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2025-2026学年河南省天一大联考高一年级秋季检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,3,4}， = {1,4,9,16}，则 ∩ =( )
A. B. {1} C. {1,2} D. {1,4}
2.命题“ > 0， 2 + 2 2 ≥ 0”的否定是
A. > 0， 2 + 2 2 < 0 B. ≤ 0， 2 + 2 2 < 0
C. ≤ 0， 2 + 2 2 < 0 D. > 0， 2 + 2 2 < 0
3.下列各选项正确的是( )
A. 0 ∈ B. = {0} C. {0} D. 0 = {0}
4.“ 2 > ”是“ > ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设集合 = { |0 < ≤ 2}， = { | 2 4 + 3 ≤ 0}，则 ∩ ( ) =( )
A. { | 1 < < 2} B. { |0 < < 1} C. { |0 < ≤ 2} D. { |1 ≤ ≤ 2}
6.已知 < 0，0 < < 1，则( )
A. 2 < < B. < < 2 C. < < 2 D. 2 < <
7 8 .已知集合 = { | = ∈ ，且 ∈
}，则 的非空子集的个数为( )
A. 7 B. 8 C. 15 D. 16
8.已知 max{ , , }表示 ， ， 中的最大者，若 > 0， > 0，则 max{ 1 , 5 2 2 , 2 + }的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A.若集合 = { | 2 + + 1 = 0} 1中只有一个元素，则 = 4
B. ∈ 已知 ， ，则“ 3 = 0”是“ = 3”的必要不充分条件
C.“ = 1 是方程 2 + 1 = 0 的一个实数根”的充要条件是“ + = 1”
D.“ ∈ ，2 < 3 ”是假命题
10.已知 ， ， ∈ ，则下列命题错误的是( )
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A.若 > ，则 2 > 2 B.若 > ，则 2 > 2
2 2
C. 若 2 > 2，则 > D.

若 < ，则 >
11.已知集合 = { | = 2 2, ∈ , ∈ }，则下列说法正确的是( )
A.所有的奇数都是 中的元素
B.所有的偶数都是 中的元素
C.如果 ∈ ， ∈ ，那么 ∈
D.如果 ∈ ， ∈ ，那么 + ∈
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 3 1.不等式 2 < 1 的解集为 ．
13.若 + 1 > 0 1 ，则 +1 + 4的最小值为 ．
14.设集合 = {1,2,3, …, 2025}， = {5 | ∈ }， = { |5 ∈ }，则 ∩ 中元素的个数为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知集合 = { |0 < 2 < 3}， = { || 5| < 2}， = { | > 4}．
(1)求 ∩ ；
(2)求 ∪ ( ∩ )， ∪ ．
16.(本小题 15 分)
已知集合 = { |0 < < 2}， = { | 1 < < 2 + 3}．
(1)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要条件，求实数 的取值范围;
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
设 21， 2是关于 的方程 2( + 2) + 2 1 = 0 的两个实数根．
(1)若 = 5，求 1， 2;
(2) 1 1若 + = 4，求 的值;1 2
(3)若 1， 2是两个不相等的正数，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
2 1
已知正数 ， 满足 + = 1．
(1)求证：2 + 3 ≥ 7 + 4 3;
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(2) (3 +2 )
2
求 +2 的最小值;
(3)求( + 6)( + 3)的最小值．
19.(本小题 17 分)
假设 克糖水中含有 克糖，若再添加 克糖(其中 > > 0， > 0)，生活常识告诉我们：添加的糖完全溶
解后，糖水会更甜．
(1)根据这个生活常识，提炼出一个不等式;
(2)证明你提炼出的不等式;
(3) 1 1 3 5 2 1 1求证： < × 2 2 4 × 6 × × 2 < 2 +1， ∈ 且 ≥ 2.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.{ | 12 < < 2}
13.34
14.81
15.解：(1) = { |0 < 2 < 3| = { |2 < < 5},
