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2025-2026 学年度第一学期七校联盟第一次学情检测高三数学试题
试卷分值：150 分 考试时间：120 分钟第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
观察下图所示的“集合”的知识结构图，把“①包含关系，②描述法，③基本运算”这三项依次填入 M，N，P 三处，正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①③② C.②①③ D. ②③①
已知 a, b (0,1) 且 a b ，下列各式中最小的是（ ）
a2 b2
2ab C. a b
D. 2
| x2 1|
函数 f (x) 的图象大致是（ ）
x
B． C． D．
1 0.2
设 a log
0.2
3, b 0.23, c

，则 a, b, c 的大小关系为（ ）
a b c
C. a c b
若实数a 、b 满足3a 4b 36 ，则 1 1
a 2b
B. b c a
D. b a c
（ ）
1
1 C． 1
2
高三数学试题 第 1页（共 4页）
D． 1
2
已知不等式 ax2 bx 1 0 的解集 x | 1 x 1 ，若对 x [4, ), 不等式
2

bx2 mx 2a 0 成立，则实数m 的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
cos x 3 x , x 0
已知函数 f (x) cos x 3x , x 0 ，满足不等式 f (6 x2 ) f (5x) 0 的 x 的取值范围是
（ ）
( , 1] [6, )
[ 1，6]
( , 2] [3, ) D．[2，3]
已知可导函数 f x 的导函数为 f x ，若对任意的 x R ，都有 f x f x 1，且
y f x 2 为奇函数，则不等式 f x ex 1 的解集为（ ）
A． , 0
B． , e
C． e,
D． 0,
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
已知集合 A 为正偶数集，集合 B 为正整数集，下列表达式能建立从集合 A 到集合 B 的函数关系的是（ ）
y 2x
y x2
y 2x
y log2 x
给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）
若 a a 1 14 ，则 1
1
2 4
log27
+lnlne=7
函数 y 1

x2 1
的最小值为 1
2
已知函数 y=loga 2 ax（ a 0 ，且a 1 ）在 0,1 上是减函数，则 a 的取值范围是(1, 2]
已知函数 f (x) (x 1) ln x ，则（ ）
f 1 f (2)

f (x) 有一个零点
y 轴是曲线 y f (x) 的切线 D． f (x) 在(1, ) 上单调递增
高三数学试题 第 2页（共 4页）
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
命题“ x (0, ) ， x2 2x 1 ”的否定是 ．
设 a R ， 已知 f (x) ex ae x （ e 为自然对数的底数）为偶函数，若曲线 y f (x) 在
点 x0 , f x0 处的切线与直线 x 2 y 3 0 垂直，则 x0 .
设 A 是实数集的非空子集， 称集合 B {uv | u, v A, 且u v} 为集合 A 的生成集． 当
A {1，3，5} 时，写出集合 A 的生成集 B 为 ；记集合 M 中元素个数为card (M ) ，若 A 是由 5 个正实数构成的集合，则card (B) 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(本小题满分 13 分)
设全集U R ，集合 A {x | m 2 x m 2, m R} ，集合 B {x | 4 x 4}.
当 m 1时，求 A B ， CB A ；
若命题 p： x A ，命题 q： x B ，若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围．
16．(本小题满分 15 分)
已知函数 f x x 2a （其中 a R ）， g x xex ,记 F (x) f (x)g(x) .
若 f x 是 g x 的一条切线，求a 的值；
当 a 1 时，设函数 F (x) 在坐标原点处的切线为l ，证明：当 x 0 时，函数 f x 的图
2
象位于切线l 的下方.
17．(本小题满分 15 分)
函数 满足对任意，都有 ，且 的图象关于直线 x 1 对称，当时， ，且函数 恰有 2025 个零点．
证明：函数 为周期函数；
求整数的值．
高三数学试题 第 3页（共 4页）
18．（本小题满分 17 分）
近期，商务部等 7 部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补 1 万元、购买燃油乘用车补 7000 元，分别提高至 2 万元和 1.5 万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为 2000 万元， 每生产 x x N * 百件， 需另投入成本 W x 万元， 且 0 x 45 时，
W x 3x2 260x ；当 x 45 时，W x 501x
4900 4950 ，由市场调研知，该产品
x 20
每百件的售价为 500 万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．
分别写出0 x 45 与 x 45 时，年利润 y （万元）与年产量 x （百件）的关系式（利润＝销售收入－成本）；
当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
19．(本小题满分 17 分)
已知函数 f (x) x b a ln x(a, b R) .
试讨论函数 f (x) 的单调性；
当 x (0,1] 时，试求函数 f (x) 的极值；
1 1
若 a 0 ， b 1时，对任意 x1 , x2 (0,1] ，都有| f (x1) f (x2 ) | 5 | x x | ，求实
1 2
数 a 的范围.
高三数学试题 第 4页（共 4页）
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2025-2026 学年度第一学期七校联盟第一次学情检测高三数学参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D A D C A D
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 ABC BCD ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. x
(0, ) ， x2 2x0 1
13.
ln
{3, 5,15} (2 分）；7(3 分）
0 0
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
【解析】（1）当 m 1时， A {x | 1 x 3} ；
A B ( 1, 3) ，
CB A ( 4, 1] [3, 4) ；
若 p 是 q 的充分不必要条件，则 A 是 B 的真子集；
m 2 4 且等号不同时成立，解得： 2 m 2 ，

