资源简介

2025-2026学年河南省叶县高级中学高一上学期学习能力摸底测
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列说法中正确的是( )
A. 0 与 0 表示同一个集合
B.集合 1,2,3 与 3,2,1 是两个相同的集合
C.方程( 1)2( 2) = 0 的解集为 1,1,2
D.集合{ ∣4 < < 5}可以用列举法表示
2.已知集合 = 2 < < 4 ， ∩ 的元素个数为 4，则集合 可能为( )
A. B. C. D. +
3.已知集合 = 1, , ， = 2, , .若 = ，则 2024 2025 =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
4.若集合 = 1, , 4 ， = 1, 2 ，且 ，则实数 的值可以是( )．
A. 2 B. 2， 2 C. 2， 2，0 D. 2， 2，0，1
5.已知集合 = 2 ≤ ≤ 5 ， = + 1 ≤ ≤ 2 1 ，若 为 的真子集，则 的取值范围是( )
A. | < 2 B. |2 ≤ < 3 C. | ≤ 3 D. |2 < ≤ 3
6.若集合 = 2 1 = 0 ，则下列结论错误的是( )
A. 1 ∈ B. { 1} C. D. { 1,1}
7.如图， 为全集， 、 、 是 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )
A. ( ∩ ) ∩ B. ( ∩ ) ∪ C. ( ∩ ) ∩ D. ( ∩ ) ∪
8.已知集合 = 1,0,1,2,3,4 , = 3 +1 ≤ 0 ，则 ∩ =( )
A. 0,1,2 B. 0,1,3 C. 0,1,2,3 D. 1,0,1,2,3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设集合 = < < 3 + , = < 2 或 > 4 ，则下列结论中正确的是( )
第 1页，共 6页
A.若 < 1，则 B.若 = 4，则
C.若 ∪ = R，则 1 < < 2 D.若 ∩ = ，则 1 < < 2
10.设全集为 ，非空真子集 , , 满足： ∩ = , ∪ = ，则( )
A. ∩ ≠ B. C. ( ∪ ) ≠ D. ( ∩ )
11.设集合 = < < 3 + ， = < 2 或 > 4 ，则下列结论中正确的是( )
A.若 < 1，则 B.若 1 ∈ ，则 2 < < 1
C.若 ∪ = ，则 1 < < 2 D.若 ∩ ≠ ，则 1 < < 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知集合 = 1,2,3,4 ， = > ，若 card( ∩ ) = 2，则 的取值范围是 ．
13.设集合 = 2,3, 2 2 3 , = 0,3 , = 2, .若 , ∩ = 2 ，则 = ．
14.若当| | ≤ 1 时，一元二次方程 2 + = 0 无实数根，则实数 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集．
(1)大于 1 且小于 70 的正整数构成的集合 ；
(2)小于 8 的质数组成的集合 ；
(3)方程 2 2 3 = 0 的实数根组成的集合 ；
(4)函数 = 2 2 + 图象上的所有点组成的集合 ；
(5)不等式 2 3 < 5 的解组成的集合 ．
16.(本小题 15 分)
(1)已知 1 ∈ { + 2, ( + 1)2, 2 + 3 + 3}，求实数 的值；
(2)已知{2, , } = {2 , 2, 2}，求实数 ， 的值．
17.(本小题 15 分)
已知 = 2 ≤ ≤ 3 ， = 2 < < 3 ，全集 = R
(1)若 = 2，求 ∩ ；
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
设 = { | 2 + 2 19 = 0}， = { | 2 5 + 6 = 0}， = { | 2 + 2 8 = 0}
(1) ∩ = ∪ ，求 的值；
(2)若 ∩ 非空，且 ∩ = ，求 的值；
第 2页，共 6页
(3) ∩ = ∩ ≠ ，求 的值．
19.(本小题 17 分)
已知集合 = = + 3 , ∈ , ∈ 1，集合 满足 = ∈ 且 ∈ ．
(1)判断 2 + 3，3 3，0，7 + 4 3中的哪些元素属于 ；
(2)证明：若 ∈ ， ∈ ，则 ∈ ；
(3)证明：若 = + 3 ∈ ，则 2 3 2 = 1．
第 3页，共 6页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.{ |2 ≤ < 3}
13. 1
14. < 2 或 > 14
