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2025-2026学年广东省某校高一上学期教学质量监测
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = 1,2,3,4,5,6 ，集合 = 2,4 ，集合 = 1,4,6 ，则 U ∩ =( )
A. 3,6 B. 1,6 C. 1,4,6 D. 4,6
2 ( ) = ( 3)
0
.函数 2定义域为( )
A. [2, + ∞) B. (2, + ∞) C. (2,3) ∪ (3, + ∞) D. [2,3) ∪ (3, + ∞)
3.设 ∈ ，则“4 < < 5”是“| 2| > 1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.幂函数 ( ) = 2 1 2+ 3在(0, + ∞)上是增函数，则实数 的值为( )
A. 2 或 1 B. 1 C. 2 D. 2 或 1
5 1

.函数 ( ) = ln 3 的零点所在区间为( )
A. 0,1 B. 1,2 C. 2, e D. e, 3
6 1.已知 sin( 3 ) = 3，则 cos
5
6 =( )
A. 1 1 2 2 23 B. 3 C. 3 D. 3
(3 1) + 4 , ( < 1)
7.已知函数 ( ) =
, ( ≥ 1)
在 上单调递减，则实数 的取值范围为( )
A. [ 17 , 1) B. [0,
1 1 1 1
3 ) C. [ 6 , 1) D. [ 6 , 3 )
8.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为 0，则经过一定时间 后的

1
温度 将满足 = 2 0 ，其中 是环境温度， 称为半衰期.现有一杯 85°C 的热茶，放置在 25°C
的房间中，如果热茶降温到 55°C，需要 10 分钟，则欲降温到 35°C，大约需要( )分钟. (参考数据 lg2 ≈ 0.3010，
lg3 ≈ 0.4771)
A. 16 分钟 B. 20 分钟 C. 24 分钟 D. 26 分钟
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组函数表示的是不同函数的是( )
A. ( ) = 2 3与 ( ) = 2
B. ( ) = | |与 ( ) = 2
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C. ( ) = + 1 与 ( ) = + 0
D. ( ) = + 1与 ( ) = 2 +
10.下列命题是真命题的是( )
A.若 < < 0，则 2 > > 2
B.若 > > 0， > ，则 >
C.若 > 1，则 + 1 +1的最小值为 1
D.若 , ∈ (0, + ∞) 1 9 16， + = 1，则 + +2的最小值为 3
11.设函数 ( ) = cos( + )( , > 0,0 < < 是常数 2 )若 ( )
5
在区间 24 , 24 上具有单调性，且 (
) = ( 5 24 24 ) = (
11
24 )，则下列说法正确的是( )
A. ( )的周期为
B. ( )的单调递减区间为 6 + ,

3 + ( ∈ )
C. ( )的对称轴为 = + 12 2 ( ∈ )
D. ( ) 5 的图象可由 ( ) = sin 的图象向左平移 6个单位得到
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若角 的终边经过点 (1, 2)，则 tan = ．
13.已知集合 = { | 2 < < 3}，集合 = { |2 ≤ < 1 }，若 ，则 的取值范围为 ．
14.定义域为 R 的函数 ( )满足条件：
① 1, 2 > 0， 1 ≠ 2，恒有 1 2 1 2 > 0；
② ( ) ( ) = 0；
③ ( 3) = 0，
则不等式 ( ) < 0 的解集是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
(1)求值：80.25 × 4 2 + log 10 1 log 35 2log 5 2 ；2
sin(2π )cos(3π+ )cos(3π+ )
(2)化简： 2sin( π+ )sin(3π )cos( π)．
16.(本小题 15 分)
(1)求关于 的一元二次不等式 2 6 < 0 的解集；
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(2)若一元二次不等式 2 + + ≥ 0 的解集为 ≥ 2 或 ≤ 1 ，求不等式 2 + + 1 ≥ 0 的解集．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3sin cos cos2 + 12
(1)求 15° 的值；
(2)求函数 ( )的递增区间；
(3)求函数 ( ) π在区间 0, 4 上的值域．
18.(本小题 17 分)
为了保护环境，发展低碳经济，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳
处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本 (元)与月处理量 (吨)之间的函数关
1 33 80
2 + 5040 , ∈ [120,144)
系可近似的表示为： = 1 ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产 22 200 + 80000, ∈ [144,500)
品价值为 200 元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．
( )当 ∈ [200,300]时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？
(Ⅱ)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
19.(本小题 17 分)
定义在 上的函数 ( )，若对任意 ∈ ，存在常数 > 0，都有 ( ) ≤ 成立，则称 ( )是 上的有界函

