个子集是 ．
二、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
13.已知集合，，，若，，，则下列结论中可能成立的是( )
A. B. C. D.
14.设集合，，，，其中，下列说法正确的是( )
A. 对任意，是的子集；对任意，不是的子集
B. 对任意，是的子集；存在，使得是的子集
C. 对任意，不是的子集；对任意，不是的子集
D. 对任意，不是的子集；存在，使得不是的子集
15.集合，，且、都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为( )
A. B. C. D.
16.设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.已知正整数集合，，其中，，且，中所有元素之和为，求．
18.设集合，；
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
19.设，，
，求的值；
若非空，且，求的值；
，求的值．
20.已知或若或，，求的取值范围．若，，求的取值范围．
21.已知集合为非空数集对于集合，对中任意两个不同元素相加得到的和取绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的次自相加集合”，再进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的次自相减集合”，集合的次自相加集合和次自相减集合分别可表示为：．
已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否是完美自相加集合，并说明理由；
对中的集合进行次自相加操作后，求：集合的次自相加集合的元素个数；
若且，集合，求：的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.或
5.
6.
7.解：，
，
即．
，
．

8.
9.
10.和
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：，必分别是某两个整数的平方，
又，，，
又，集合中元素都为正整数，．
若，则解得负值舍去；
若，则，解得负值舍去，但与矛盾，舍去
，
故答案为

18.解：由题意，集合，，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，
解得，，满足题意；
当时，
因为，
所以
解得，，
综上所述，实数的取值范围为．
由题意，需分为和两种情形进行讨论：
当时，，
解得，，满足题意；
当时，
因为，
所以，解得，
或无解；
综上所述，实数的取值范围为．

19.解：，，
．
和是方程的两个根，
．
，非空且，
与有公共元素而与无公共元素，
，，解得，或．
当时，满足题意；
当时，此时不满足题意，
．
，，
，解得．
当时，满足题意；
当时，不满足题意，故．

20.解：即的范围小于的范围．
当，即时，，满足；
当，即时，要使，由图得
等号不同时成立，解得．

综上所述，的取值范围为或．
即的范围小于的范围．
要使，优先考虑是否为空集．
当，即时，，满足；
当，即时，要使，由图得或，
解得又因为，所以．

综上所述，的取值范围为．

21.解：是完美自相加集合，不是完美自相加集合．
理由如下：
因为集合，所以，由此可知集合自相加后，新的集合中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和，所以显然集合的最小两个元素为，所以中的最小元素为同理，次自相加后得到的集合中的最小元素是依照这样的规律，对集合进行任意次自相加操作后，最小值总在变大，故不可能有相等集合，所以是完美自相加集合；
因为集合表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加的和都是偶数，所以，为所有偶数构成集合；所以对再进行一次自相加操作，因为任意两个偶数相加的和还是偶数，故后面集合不管进行多少次相加都与相同；故不是完美自相加集合．
由自相加性质可知，对于集合，进行一次自相加，得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素；
所以对集合进行次自相加之后，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
因为集合的次自相加集合中的元素都是连续的整数，所以集合进行次自相加操作后的元素个数为．
因为且，集合
所以
要使，须使，所以，又因为，故的最小值为．

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