资源简介

2025-2026学年四川省绵阳东辰国际学校高一上学期开学分班检测
数学试卷
一、选择题：本题共 8小题，每小题 3分，共 24分。
1 2.在实数 3，0， 2， ， 7， 4中，无理数的个数是( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
2.有以下 20 个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，
95，88，它们的和是( )
A. 1789 B. 1799 C. 1879 D. 1899
3.如图， 、 为⊙ 的两条弦，连接 、 ，点 为 的延长线上一点，若∠ = 61 ，则∠ 的
度数为( )
A. 110 B. 119 C. 122 D. 132
4 7.一组数据按从小到大的顺序排列为 1,4,4,4, , 7,8，若该组数据的第 60 百分位数是众数的4倍，则该组数据
的方差是( )
A. 5 B. 367 C.
37 D. 387 7
5.在某种浓度的盐水中加入“一杯水”后，得到新的盐水，它的浓度为 20％，又在新盐水中加入与前述“一
1
杯水”的重量相等的纯盐后，盐的浓度变为 33 3％，那么原来盐水的浓度为( )
A. 23％ B. 25％ C. 30％ D. 32％
6.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，先测得∠ = 60 , = 6，则点 到
的距离为( )
A. 3 3 B. 3 C. 2 3 D. 3 2
第 1页，共 18页
7.用 min{ , }表示 ， 两数中的最小数，若函数 = min 2 1,1 2 ，则 的图象为( )
A. B.
C. D.
8.下列各组数轴上的点中，点 位于点 的右侧的是( )
A. ( 3)和 ( 4) B. (3)和 (4) C. (4)和 (3) D. ( 4)和 ( 3)
二、填空题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。
9.计算 4sin60° + 12 3 2 32 1的值是 ．
10.已知定义在[ 5,1 2 ]上的偶函数 ( )，当 ≥ 0 时， ( ) = 2 2 ，则 ( )的值为 ．
11 m.声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度 ( s )与温度
(℃)部分对应数值如下表：研究发现 ， 满足公式 = + ( , 为常数，且 ≠ 0).当温度 为 20℃时，声
m
音传播的速度 为 s
温度 (℃) 100 10 30
声音传播的速度 (ms )324 330336348
12.由一次函数 = + 2， = + 2 和 轴围成的三角形与圆心在(1,1)、半径为 1 的圆构成的图形覆盖的
面积等于 ．
13.在平面直角坐标系中，抛物线 = 2的图象如图所示．已知 点坐标为(1,1)，
过点 作 1 ∕∕ 轴交抛物线于点 1，过点 1作 1 2 ∕∕ 交抛物线于点 2，过
点 2作 2 3 ∕∕ 轴交抛物线于点 3，过点 3作 3 4 ∕∕ 交抛物线于点 4……，
依次进行下去，则点 2019的坐标为 ．
14 2 1.若直角三角形中有两边的边长为 、 ，这两边长都是质数，且使得代数式
2 +3
及 的值都是正整数，则此直角三角形的第三边的长是 ．
第 2页，共 18页
15.定义：如果函数 ( )在[ , ]上行仕 1, 2 < 1 < 2 < ，满足 ′ 1 =
( ) ( ) ′ ( ) ( )
, 2 = ，
则称函数 ( )是[ , ]上的“双中值函数 ，已知函数 ( ) = 2 3 2 + 是[0,2 ]上“双中值函数 ，则实
数 的取值范围是 ．
16.几何学有两个伟大的瑰宝，一个是毕达哥拉斯定理，另一个是黄金分割.毕达哥拉斯几何学中有一个关于
五角星结构的问题.如图，一个边长为 1 的正五边形 有 5 条对角线，这些对角线分别相交于 1， 1，
