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2025学年第一学期上大附中高三9月月考试卷
2025.09.23
一、填空题
1. 双曲线 的离心率为_____。
2. 已知圆柱的高为 9,底面周长为 ,则圆柱的体积为_____。
3. 已知幂函数 在 单调递减,则实数 _____。
4. 已知 是虚数单位,若复数 的实部与虚部之积大于 0, 则实数 的取 值范围是_____。
5. 已知 的二项展开式中的第 4 项为常数项,则 _____。
6. 已知函数 是定义在 上的周期为 2 的奇函数,
当 时, ,则 _____。
7. 已知全集为 , 若满足 ,则实数 的取值范围为_____。
8. 曲线 在点 处的切线方程为_____。
9. 已知 、 且 ,则 的最小值是_____。
10. 如图所示,用五种不同的颜色分别给 四个区域涂色,相邻
区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂色方法
共有_____种。
11. 已知正方形 边长为 8, ,若在正方形边上恰有 6 个不同 的点 ,使 ,则 的取值范围为_____。
12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著, 他是数学史上第一位重视概念的 人, 并且有意识地 “以概念代替直觉”,以其名命名的函数狄利克雷函数
,现定义一个与狄利克雷函数类似的函数 “ 函数”
,则关于狄利克雷函数和 函数有以下四个结论:
(1) ；(2)函数 是偶函数；
1
(3) 函数图像上存在四个点 ,使得四边形 为平行四边形；
(4) 函数图像上存在三个点 ,使得 为等边三角形。
其中所有正确结论的序号是_____。
二.选择题
13. “ ” 是 “ ” 的( )条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
14. 已知事件 相互独立,事件 发生的概率为 ,事件 发生的概率为
则 “两个事件 至少有一个发生” 的概率为( )
A. B. C. D. 1
15. 已知函数 ,若在 内存在 ,
使得 成立,则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
16. 伟大的数学家欧拉 28 岁时解决了困扰数学界近一世纪的 “巴赛尔级数” 难题.
当 时, ,
又根据泰勒展开式可以得到 ,
根据以上两式可求得 ( )
A. B. C. D.
三.解答题
17. 如图,在四棱锥 中, 面 , 点 、 分 别为 、 的中点, .
(1)证明:直线 平面 ；
2
(2)求二面角 的余弦值.
18. 已知数列 是其前 项的和,且满足 ( 是正整数).
(1)求证:数列 为等比数列；
(2)记 ,求 的表达式.
19. 在 中,内角 的对边分别为 ,已知 .
(1)求角 的大小；
(2)设 , 为 内一点,且 , ,证明: 为等腰三 角形.
3
20. 在平面直角坐标系 中, 分别是椭圆 的左、右焦
点, 直线 与椭圆交于不同的两点 、 ,且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知直线 经过椭圆的右焦点 是椭圆上两点,四边形 是菱形, 求直 线 的方程:
(3)已知直线 不经过椭圆的右焦点 ,直线 、 、 的斜率依次成等差数列, 求直线 在 轴上截距的取值范围.
21. 给出函数 .
(1)若 ,求不等式 的解集；
(2)若 ,判断 的奇偶性,说明理由,并求不等式 的解 集；
(3)若 ,非零实数 、 满足 ,求证: .
42025学年第一学期上大附中高三9月月考试卷
2025.09.23
一、填空题
1. 双曲线 的离心率为_____。
【解析】
2. 已知圆柱的高为 9,底面周长为 ,则圆柱的体积为_____。
【解析】
3. 已知幂函数 在 单调递减,则实数 _____。
【解析】
4. 已知 是虚数单位,若复数 的实部与虚部之积大于 0, 则实数 的取值范围是_____。
【解析】
5. 已知 的二项展开式中的第 4 项为常数项,则 _____。
【解析】
6. 已知函数 是定义在 上的周期为 2 的奇函数,当 时,
,则 _____。
【解析】
7. 已知全集为 , 若满足 ,则实数 的取值范围为_____。
【解析】
8. 曲线 在点 处的切线方程为_____。
【解析】
9. 已知 、 且 ,则 的最小值是_____。
1
【解析】
10. 如图所示,用五种不同的颜色分别给 四个区域涂色,
相邻区域必须涂不同颜色,若允许同一种颜色多次使用,则不同的涂
色方法共有_____种。
【解析】
11. 已知正方形 边长为 8, ,若在正方形边上恰有 6 个 不同的点 ,使 ,则 的取值范围为_____。
【解析】
12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著, 他是数学史上第一位重视概念 的人, 并且有意识地 “以概念代替直觉”,以其名命名的函数狄利克雷函数
,现定义一个与狄利克雷函数类似的函数 “ 函数”
,则关于狄利克雷函数和 函数有以下四个结论:
(1) ；(2)函数 是偶函数；
(3) 函数图像上存在四个点 ,使得四边形 为平行四边形；
(4) 函数图像上存在三个点 ,使得 为等边三角形。
其中所有正确结论的序号是_____。
【解析】
二.选择题
13. “ ” 是 “ ” 的( )条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
【解析】
14. 已知事件 相互独立,事件 发生的概率为 ,事件 发生的概 率为 则 “两个事件 至少有一个发生” 的概率为( )
A. B. C. D. 1
【解析】
2
15. 已知函数 ,若在 内存在 ,
使得 成立,则实数 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
【解析】 （分类讨论）
16. 伟大的数学家欧拉 28 岁时解决了困扰数学界近一世纪的 “巴赛尔级数” 难 题.当 时, ,
又根据泰勒展开式可以得到 ,
根据以上两式可求得 ( )