所以实数 m 的取值范围是 2 m 2 .
【解析】（1）由 g x xex 得， g ' x (x 1)ex ，令(x 1)ex 0 得， x 1 ，令(x 1)ex 0 得， x 1 ；令(x 1)ex 0 得， x 1，
∴ g x 在区间( , 1) 上单调递减，在区间( 1, ) 上单调递增，又 g ' 0 1 ，函数 f x x 2a 是 g x 的一条切线，
∴ 切点坐标为（0，0），即切线方程为 f x x ，
∴ a 0.
（2）当 a 1 时， F (x)
2
f (x)g(x) (x2 x)ex , F 0 0 , F '(x) (x2 x 1)ex ,
∴ F '(0) 1 ,
∴ 切线为l 的方程为 y x .
当 x 0 时，设 h(x) F (x) ( x) (x2 x)ex x x[(x 1)ex 1].
以下证明 h(x) 0 恒成立.
∵ x 0 ，只需证明(x 1)ex 1 0 恒成立，设t(x) (x 1)ex 1 ，则有t '(x) xex 0 ，
∴ 函数t(x) 在区间( , 0) 上单调递减，∴ t(x) t(0) 0 .
即当 x 0 时， h(x) 0 恒成立，此时函数 f x 的图象位于切线l 的下方.
【解析】（1）由 f (x) 的图象关于直线 x 1 对称，得到 f ( x) f (x 2) ，
又 f (x 2) f ( x 2) ，从而得到函数 f (x) 的对称轴 x 2 ，
所以 f ( x) f ( x 2) ，从而得到函数 f (x) 的周期为 2 ，
所以函数 f (x) 为周期函数.
（2）根据对称性、周期性及当 x [2, 3) 时， f (x) 2(x 2)3 ，
当0 a 1和 a 1 时，函数 y | loga x |图象相同，作出函数图象（如图所示），
要使函数 y
f (x) | loga x | 恰有 2025 个零点，
则函数 f (x) 的图象与图象 y | loga x |在(0, ) 上恰有 2025 个交点，
所以 f (2025) | loga 2025 | ，又 f (2025)
f (2022 3)
f (3) 2(3 2)3 2 ，
所以由| loga 2025 | 2 得， loga 2025 2 ，
故 a 45 或 a
2025 1 ．
2025 45
所以整数a 的值为 45.
【解析】（1）由题意可得当0 x 45 时， y 500x 3x2 260x 2000 3x2 240x 2000 ，
当 x 45 时， y 500x (501x
4900
x 20
4950) 2000 2950 (x
4900 )
x 20
（2）由（1）得0 x 45 时， y 3x2 240x 2000 3 x 40 2 2800 ，此时 x 40 （百件）时， ymax 2800 （万元），
当 x 45 时， y 2950 (x
4900 ) 2970 (x 20
x 20
4900 ) ，
x 20
4900
因为 x 20 0 ，
x 20
0 ，所以：
2970 (x 20
即 y 2830 .
4900 ) 2970 2
x 20
2970 2 70 2830 ，
当且仅当 x 20
4900
x 20
，即 x 50 时等号成立， ymax 2830 （万元），
而2800 2830 ，故 x 50 （百件）时，利润最大，
综上所述，年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830 万元.
【解析】函数 f (x) 的定义域为(0, ) ， f (x) 1 a x a
x x
（1）当 a 0 时， f (x) 0 在(0, ) 上恒成立，所以 f (x) 在(0, ) 上单调递增；当 a 0 时，令 f (x) 0 ，解得 x a ，则 f (x) 在(a, ) 上单调递增，
令 f (x) 0 ，解得 x a ，则 f (x) 在(0, a) 上单调递减．
综上得，当 a 0 时， f (x) 在(0, ) 上单调递增；
当 a 0 时， f (x) 在(0, a) 上单调递减，在(a, ) 上单调递增．
（2）由条件得， f (x) x a ， x (0,1]
x
令 f (x) 0 ，则 x a ，
由（1）知，当 a 0 时， f (x) 在 x (0,1] 上单调递增，
此时函数 f (x) 无极值；
当 a 0 时，由（1）知， f (x) 在(0, a) 上单调递减，在(a, ) 上单调递增．又 x (0,1] ，
当0 a 1时， f (x) 在(0, a) 上单调递减，在(a,1] 上单调递增．
此时函数 f (x) 有极小值， f (x) f (a) a b a ln a ；
当 a 1 时， f (x) 在(0,1] 上单调递减，
此时函数 f (x) 无极值.
综上得，当 a 0 时，函数 f (x) 无极值；
当0 a 1时，函数 f (x) 有极小值， f (x)极小值 f (a) a b a ln a ；
当 a 1 时，函数 f (x) 无极值.
当 a 0 ， b 1 时，由（1）知函数 f (x) 在(0,1] 上是单调递增函数，
又函数 y 1 在(0,1] 上单调递减，
x
不妨设0 x x 1 ，则| f (x ) f (x ) | f (x ) f (x ) ， | 1 1 | 1 1 ，
1 2 1 2 2 1
x1 x2 x1 x2
| f (x ) f (x ) | | 1 1 |等价于 f (x ) f (x ) 5( 1 1 ) ，
1 2
x1 x2
x1 x2
即 f (x2 ) x f (x1 ) x ，
设 g(x)
2 1
f (x) x 1 a ln x ，
x x
则| f (x ) f (x ) | | 1 1 |等价于函数 g(x) 在区间(0,1] 上是减函数，
x1 x2
a 2
因为 g (x) 1
x x2
，所以 x
x2
ax 0 在(0,1] 上恒成立，
即 a x 在 x (0,1] 上恒成立，
x
令 h(x) x ，又 h (x) 1 0 在(0,1] 上恒成立，所以 h(x) 在(0,1] 上是单调递增函数，
x x2
函数 h(x) x 在(0,1] 的最大值为1 ，故 a 1 ，
x
又 a 0 ，所以实数 a 的范围为 a [1 5, 0) .

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