数，其中 称为函数 ( ) 1 2的上界．已知函数 ( ) = 1+2 ( ≠ 1)．
(1)若 ( )是奇函数，判断函数 ( )( ∈ )是否为有界函数，并说明理由；
(2)若 ( )在[1,3] 1上是以4为上界的函数，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.( 1, + ∞)
14.( ∞, 3) ∪ (0,3)
3 1
15.【详解】(1)原式= 24 × 24 + log510 log52 3 = 2 + log55 3 = 2 + 1 3 = 0；
(2) = sin cos sin 原式 sin sin cos = 1．
16.【详解】解：(1)因为 2 6 < 0，则( 3)( + 2) < 0，即 2 < < 3，
故 2 6 < 0 的解集为 2 < < 3 ；
(2) ∵不等式的解集为 2 + + ≥ 0 的解集 ≥ 2 或 ≤ 1 ，
∴ 2 和 1 是方程 2 + + = 0 的两个实数根，
1+ 2 =
即 1 × 2 = ，解得， = 1， = 2，
则不等式 2 + + 1 ≥ 0 等价于 2 2 + 1 ≥ 0，
即 2 2 + 1 ≤ 0，因此(2 1)( + 1) ≤ 0，解得 1 ≤ ≤ 12，
故所求不等式的解集为 1 ≤ ≤ 12 ．
17.【详解】(1)
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1 3 1 π
( ) = 3sin cos cos2 + 2 = 2 sin2 2 cos2 = sin(2 6 )
则 (15°) = π = sin 2 × π π12 12 6 = 0；
(2)
令：2 π π π π2 ≤ 2 6 ≤ 2 π + 2 ( ∈ Z)，
π π
解得 π 6 ≤ ≤ π + 3 ( ∈ Z)
∴ ( ) π π的单调递增区间为：[ π 6 , π + 3 ]( ∈ Z)；
(3)
由(2) π可得，函数 ( )在区间 0, 4 上单调递增
∴ (0) = sin π = 1 π π π π 36 2 , 4 = sin 2 × 4 6 = sin 3 = 2 ，
∴ ( ) π 1 3在区间 0, 4 上的值域为： 2 , 2 ．
18.解：( )设 ∈ [200,300]时，获利为 ，
则 = 200 ( 1 2 1 22 200 + 80000) = 2 ( 400) ，
所以在 ∈ [200,300]时， 为单调递增函数，
= 5000， = 20000，
所以补偿范围是[5000,20000]．
1 2 80 + 5040, ∈ [120,144),
(Ⅱ) 二氧化碳的平均每吨的处理成本为 =
3
1 200 + 800002 , ∈ [144,500],
当 ∈ [120,144)时，当 = 120 时， 取得最小值 240，
当 ∈ [144,500) 1 80000 1 80000时， = 2 + 200 2 2 200 = 200，
1 80000
当且仅当2 = ，即 = 400 时， 取得最小值 200，
∵ 200 < 240，
所以每月的处理量为 400 吨时，才能使每吨的处理成本最低．
19.【详解】(1)解法一：若 ( )是奇函数，则 ( ) + ( ) = 0，
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1 2 + 1 2 = 1 2

则 1+2 1+2 1+2 +
2
1+2 = 0，
所以( 1) 2 + 1 = 0 恒成立，
所以 ( )是奇函数时， = 1，
1 2 2 1+2 2
此时 ( ) = 1+2 = 1+2 = 1+2 1，
由2 > 0，知 1 + 2 > 1 2 2，于是 0 < 1+2 < 2，则 1 < 1+2 1 < 1，
故 ∈ 时， 1 < ( ) < 1，
所以，函数 ( )( ∈ )为有界函数．
解法二：因为 ( )( ∈ )为奇函数，可得 (0) = 0，则有 1 = 0，解得 = 1．
1 2 2 1+2
此时 ( ) = 1+2 = 1+2 =
2
1+2 1，
由2 > 0，知 1 + 2 > 1 2 2，于是 0 < 1+2 < 2，则 1 < 1+2 1 < 1，
故 ∈ 时， 1 < ( ) < 1，
所以，函数 ( )( ∈ )为有界函数．
(2)若函数 ( )在[1,3] 1 1上是以4为上界的函数，则有 ( ) ≤ 4在[1,3]上恒成立．
1 ≤ ( ) ≤ 1 1 ≤ 1 2
1
故 4 4恒成立，即 4 1+2 ≤ 4恒成立，
1 2 ≤ 1 1 4 + 4 2 ( +
1 )2 ≥ 3
所以 ，即 4 4 ,
1 2 ≥ 1 1 1 4 4 2 ( 4 )2 ≤
5
4
≥ 32 +2
1
由题可知，不等式组 4
≤ 5 1
在[1,3]上恒成立．
2 +2 + 4
3 1 1
因为2 +2 4在[1,3]上单调递减，其最大值为8；
5 1 13
又2 +2 + 4在[1,3]上单调递减，其最小值为32．
≥ 1
所以 8
1 13
13，即8 ≤ ≤ 32， ≤ 32
1 13故 的取值范围是 8 , 32 ．
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