A. B. C. D.
【解析】 【①构造相同的代数式，系数相同】【②用计算器 求和函数，
去逼近】
三.解答题
17. 如图,在四棱锥 中, 面 , 点 、
分别为 、 的中点, .
(1)证明:直线 平面 ；
3
(2) 求二面角 的余弦值.
【解析】
(1)证明：∵ , 分别为 , 的中点,∴ ,
∵ , ∴ ,
∵ 面 , 面 ,
∴ 面 .
(2)∵ ,∴ ,
连接 ,由 得
∵ ,∴ ,∴ ,
∵ 面 ,
∴ , ,∵ , 是平面 内两相交直线,
∴ 面 ,
∵ 面 ,∴ ,
∴二面角 的平面角为
∵ ,∴ ,
∴ ,∴二面角 的余弦值为 ,
∴二面角 的余弦值为 .
18. 已知数列 是其前 项的和,且满足 ( 是正整数).
(1)求证:数列 为等比数列；
4
(2)记 ,求 的表达式.
【解析】
(1)证明: ,
,
两式相减得: ,
,
,又
数列 是以 为首项,3 为公比的等比数列;
(2) 由(I)得 . ,
,
.
19. 在 中,内角 的对边分别为 ,已知
.
(1)求角 的大小；
5
(2)设 , 为 内一点,且 , ,证明: 为等腰三角形.
【解析】
（1）由已知条件及 ,得
结合正弦定理得:
因为 ,所以 , 所以 ,
因为 ,所以 , 所以 ,则 ,所以
（2）证明:
由(1)及 ,得△ 为等腰直角三角形
在 中,设 ,
由正弦定理得: 所以
,
因为 ,所以 ,
所以
,
在 中,由余弦定理得:
,
所以 ,故 为等腰三角形。
20. 在平面直角坐标系 中, 分别是椭圆 的左、 右焦点, 直线 与椭圆交于不同的两点 、 ,且 .
(1)求椭圆 的方程；
6
(2)已知直线 经过椭圆的右焦点 是椭圆上两点,四边形 是菱形, 求直线 的方程:
(3)已知直线 不经过椭圆的右焦点 ,直线 、 、 的斜率依次成等 差数列, 求直线 在 轴上截距的取值范围.
【解析】(1)由 可得 ,从而 ,
椭圆方程为 .
(2)由于四边形 是菱形,因此 且 .
由对称性, 在线段 上.因此, , 分别关于原点对称；
并且由于菱形的对角线相互垂直,可得 ,即 .
设 ,与椭圆方程联立可得 ,
设 , ,
因此 , .
由 ,可得
解得 ,即直线方程为 .
(3)设 ,由 ,可得 ,
即 .
化简可得 ,
即 .
若 ,则 经过 ,不符,因此 .
联立直线与椭圆方程, .
因为 ①
由 ,可得, ②
将②代入①, , ；再由 ,
可得, .
7
21. 给出函数 .
(1)若 ,求不等式 的解集；
(2)若 ,判断 的奇偶性,说明理由,并求不等式 的解集；
(3)若 ,非零实数 、 满足 ,求证: .
【解析】
(1)若 ,则不等式 为一 ,
即 ,所以 ,
不等式的解集为 .
(2) 设 .
,定义域是 ,
则 ,即 是偶函数.
设 ,则 ,
故 ,所以
又 ,所以 ,
即 ,故 在 上是减函数.
又 ,所以 是偶函数,且在 上是减函数.
所以,不等式 等价于 ,
由单调性可得 ,解得
且
的取值范围是 .
(3)证明:若 ,则 2,
由 得:
,所以 .
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设 ,则 , ,解得
则 .
要证 ,即证 ,只需证
设 ,则 , 所以
在 上是增函数,故
.
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