= { | 2 < 5 < 2} = { |3 < < 7}，
所以 ∩ = { |3 < < 5}．
(2)因为 = { |3 < < 7}， = { | > 4}，
所以 ∩ = { |4 < < 7|,
所以 ∪ ( ∩ ) = { |2 < < 7}．
由(1)知 ∩ = { |3 < < 5}，
所以( ) ∪ ( ) = ∩ = { | ≤ 3 或 ≥ 5}．
16.解：(1) ∵ ∈ 是 ∈ 的必要条件，
∴
∴ 2 + 3 2 1 0
∴ 12 1，
∴实数 1的取值范围为 | 2 1 ．
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(2) ∵ ∩ = ，
∴ ，
当 = 时，即 2 + 3 1，即 4，则满足 ，
当 ≠ 时，即 > 4，则
∴ 2 + 3 2 1 0 ，该不等式组无解，
综上所述实数 的取值范围为 | 4 ．
17.解：(1)若 = 5，则方程为 2 14 + 24 = 0，
即( 2)( 12) = 0，故 1 = 2， 2 = 12．
(2)由 = 4( + 2)2 4( 2 1) ≥ 0，可得 ≥ 54，
因为 1 + 2 = 2( + 2)， 1 2 = 2 1，
1 + 1 = + 所以 1 2 2( +2) 1 2 1
= 2 1 = 4，2
整理得 2 2 + = 0，
1
解得 = 2或 = 0，经检验符合题意．
(3)因为 1， 2是两个不相等的正数，
> 0,
所以 1 + 2 = 2( + 2) > 0,
21 2 = 1 > 0,
> 54 ,
解得 > 2,
> 1 或 < 1,
所以 > 1 或 54 < < 1，
即 的取值范围是{ | > 1 5或 4 < < 1}．
18.解：(1)由题意，
2 + 3 = (2 + 3 )( 2 + 1 )
= 7 + 2 6 +
= 7 + 2( 3 + ) 7 + 2 × 2


3
= 7 + 4 3
( 3 2 1 2 3+3等号成立条件： = 且 + = 1，即 = 2 + 3, = 3 ，均为正数)．
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(2) 2+ 1由 = 1 可得 + 2 = ．
(3 +2 )2 2= 9 +12 +4
2
= 9 + 4 + 12 ≥ 2 9 所以 +2
4
+ 12 = 24，
9 4 8 (3 +2 )2
当且仅当 = ，即 = 3， = 4 时等号成立，所以 +2 的最小值为 24．
(3) 1 = 2 + 1 ≥ 2 2因为 ，
所以 ≥ 8，当且仅当 = 4， = 2 时等号成立，
又 + 2 = ，
所以( + 6)( + 3) = + 3( + 2 ) + 18 = 4 + 18 ≥ 50，
则( + 6)( + 3)的最小值为 50．
19.解：
(1)由“糖水更甜”可知，添加糖后糖水浓度增大．
+
原糖水浓度为 ，添加 克糖后浓度为 + ，
< + 因此提炼的不等式为： + (其中 > > 0， > 0)。
(2)
+ ( + ) ( + ) + ( )
+ = ( + ) = ( + ) = ( + ) .
由 > > 0 得 > 0，结合 > 0，分子 ( ) > 0；
分母 ( + ) > 0( > 0, > 0).
+ > 0 < + 因此差为正，即 + ，故 + 成立．
(3)
1 1
设 且 ≥ 2)，需证明2 < < 2 +1．
1
先证明 < 2 +1，
由第(2)问结论，对任意 ，令 = 2 ， = 2 1， = 1(满足 > > 0， > 0)，
2 1 (2 1)+1 2
则： 2 < 2 +1 = 2 +1 .
将 = 1,2, …, 的上述不等式相乘：
2
左边= 2 = 12 ×
3 2 1 ，
4 × × 2
右边= 1 × 3 × × 2 1 × 2 × 4 2 12 4 2 3 5 × × 2 +1 = 2 +1 (中间项约去)．
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因此 2 < 12 +1，两边开平方( > 0) <
1
得 2 +1．
1
证明左边：2 <
≥ 2 2 1 1对任意 ，证明 > ：2
( ) (2 1)
2 1
平方两边 均为正数 得 ，即证(2 1)2 > 4 2 ( 1)。
4 2 >
左边= (4 2 4 +1) =4 3 4 2 + ，
右边= 4 2( 1)=4 3 4 2，
所以 4 3 4 2 + 4 3 4 2 = > 0( ≥ 2)，
2 1 1
故不等式成立，即
2 > ( ≥ 2).
将 = 2,3, …, 的上述不等式相乘：
3 5 2 1 1 2 1 1
4 × 6 × × 2 > × × × = .2 3
1
两边乘以2得：
1 3 2 1 1 1 1
= 2 × (4 × × 2 ) > 2 × = .2
1
综上，2 < <
1
2 +1成立，
1 1 3 5
即2 < 2 × 4 × 6 × ×
2 1 1
2 < 2 +1， ∈ 且 ≥ 2 不等式成立．
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