1， 1， 1五点，它们组成了另一个正五边形，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概
率是 ．
17.如图，矩形 的对角线交于点 ，将 沿着 翻折到 ， 与 交于点 .设∠ = ，
的面积为 ，则 = . (用 和 表示)
18.在综合实践活动中，数学兴趣小组对 0 这( + 1)个自然数中，任取两数之和不大于 的取法种数
进行了探究.发现：当 = 1 时，只有 0,1 一种取法，即 = 1；当 = 2 时，有 0,1 和 0,2 两种取法，即 = 2；
当 = 3 时，可得 = 4；……若 = 7 时，则 的值为 ；若 = 100，则 的值为 ．
四、解答题：本题共 8小题，共 96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题 12 分)
(1)计算： 48 3tan60° 5 ( 2019)0 2 × cos45° 2．
(2) 1 先化简，再求值： 1+ 1 ÷ 4，其中 = 5 + 2．
20.(本小题 12 分)
2010 年我国进行了第六次人口普查，2011 年 4 月国家统计局发布了此次普查的主要数据.国家统计局的公
告中有下面两张图．
第 3页，共 18页
(1)图 1 是我们学习的图表中的哪一种？此图反映怎样的信息？
(2)根据这两张图，给出你的分析结论．
21.(本小题 12 分)

如图，一次函数 1 = + 与反比例函数 2 = ( > 0)的图象分别交于点 ( , 4)和点 (8,1)，与坐标轴分
别交于点 和点 ．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)在 轴上是否存在点 ，使 与 相似，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
22.(本小题 12 分)
2
过点 (2,1)任作直线 交曲线 : 24 + = 1 于 ,
1
两点，过 作斜率为 2的直线
′交曲线 于另一点 .求证：
直线 与直线 的交点为定点( 为坐标原点)，并求出该定点．
23.(本小题 12 分)
如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 = 2 + 过点( 1,3)，且对称轴为直线 = 1，直线 =
与抛物线交于 , 两点，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
第 4页，共 18页
(2) = 1 时，直线 与 轴交于点 ，与直线 = 2 交于 若抛物线 = ( )2 1 与线段 有公共点，求
的取值范围；
(3)过点 与 垂直的直线交抛物线于 , 两点， , 分别是 , 的中点.试探究：当 变化时，抛物线的对
称轴上是否存在定点 ，使得 总是平分∠ ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
24.(本小题 12 分)
已知 1, 2是关于 的一元二次方程 2 2( + 1) + 2 + 5 = 0 的两实数根．
(1)若 1 1 2 1 = 28，求 的值；
(2)已知等腰 的一边长为 7，若 1, 2恰好是 另外两边的边长，求这个三角形的周长．
25.(本小题 12 分)
如图，四边形 为矩形， 点在 轴上， 点在 轴上， (0,0), (3,4)，矩形 沿直线 折叠，点 落
在 边上的 处， 、 分别在 、 边上且 (1,4)．
(1)求 点坐标
(2)求直线 解析式
(3)点 在坐标轴上，直线 上是否存在点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
直接写出 点坐标；若不存在，请说明理由
26.(本小题 12 分)
