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2025-2026学年河南省南阳市第一中学校高一上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 2, 1,0,1,2 ， = 2 6 ≥ 0 ，则 ∩ =( )
A. 2, 1,0,1 B. 0,1,2 C. 2 D. 2
2.毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句
为真命题，则“到长城”是“好汉”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知命题 ： > 0， 2 3 + 2 ≥ 0 则( )
A. 是真命题， : > 0, 2 3 + 2 < 0
B. 是真命题， : > 0, 2 3 + 2 ≤ 0
C. 是假命题， : > 0, 2 3 + 2 < 0
D. 是假命题， : > 0, 2 + 3 2 ≤ 0
4.已知集合 = {1, | 1|, + 2}，且 2 ∈ ，则实数 的值为( )
A. 1 B. 0 C. 3 D. 1 或 3
5.已知 ， ， 满足 < < ，且 < 0，那么下列选项中不一定成立的是( )
A. 2 < 2 B. ( ) > 0 C. > D. > 0， < 0
6.不等式 ( 1)(3 2)( + 2)2 < 0 的解集为( )
A. ( ∞, 2) ∪ ( 2,0) ∪ 23 , 1 B. ( 2,0) ∪ 0,
2
3 ∪
2
3 , 1
C. ( 2,0) ∪ 0, 23 ∪ (1, + ∞) D. ( ∞,0) ∪ 0,
2 2
3 ∪ 3 , 1
7.已知 1 ≤ + ≤ 1，1 ≤ ≤ 3，则 3 2 的取值范围是( )
A. [2,8] B. [3,8] C. [2,7] D. [5,10]
8.已知集合 = 1 < < 4 ， = 1 ≤ ≤ + 2 ，若集合 ∩ 中恰好只有两个整数，则实数
的取值范围是( )
A. [ 1,0) ∪ (2,3] B. ( 1,0) ∪ (2,3) C. 2, 1 ∪ 3,4 D. ( 2, 1) ∪ (3,4)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.命题“ ∈ ， 2 + 1 ≥ 0”为真命题的一个必要不充分条件可以是( )
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A. 2 ≤ ≤ 2 B. ≥ 2 C. ≤ 2 D. 2 < < 2
10.下列说法正确的是( )
A.已知集合 = ∣ 2 4 < 0，且 ∈ ，则集合 的真子集个数是 7
B.“ < 1”是“方程 2 + + = 0 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
C.集合 = ∈ = 8 +1 , ∈ 中的元素个数为 8
D.设 , ∈ ，则“ ≠ 0”是“ ≠ 0”的必要不充分条件
11.下列结论正确的是( )
A.若 , ∈ R+, + = 2 +1，则 +
2
的最小值为 7
B. > 1 + 1当 时， 1的最小值是 3
C. 5 1当 < 4时，4 2 + 4 5的最小值是 5
D.设 > 0, > 0，且 + = 2 1 + 4 9，则 的最小值是2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.设 ， 为两个非空实数集合，定义集合 = + ∈ , ∈ ，若 = {0,2,5}， = {1,2,6}，则集合
= ．
13.已知 > 0， > 0，2 = + + 4，则 + 的最小值为 ．
2
14 10.不等式 +2 ≥ 1 的解集为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 = ∣ 2 + 2 = 0 , = ∣ 2 + + 2 4 = 0 ，若 ，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 3 2 }, = { | 2 < < 4}
(1)若 ∩ = ，求实数 的取值范围；
(2)设命题 : ∈ ，命题 : ∈ ，若 是 成立的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知集合 = 1 ≤ ≤ 3 ，集合 = 3 ≤ ≤ + 2, ∈ ．
(1)若 ∩ = 0 ≤ ≤ 3 ，求实数 的值；
(2)若 ∩ ( R ) = ，求实数 的取值范围．
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18.(本小题 17 分)
解关于 的不等式 2 ( + 1) + 1 > 0( 为常数且 ≠ 0).
