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2025-2026学年湖南省邵阳市高一上学期9月拔尖创新班联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，，则命题的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知均为实数，则“”是“或”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件
4.若，，，则( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.若，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，于，，矩形的顶点与点重合，，将矩形沿平移，当点与点重合时，停止平移，设点平移的距离为，矩形与重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，其中均为实数．若方程有且仅有个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A. 不等式的解集为
B. 函数的定义域为
C. 若，则函数的最小值为
D. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是
10.已知，，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
11.已知函数则下列说法正确的是( )
A. 若函数恰有个零点，则
B. 关于的方程有个不同的实数解
C. 当时，不等式恒成立
D. 函数的图象与直线，及轴所围成图形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数与且互为反函数，且的图象过点，则 ．
13.如图，“水滴”是由线段和圆的优弧所围成的封闭图形，其中恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为，点到圆弧所在圆的圆心的距离为，则该“水滴”的面积为 ．
14.已知定义在上的奇函数，对，总有成立，当时，函数，若对，，使得成立，则满足条件的实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简与求值：
计算：
；．
已知，若，求下列各式的值：
；．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过第三象限的点，且，求下列各式的值：
及；
．
17.本小题分
给定数集，若对于任意，有，，则称集合为闭集合．
判断集合，是否为闭集合，并给出证明；
若集合为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
若集合为闭集合，且，，证明：．
18.本小题分
已知定义在上的函数满足：对，都有，且当时，．
判断函数的奇偶性并用定义证明；
判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；
解不等式：．
19.本小题分
已知函数，，
当时，求函数的单调递增与单调递减区间直接写出结果；
当时，函数在区间上的最大值为，试求实数的取值范围；
若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：
．
．
，
；
，且，
．

16.解：因为点在第三象限，所以，
由三角函数的定义可知，解得，
此时，故，
得到，故，．
原式．

17.解：不是闭集合，是闭集合．
，，，不是闭集合；
任取，设，，，则且，，同理，，故为闭集合；
结论：不一定；
不妨令，，
则由可知，为闭集合，同理可证为闭集合，
，，
因此，不是闭集合，
若集合为闭集合，则不一定为闭集合；
假设，
由，可得存在且，故；
同理，存在且，故，
，或．
若，则由为闭集合且，得，与矛盾，
若，则由为闭集合且，得，与矛盾，
综上，不成立，故．

18.解：函数是奇函数，
证明：令，则，解得，
令，则，令，则．
为定义在上的奇函数．
函数在上单调递减，
证明：，设，则，
，
，，．
又，，
又当时，，由知为定义在上的奇函数．
则当时，，，
，即，即，
在上单调递减；
因为，
由知为定义在上的奇函数，
则，
的定义域为且在上是单调递减的，
解得，
不等式的解集为．

19.解：当时，，
所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，；
解：因为，且函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为在上的最大值为，所以，
即，整理可得，
所以，所以，即；
解：由不等式对任意，恒成立，
即，
可令，等价为在上单调递增，
而
分以下三种情况讨论：
当即时，可得，解得，矛盾，无解；
，即时，函数的图象的走向为减、增、减、增，
但是中间增区间的长度不足，要想在递增，只能，即，矛盾，无解；
即时，此时在上单调递增，
要想在递增，只能，即，所以．
综上可得满足条件的的取值范围是．

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