数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这
个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片 和 中， = = 3, = = 4, ∠ =
∠ = 90 ．
第 5页，共 18页
(1)【初步感知】
如图 1，连接 , ，在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 的值．
(2)【深入探究】
如图 2，在纸片 绕点 旋转过程中，当点 恰好落在 的中线 的延长线上时，延长 交 于点 ，
求 的长．
(3)【拓展延伸】
在纸片 绕点 旋转过程中，试探究 , , 三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所有直角三角形
的面积；若不能，请说明理由．
第 6页，共 18页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. 3
10.8
11.342
12.4 + π2
13.( 1010, 10102)
14.12 或 194
15. 18 ,
1
4
16.7 3 52
17.2 tan tan2
18.16；2550
19.解：(1) 48 3tan60° 5 ( 2019)0 2 × cos45° 2
= 4 3 3 3 + 5 1 4 = 3；
(2) = 4 4原式 1 × = 1，
把 = 5 + 2 = 4 4( 5 1)代入得原式 5+1 = ( 5+1)( 5 1) = 5 1．
20.解：(1)这是个条形统计图，纵坐标对应人数，说明我国的人数越来越多．
(2)由图可得我国的人数越来越多，且离开户口登记地所在的乡镇街道半年以上人口占比越来越大，说明人
口流动越来越大．
第 7页，共 18页
21.解：(1)把点 (8,1) 代入 2 = ，解得 = 8
∴ 8反比例函数的表达式为 2 =
∵点 ( , 4)在 2 =
8
图象上，∴ = 2，即 (2,4)
把 (2,4) (8,1) 2 + = 4， 两点代入 1 = + ，可得 8 + = 1 ,
1
解得 = 2， = 5
所以一次函数的表达式为 1 =
1
2 + 5．
(2) 1由(1)已得 1 = 2 + 5，
当 = 0 时， = 5，∴ (0,5)，即 = 5．
当 = 0 时， = 10，∴ (10,0)，即 = 10，
由勾股定理， = 52 + 102 = 5 5，
∵ (2,4)，∴ = (10 2)2 + (0 4)2 = 4 5，
设 ( , 0)，由题意，点 在点 左侧，则 = 10 ，显然∠ = ∠
①如图，当 △ 时，
= ∴ 4 5 = 10 ， ，5 5 10
解得 = 2，故点 坐标为(2,0)；
②如图，当 △ 时，
4 5 10
= ，∴ ，10 = 5 5
解得 = 0，即点 的坐标为(0,0)．
因此，点 的坐标为(2,0)或(0,0)时， 与 相似．
2 2
′ 2 ′ ′
22. = 解：如图，做变换 ，由 : + 2 = 1 + = 1，即将椭圆还原成圆，
′ = 2 4 4 4
第 8页，共 18页
则点 ′(2,2)， ′ ′斜率为 1， ′ ′斜率为 1，
所以 ′ ′ ⊥ ′ ′，由垂径定理， ′, ′关于直线 ′ ′对称，
设 ′ ′与圆交于 ′, ′.弧 ′ ′对应圆心角为 ，设弧 ′ ′对应圆心角为 ．
则弧 ′ ′对应圆心角为 ．
连接 ′ ′, ′ ′, ′ ′，则 ′ ′与 ′ ′交点为 ′．
由外角和定理可得∠ ′ ′ ′ = ∠ ′ ′ ′ = ∠ ′ ′ ′ + ∠ ′ ′ ′ = + 2 ，
∠ ′ ′ ′ = ∠ ′ ′ ′ ∠ ′ ′ ′ = + = ，又∠ ′ ′ ′2 2 = ，
则∠ ′ ′ ′ = + ，从而∠ ′ ′ ′ = ∠ ′ ′ ′，又∠ ′ ′ ′ = ∠ ′ ′ ′2 ，
′ ′ ′ ′ 2
则 ′ ′ ′ △ ′ ′ ′， ′ ′