15.解：(1)由大于 1 且小于 70 的正整数，则 1 < < 70, ∈ Z，故 = { |1 < < 70, ∈ Z}，是有限集；
(2)因为小于 8 的质数有 2，3，5，7，所以 = {2,3,5,7}，是有限集．
(3)方程 2 2 3 = 0 3的实数根为 1、2，所以 = 1,
3
2 ，是有限集．
(4)由 = 2 2 + 表示坐标系中的曲线，故 = ( , )| = 2 2 + ，是无限集．
(5)由 2 3 < 5，得 < 4，所以 = { | < 4}，是无限集．
16.解：(1)若 + 2 = 1 时，解得 = 1，此时( + 1)2 = 0， 2 + 3 + 3 = 1 3 + 3 = 1，不满足集合的
互异性，所以 ≠ 1，
若( + 1)2 = 1 时，解得 = 0 或 = 2，当 = 0 时， + 2 = 2， 2 + 3 + 3 = 3，所以 = 0 满足题意，
当 = 2 时， + 2 = 0， 2 + 3 + 3 = 1，不满足集合的互异性，所以 ≠ 2，
若 2 + 3 + 3 = 1，解得 = 2(舍)或 = 1(舍)，
综上，实数 的值为 0．
第 4页，共 6页
= 2 = 2
2
(2)因为{2, , } = {2 , 2, 2} = ，则 2 = ≠ ≠ 2或 , ≠ ≠ 2
2 ≠ 2 ≠ 2 2 ≠ 2 ≠ 2
= 2 = 2
= 2 1 1
由 ≠ ≠ 2，解得 = 0, = 1，由
2 = ，解得 = , = ，
≠ ≠ 2 4 2
2 ≠ 2 ≠ 2 2 ≠ 2 ≠ 2
经检验， = 0, = 1 1 1和 = 4 , = 2均符合题意，
1
综上， = 0, = 1 或 = 4 , =
1
2．
17.解：(1)当 = 2 时， = 0 < < 6 ，
所以 = ≤ 0或 ≥ 6 ，
又因为 = 2 ≤ ≤ 3 ，
所以 ∩ = 2 ≤ ≤ 0 ．
(2)由 ∪ = 可得 ．
所以当 = 时，有 2 ≥ 3 ，解得 ≤ 1；
2 < 3
当 ≠ 时，有 2 ≥ 2，解得 0 ≤ ≤ 1．
3 ≤ 3
综上，所以 的取值范围为( ∞, 1] ∪ [0,1]．
18.解：(1) ∵ = { | 2 5 + 6 = 0} = { | 2 3 = 0} = 2,3 ， ∩ = ∪ ，
∴ = ．
∴ 2 和 3 是方程 2 + 2 19 = 0 的两个根，
∴ 2 + 3 = 2 × 3 = 2 19 , ∴ = 5．
(2) = { | 2 + 2 8 = 0} = { | 2 + 4 = 0} = 2, 4 ，∵ ∩ 非空且 ∩ = ，
∴ 与 有公共元素而与 无公共元素，
∴ 3 ∈ ，∴ 9 3 + 2 19 = 0，解得 = 2，或 = 5．
当 = 2 时， = 3, 5 满足题意；
当 = 5 时， = 2,3 此时 ∩ = {2}不满足题意，
∴ = 2．
第 5页，共 6页
(3) ∵ ∩ = ∩ ≠ ，∴ 2 ∈ ，
∴ 4 2 + 2 19 = 0，解得 = 3, = 5．
当 = 3 时， = 2, 5 满足题意；
当 = 5 时， = 2,3 不满足题意，故 = 3．
19.解：(1) 1因为2+ 3 = 2 3 ∈ ，所以 2 + 3 ∈ ；
1 3+ 3 3+ 3
因为3 3 = 3 3 3+ 3 = 6 ，所以 3 3 ；
因为 0 没有倒数，所以 0 ；
1 = 7 4 3因为7+4 3 7+4 3 7 4 3 = 7 4 3 ∈ ，所以 7 + 4 3 ∈ ；
综上可得 2 + 3 ∈ ，7 + 4 3 ∈ ．
(2)先证明：若 ∈ ， ∈ ，则 ∈ ；
设 = + 3 ， = + 3 ， , , , 为整数，
所以 = + 3 + 3 = + 3 + ( + ) 3，
由于 + 3 ， + 都是整数，所以 ∈ ，
1 1 1 1 1
当 ∈ ， ∈ 时， ∈ ， ∈ ，所以 = ∈ ，所以 ∈ ；
(3)因为 = + 3 ∈ ，
1 = 1 3 所以 + 3 = + 3 3 = 2 3 2 + 2 3 2 3 ∈ ，

所以 2 3 2， 2 3 2都是整数，
2 2 2 3 2 1
所以 2 3 2 3 2 3 2 = = 为整数， 2 2 2 3 2 3 2
所以 2 3 2 =± 1，
假如 2 3 2 = 1，则 2 + 1 = 3 2，则 2 + 1 应为 3 的倍数，
设 为整数，若 = 3 ，则 2 + 1 = 9 2 + 1 不是 3 的倍数；
若 = 3 + 1，则 2 + 1 = 9 2 + 6 + 2 = 3 3 2 + 2 + 2 不是 3 的倍数；
若 = 3 + 2，则 2 + 1 = 9 2 + 12 + 5 = 3 3 2 + 4 + 1 + 2 不是 3 的倍数；
所以 2 3 2 ≠ 1，即 2 3 2 = 1．
第 6页，共 6页

展开更多......

收起↑