资源简介

2025-2026学年湖南省株洲市南方中学高一上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法正确的是( )
A. 由，，，，构成的集合是
B. 满足的构成的集合是
C. 全体实数构成的集合是是实数
D. 抛物线上的所有点的坐标构成的集合是
2.若集合，，则( )
A. B. C. D.
3.设集合，则( )
A. B. C. D.
4.“”的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
5.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.若，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.已知，，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个关系中错误的是( )
A. B.
C. D. 空集
10.已知集合，，若，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
11.群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：对任意的，，有；对任意的，，，有；存在，使得对任意的，有，称为单位元；对任意的，存在，使，称与互为逆元则称关于“”新构成一个群则下列说法不正确的有( )
A. 关于数的乘法构成群
B. 自然数集关于数的加法构成群
C. 实数集关于数的乘法构成群
D. 关于数的加法构成群
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，则
13.我国经典数学名著九章算术中有这样的一道题：“今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，问各几何？”其意是：“今有人出钱，买竹子根，拟分大、小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵钱，问买大、小竹子各多少根？每种竹子单价各是多少钱？”则在这个问题中大竹子的单价可能为 钱；
14.若对任意的恒成立，则实数的取值集合为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，
若，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，．
若，，有且只有一个为真，求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，直角中，，，，在斜边上，在包括边界内，在线段上，，在线段上四边形和四边形是矩形，，．

试找出与之间的不等量关系式；
求矩形和矩形面积之和的最大值．
18.本小题分
已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足：；；为偶数，则称集合具有性质已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”．
若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由；
若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”；
已知集合是集合的非空子集，证明：“集合是集合的期待子集”是“集合具有性质”的充要条件．
19.本小题分
已知实数，，满足．
求证：．
将上述不等式加以推广，把的分子改为另一个大于的自然数，使得对任意的，，恒成立，求的值．
继续推广，自然数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由，可得，即，而，
故当时，有，即实数的取值范围为；
由已得，，，由可得，
故得，即实数的取值范围．

16.【详解】由，得；
当时，由，得．
若，有且只有一个为真命题，则真假，或假真，
当真假时，或，得；
当假真时，或，解得，
综上，实数的取值范围为或．
由，得．
因为是的充分不必要条件，则，且等号不同时成立，解得，
所以实数的取值范围为．

17.【详解】的延长线交于，交于，如图，

此时，所以，
因为，，
所以，
而由题意，所以，
可得，
因为，所以，解得，即，
所以与之间的不等量关系式为，其中．
矩形和矩形面积之和，
因为，故，故，故，
故，而，故，故，
而，故当时，

18.【详解】集合不具有性质，理由如下：
若取，为奇数，不满足条件；
若取，或或，
均有，不满足条件，
所以不具有性质；
由是偶数，得实数是奇数，
当时，由，得，即，
因为不是偶数，所以不合题意．
当时，由，得，即，或，
因为是偶数，不是偶数，所以不合题意．
所以集合，令，
解得，
显然，所以集合是集合的“期待子集”；
先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，
使得均属于，不妨设，令，，，
则，即满足条件，
因为，所以，即满足条件，
因为，所以为偶数，即满足条件，
所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质
再证必要性：
当集合具有性质，则中存在，同时满足；；为偶数，
令，，，则由条件得，
由条件得，由条件得均为整数，
因为，
所以，且均为整数，所以，
因为，所以均属于，
所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”，
综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质．

19.【详解】证明：因为，所以，，，
所以
，
当且仅当，即，即时等号成立，
所以，
所以．
可变形为
，
由知的最小值为，所以．
又，且，所以或．
类似，不等式恒成立，
即恒成立，
而
，
当且仅当，
即时等号成立，
所以，即，
即．
所以当自然数，，满足时，不等式对任意，，恒成立．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