′ ′
= ′ ′ = ′ ′ = 2，
又直线 ′ ′方程为 ′ = ′ 1，结合图形，可得 ′(1,1)，所以直线 与直线 的交点为定点 1, 2 ．
23.解：(1)因为抛物线 = 2 + 过点( 1,3)，且对称轴为直线 = 1，
3 =
所以
= 1
，解得 ,
2 = 1 = 2
所以抛物线的解析式为 = 2 2 ．
(2)当 = 1 时，直线 为 = 1，
令 = 0 解得 = 1，令 = 2 解得 = 1，所以 (0, 1)， (2,1)，
= 1 1所以 0 2 = 1，将 (0, 1)代入 = + 解得 = 1，所以直线 方程为 = 1，
第 9页，共 18页
因为抛物线 = ( )2 1 可由 = 2 1 平移得到，
当点 在抛物线 = ( )2 1 上，由 1 = (2 )2 1 解得 = 2 + 2或 = 2 2，
结合图象可知 = 2 1 至多向右平移 2 + 2个单位，
当 = 2 1 的图象向左平移至与 = 1 有一个交点时，
= ( )2 1
联立 2 2 = 1得 (2 + 1) + = 0，
1
令Δ = (2 + 1) 2 4 2 = 0 解得 = 4，
1
此时由 2 2 +
1
16 = 0 解得 =
1 1 3
4，即交点坐标为 4 , 4 ，在线段 上，
结合图象可知 = 2 1 1至多向左平移4个单位，
综上 1的取值范围为 4 , 2 + 2 ．
(3)解法一：因为直线 : = ，所以当 = 0 时， = 1，即 (1,0)，
(根据对称性在这里不妨只考虑 > 0 的情况)
因为所以抛物线的对称轴为直线 = 1，所以点 在抛物线的对称轴上，
因为 过点 ，且与直线 垂直，所以∠ = 90°，
设直线 的解析式为 = 2 + 2，将 (1,0)代入得 2 = 2，故 = 2( 1)，
在直线 上取点 ( , )，( > 1)，在 上取点 ，使 = ，作 ⊥ 轴， ⊥ 轴，
则∠ = ∠ = ∠ = 90°， = , = 1，
∠ = 90° ∠ ，∠ = 90° ∠ ，所以∠ = ∠
所以 ≌△ ，
所以 = = 1, = = ，则 = 1， ( + 1 , 1)，
所以 1 = 2( + 1 1)
1
，解得 2 = ，
所以直线 1 1 1的解析式为 = ( 1)，即： = + ，
第 10页，共 18页
=
联立 2 = 2 2 整理，得 ( + 2) + = 0，
所以 + = + 2， + = + = + 2 2 = ，
+2 2
由 为 的中点，得 2 , 2 ，
= 1 + 1 1 1
联立 ，同理可得 1
= 2 2 2
, 2 2 ，
假设存在点 ，设 (1, )，使得 总是平分∠ ，
如图，作 ⊥ , ⊥ ，
因为 平分∠ ，所以∠ = ∠ ，故 tan∠ = tan∠ ，
+2 1
2 1 1 1+所以 2 = ，则 = ， 2 1
2 2

2
1 2 1
由于 , 要在 的同一侧，故2 2 , 2 同正或者同负，解得 = 2
1
所以抛物线的对称轴上存在 1, 2 ，使得 总是平分∠ ．
解法二：对于直线 = 令 = 0 解得 = 1，所以 (1,0)，则 在抛物线对称轴上，
第 11页，共 18页
=
联立 2 = 2 2 得 (2 + ) + = 0，设 1, 1 ， 2, 2 ，
由韦达定理可得 1 + 2 = 2 + ，
= 1+ 2 = 2+
2 2
因为 是 中点，所以 点横坐标 2 2 ，则 = =
2+
2，即 2 , 2 ，
因为 ⊥ ，且 1 = ≠ 0，所以 = ，
又直线 过点 (1,0)，所以直线 方程为 = 1 ( 1)，
= 1 ( 1)
联立 得 2 (2 1) 1 = 0，设 3, 3 ， 4, 4 ，
= 2 2
+ = 2 1由韦达定理可得 3 4 ，
+ 2 1 1 1 2 1 1因为 是 中点，所以 点横坐标 = 3 4 2 = 2 ，则 = 1 = 2 2，即 2 , 2 2 ，
因为 ⊥ 轴，所以 平分∠ 时， + = 0，

