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2025-2026学年江苏省锡山高级中学滨湖分校高一上学期9月检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知正实数满足则的最小值为( )
A. B. C. D.
3.若实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.设集合，或，若，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知集合，，若集合有且仅有个子集，则的取值是( )
A. B. C. ， D. ，，
6.若关于的方程和的解集分别为，，且，则 ．
A. B. C. D.
7.若，，那么的范围是( )
A. B.
C. D.
8.若集合具有以下性质：
Ⅰ，；
Ⅱ若，，则，且时，则称集合是“好集”下列命题正确的个数是集合是“好集”；有理数集是“好集”；设集合是“好集”，若，，则．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10.已知关于的一元二次不等式的解集为或，则( )
A. 且
B.
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为
11.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则的最大值为；
B. 若，则；
C. 不等式的解集是；
D. 当且仅当，均为正数时，恒成立．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.期中考试，某班数学优秀率为，语文优秀率为，则上述两门学科都优秀的百分率至少为 ．
13.设，，若，则的最小值为 ．
14.已知正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
求证：；
若，求的最小值．
16.本小题分
已知，：，：．
已知是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围
若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知关于的不等式．
若不等式的解集是，求的值；
若，，求此不等式的解集．
18.本小题分
某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量经测算，企业拟安装一种使用寿命为年的污水净化设备这种净水设备的购置费单位：万元与设备的占地面积单位：平方米成正比，比例系数为，预计安装后该企业每年需缴纳的水费单位：万元与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后年需缴水费之和合计为单位：万元．
要使不超过万元，求设备占地面积的取值范围；
设备占地面积为多少时，的值最小？
19.本小题分
见微知著谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．
例如，已知，求证：．
证明：原式．
波利亚在怎样解题中也指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长．”类似上述问题，我们有更多的式子满足以上特征．
请根据上述材料解答下列问题：
已知，求的值；
若，解方程；
若正数满足，求的最小值．
参考答案
1.
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10.
11.
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13.
14.
15.证明：，
．
，，
，即，
，．
当且仅当时取等号，此时取最小值．

16.是成立的必要不充分条件，
且，
则是的真子集，
有解得．
又当时，，不合题意，舍去，的取值范围是．
是成立的充分不必要条件，
且推不出，
则是的真子集，则解得．
又当时，两集合相等，不合题意，舍去，
的取值范围是

17.由题意知，且和是方程的两根，
，且，
解得，，．
若，，原不等式为，
，．
时，，原不等式解集为，
时，，原不等式解集为，
时，，原不等式解集为，
综上所述：当时，原不等式解集为，
当时，原不等式解集为．
当时，原不等式解集为．

18.由题意得，
令即，整理得即，
所以解得，
所以设备占地面积的取值范围为．
，
当且仅当即时等号成立，
所以设备占地面积为时，的值最小．

19.．
原方程可化为：
即：
，即，解得：．
，当且仅当，即时，等号成立，
有最小值，此时有最大值，
从而有最小值，即有最小值．

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