19.(本小题 17 分)
2
某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为 万元时，销售量 万件满足 = 3 +1 (其中 0 ≤
≤ 2).现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品 万件还需投入成本(10 + 2 )万元(不含促销费用)，产
20
品的销售价格定为(4 + )万元/万件．
(1)将该产品的利润 万元表示为促销费用 万元的函数；
(2)当促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1,2,3,4,6,7,8,11
13.4
14. 3 ≤ < 2 或 ≥ 4
15.【详解】因为集合 = { 2 + 2 = 0} = {1, 2}， ．
所以 = ，或 = 2 ，或 = 1 ，或 = 2,1 ．
当 = 时， = 2 4(2 4) = 2 8 + 16 < 0，此方程无解．
( 2) + ( 2) =
当 = 2 时， ( 2) × ( 2) = 2 4，解得 = 4．
= 1 1 + 1 = 当 时， 1 × 1 = 2 4，此方程组无解．
( 2) + 1 =
当 = 2,1 时， ( 2) × 1 = 2 4，解得 = 1．
综上所述： = 1 或 = 4．
故答案为：1 或 4．
16.【详解】(1)由 ∩ = ，可得 ，
因为 = { | 1 ≤ ≤ 3 2 }, = { | 2 < < 4}，
①当 = 时， 1 > 3 2 4，解得 > 3，符合题意；
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1 ≤ 3 2
②当 ≠ 时，则 1 > 2 1 < ≤ 4，解得 2 3，
3 2 < 4
> 1综上， 2．
1
故实数 的取值范围为 2 , + ∞ ．
(2)由题意可得， ∈ 是 ∈ 的充分不必要条件，故 是 的真子集，
又 = { | 1 ≤ ≤ 3 2 }， = { | 2 < < 4}，
1 ≤ 2
则 3 2 ≥ 4，解得 ≤ 1，
故实数 的取值范围是( ∞, 1]．
17.【详解】(1) 3 = 0因为 ∩ = 0 ≤ ≤ 3 ，所以{ + 2 3,
= 3
所以{ 1，所以 = 3；
(2)由题意， ∩ ( R ) = ，所以 R ，
集合 = 3 ≤ ≤ + 2, ∈ ，所以 R = { < 3 或 > + 2, ∈ }，
所以 3 > 3 或 + 2 < 1，
所以 > 6 或 < 3．
故实数 的取值范围为{ > 6 或 < 3}．
18.【详解】 2 ( + 1) + 1 = ( 1)( 1) > 0．
< 0 1 1 1当 时，此时 < 1， ( 1) < 0，则不等式的解为 < < 1；
当 0 < < 1 1 1时，此时 > 1， ( 1) > 0
1
，不等式的解为 < 1 或 > ；
当 = 1 1时，此时 2 = 1，( 1) > 0，不等式的解为 ≠ 1；
> 1 0 < 1 1当 时，此时 < 1， ( 1) > 0，不等式的解为 <
1
或 > 1．
1
综上，当 < 0 时，不等式的解集为 < < 1 ；
1
当 0 < < 1 时，不等式的解集为 < 1 或 > ；
当 = 1 时，不等式的解集为 ≠ 1 ；
1
当 > 1 时，不等式的解集为 < 或 > 1 ．
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19.解：(1)当促销费用为 万元时，
2
付出的成本是： + 10 + 2(3 +1 )
销售收入是：(3 2 20 +1 ) × (4 + )，3 2 +1
故 = (3 2 20 2 +1 ) × (4 + 3 2
) [ + 10 + 2(3 +1 )]
+1
整理可得 = 16 ( + 4 +1 )，0 ≤ ≤ 2.
(2)根据(1)中所求，
4 4
= 16 ( + 1 + + 1 1) ≤ 16 (2 ( + 1) × + 1 1)
= 16 3 = 13，当且仅当 = 1 时取得最大值．
故当促销费用投入 1 万元时，厂家的利润最大，最大利润为 13 万元．
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