2 12 2 2 2 2 1 2 2 (1, ) 2 2 2 +2 1设 ，则
1 2+
+ 2 1 = + = = 0，
2 1 2
所以 2 2 + 2 2 1 = 2(1 + 2 ) (2 + 1) = 0 对任意 ≠ 0 1 + 2 = 0恒成立时 (2 + 1) = 0，解得 =
1
2，
1
所以存在定点 使得 总是平分∠ ，其坐标为 1, 2 ．
24.解：(1)因为 1, 2是关于 的一元二次方程 2 2( + 1) + 2 + 5 = 0 的两实数根．
= 2( + 1) 2 4 × 2 + 5 ≥ 0
所以 1 + 2 = 2( + 1) ,
= 21 2 + 5
又因为 1 1 2 1 = 28，所以 1 2 1 + 2 + 1 = 28，
所以 2 + 5 2( + 1) + 1 = 28，即 2 2 24 = 0，解得 = 4 或 = 6，
当 = 4 时， = 36 84 < 0，不符合题意，故舍去，
所以 = 6，经验证满足；
(2)①当 7 为底边长时，方程 2 2( + 1) + 2 + 5 = 0 有两个相等的实数根，
所以 = 2( + 1) 2 4 × 2 + 5 = 0，解得 = 2，
所以方程为 2 6 + 9 = 0，解得 1 = 2 = 3，
又因为 3 + 3 = 6 < 7，所以不能构成三角形；
②当 7 为腰长时，设 1 = 7，代入方程得 49 2( + 1) × 7 + 2 + 5 = 0，
第 12页，共 18页
解得 = 10 或 = 4，
当 = 10 时，方程为 2 22 + 105 = 0，解得 1 = 7, 2 = 15，
又 7 + 7 < 15，所以不能构成三角形；
当 = 4 时，方程为 2 10 + 21 = 0，解得 1 = 3, 2 = 7，
此时能构成三角形， 的周长为 3 + 7 + 7 = 17．
综上， 的周长为 17．
25.解：(1)由 (1,4), (3,4)，得 = 1， = 2，由折叠的性质得： = = 2，
在 Rt 中，由勾股定理得， = 2 2 = 3，
而 (3,4)，则 = 4，即 = 4 3，
所以 (0,4 3)．
(2)在 Rt tan∠ = 3中，由 = 1 = 3，∠ = 60°，
由折叠的性质得知：∠ = ∠ = 60°，在 Rt 中， = tan60° = 2 3，
则 = 4 2 3， (3,4 2 3)，设直线 的表达式为 = + ，
= 3
因此 3 + = 4 2 3，解得 ,
+ = 4 = 4 + 3
所以直线 解析式是 = 3 + 4 + 3．
(3)若以 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形，则分如下四种情况：
① 为平行四边形的一边， 点在 轴上， 为平行四边形，如图 1，
过点 作 的平行线，交 轴于点 1，再过点 1作 的平行线，交 于点 ，得 1 1，
由 1// ，直线 的解析式为 = 3 + 4 + 3, (0,4 3)，
得直线 1的解析式为 = 3 + 4 3
4 3 3 4 3 3
，当 = 0 时， = 3 , 1( 3 , 0)，
由 1 1，且 (0,4 3)， (1,4) (
4 3 3 4 3
， 1 3 , 0)，则 ( 3 , 3)；
第 13页，共 18页
② 为平行四边形的一边， 点在 轴上， 为平行四边形，如图 2，
由 2 2为平行四边形，得 2与 2互相平分，而 (0,4 3)， 2点纵坐标为 0，
3则 2中点的纵坐标为 2 2 ，设其横坐标为 ，又 2中点与 2中点重合，
3 4 3+9 4 3+9
则 3 + 4 + 3 = 2 2 ，解得 = 6 ，则 2点的坐标为( 3 , 0)，
由 4 3+92 2，且 (0,4 3)， (1,4)，( 3 , 0)
4 3+6
，于是 2( 3 , 3)．
③ 为平行四边形的一边， 点在 轴上， 为平行四边形，如图 3，
由 3 3为平行四边形，得 3与 3互相平分，而 (0,4 3)， 3点横坐标为 0，
则 3中点的横坐标为 0， 与 3的横坐标互为相反数，即 3的横坐标为 1，
当 = 1 时， = 3 × ( 1) + 4 + 3 = 4 + 2 3，因此 3( 1,4 + 2 3)．
④ 为平行四边形的对角线， 为平行四边形，如图 4，
第 14页，共 18页
过点 作 的平行线，交 轴于点 4，连结 4与 的中点并延长，交 于点 4，得 4 4
由 (0,4 3)， (1,4)，得 1中点坐标为( 2 , 4
3
2 )，
而 4 4的中点与 的中点重合，且 4的纵坐标为 0，则 4的纵坐标为 8 3，
3 + 4 + 3 = 8 3 = 6 4 3 ( 6 4 3设 4的横坐标为 ，则 ，解得 3 ，因此 4 3 , 8 3)．
所以直线 上存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形，
4 3 4 3+6 6 4 3
此时 点坐标为： 1( 3 , 3), 2( 3 , 3), 3( 1,4 + 2 3), 4( 3 , 8 3)．
26.解：(1) ∵ = = 3, = = 4, ∠ = ∠ = 90 ,
∴△ △ SAS
∴ = = 2 + 2 = 2 + 2 = 5, ∠ = ∠ ，
∴ ∠ ∠ = ∠ ∠ ，即∠ = ∠ ，

∵ = = 1,
∴△ △ ，
3
∴ = = 5
(2)连接 ，延长 交 于点 ，连接 交 于 ，延长 交 于 ，如图：
第 15页，共 18页
根据(1)得 △ , ∴ ∠ = ∠ ，
∵ ∴ = = = 1 = 5是中线， 2 2 , ∴ ∠ = ∠ ,
∵ ∠ + ∠ = 90
∴ ∠ + ∠ = 90 ，即∠ = 90 ,
∴ // ，
∴ ∠ = ∠ , ∠ = ∠ ,
∠ = ∠
∵ ∠ = ∠ ,
=
∴△ △ AAS
∴ = , ∴四边形 是平行四边形，
∵ ∠ = 90 ∴四边形 矩形，
∴ = = 3, = = 4, ∠ = 90 ,
∴ // , = 2 2 = 3, ∴ 3 = = 3 = 1，
∴ = 12 ，设 = , = 2 ，则 = 4 ，
∠ = ∠
∵ ∠ = ∠ = 90°
= = 3
∴△ △ AAS , ∴ = = 4 ,
∵ 2 = 2 + 2, ∴ (4 )2 = 2 + 32，
7 25 7
解得 = 8 = 8 , = 4 ,
∵ // , = 5，
∴△ △ + + = = ，
25 7
∴ 8
+4 5
7 = ，解得 =
70
39．
4
(3)如图，当 与 重合时，此时 ⊥ ，此时 是直角三角形，
第 16页，共 18页
1故 = 2 =
1
2 × ( ) × =
1
2 × 2 × 4 = 4；
如图，当 在 的延长线上时，此时 ⊥ ，此时 是直角三角形，
1 1
故 = 2 = 2 × ( + ) × =
1
2 × 8 × 4 = 16；
如图，当 ⊥ 时，此时 是直角三角形，过点 作 ⊥ 于点 ，
∵ = = 5, ∴ = = 12 , ∵ ⊥ , ⊥ , ⊥ ，
∴ 1四边形 是矩形，∴ = = = 2 = 3，
∴ = 6 1 1，故 = 2 = 2 × 6 × 4 = 12；
如图，当 ⊥ 时，此时 是直角三角形，过点 作 ⊥ 于点 ，交 于点 ，
，
∴ = = 1 12 = 2, = 2 ，
∵ ∠ = ∠ , ∠ = ∠ = 90 ，
∴ ∠ = ∠ tan∠ = tan∠ = 2 = 3，
2
∴ = 2 43 , ∴ = 3 , = 2 , ∵
2 = 2 + 2 42 = (2 )2 + 4 2 363 = 13，
第 17页，共 18页
= 6 13 1 1 4 4解得 13 ；故 = 2 = 2 × 2 × 3 = 3
2 = 4 × 36 483 13 = 13．
48
综上所述，直角三角形 的面积为 4 或 16 或 12 或13．
第 18页，共 18页

展开更多......

收起↑