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2025-2026 学年上海市杨浦高级中学高一上学期开学考试数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 ∈ R，则“ ≠ 1”是“ 2 3 + 2 ≠ 0”的( )条件
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要
2.已知全集 = R，集合 = { ∣ < 1 或 > 4}, = ∣ 2 ≤ ≤ 3 ，那么阴影部分表示的集合为( )
A. { ∣ 1 ≤ < 3} B. ∣ 1 ≤ ≤ 3
C. { ∣ ≤ 3 或 ≥ 4} D. ∣ 2 ≤ ≤ 4
3 5.已知集合 = = 6 , ∈ = =
1， 2 3 , ∈
1
， = = 2 + 6 , ∈ ，则集合 , ,
的关系为( )
A. = = B. =
C. D. , ∩ =
4.以某些整数为元素的集合 具有以下性质：
(1) 中元素有正数，也有负数；(2) 中元素有奇数，也有偶数；
(3) 1 ；(4)若 、 ∈ ，则 + ∈ ．
则下列选项哪个是正确的( )
A.集合 中一定有 0 但没有 2 B.集合 中一定有 0 可能有 2
C.集合 中可能有 0 可能有 2 D.集合 中既没有 0 又没有 2
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。
5.已知全集 = { ∣ < 6, ∈ }, = 1,3,5 ，则 = ．
6.已知 的两边长 = 2 , = 3，则第三边 的长的取值范围用区间表示为 ．
7.命题“存在 ∈ ，使得 2+2 + 5 = 0”的否定是
8.已知等式 2 2 + 3 + 4 = (2 + 1)( + 1) + 恒成立，则常数 + =
9.已知命题 : ≤ ≤ + 1，命题 : 0 < < 5，若 是 成立的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 ．
10.已知集合 = ( , ) + = + 1 ， = ( , ) + = 2 ，其中 为实数，当 ∩ ≠ ，则 满
足的条件是 ．
11.已知集合 = ∣ 2 3 4 = 0 ，若 中至多有一个元素，则实数 的取值范围是 ．
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12.方程 2 + 2 + 1 = 0 至少有一个负实根的充要条件是 ．
13.设 1, 2, 3, 4是 4 个有理数，使得 1 ≤ < ≤ 4 = 18, 3, 1,
1
6 ,
1
2 , 6 ，则 1 2 3 4 = ．
14.已知集合 = [ , + 1] ∪ [ + 4, + 9]，0 ，存在正数 ，使得对任意 ∈ ，都有 ∈ ，则 的值是
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
(1)已知集合 = {( , )|2 = 0}, = {( , )|3 + 5 = 0}，求 ∩ ；
(2)已知集合 = {1,9, 2}, = {1, + 6}，是否存在实数 ，使得 ∪ = 若存在，试求出实数 的值，若
不存在，请说明理由．
16.(本小题 12 分)
(1)设 ∈ ，求关于 的方程 = 2 + 1 的解集．
(2)用反证法证明：若 ∈ ，且 = 2 2 + 1, = 2 2 + 1, = 2 2 + 1，则 中至少有一
个不小于 0．
17.(本小题 12 分)
已知集合 = | 2 + 2 = 0, ∈ ,，集合 = | 2 + + = 0, ∈ ．
(1)若 ∩ = 1 ，求 ∪ ；
(2)若 2 21, 2 ∈ ， 1 ≠ 2且 1 + 2 = 3，求 的值．
18.(本小题 12 分)
如图，已知二次函数 = 2 2( + 1) + 2 + 2 ( > 0)的图像与 轴相交于点 、 (点 在点 的左侧)，
与 轴相交于点 ，连接 、 ．
(1)求线段 的长；
(2)若 平分∠ ，求 的值；
(3)该函数图象的对称轴上是否存在点 ，使得 为等边三角形？若存在，求出 的值；若不存在，说明
理由．
19.(本小题 12 分)
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已知正整数 , 0，若正整数集的子集 1, 2, , 同时满足
条件①：对任意 ∈ ，存在唯一 ∈ 1,2,3, , ，使得 ∈ ；
条件②：对任意整数 ≥ 0，及任意 ∈ 1,2,3, , ，均存在 , ，使得 + = ，则称 1, 2, ,
为“ 0可表集合组”．
(1)若 = 2, 1 = 1,4,6,8,10,12, , 2 = 2,3,5,7,9,11, ，则 1, 2是否为“7 可表集合组”？说明理由，
(2)若 = 2, 1, 2为“ 0可表集合组”，求 0的最小值；
(3)若 1, 2, , 为“15 可表集合组”，求 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.{0,2,4}
6.(1 , 5)
7.对任何 ∈ ，都有 2 + 2 + 5 ≠ 0．
8.4
9.(0,4)
10. ≠ 1
11. = 0 9或 ≤ 16
12. ≤ 1
13.3
14.1 或 3
15. 2 = 0【详解】(1) = 1由题意可得 3 + 5 = 0，解得 = 2 ,
所以 ∩ = (1,2) ；
(2)存在， = 2，理由如下：
因为 ∪ = ，则 ，
( )若 + 6 = 9，则 = 3，此时 2 = 9，不合题意；
(ⅱ)若 + 6 = 2，则 = 2 或 = 3，
①当 = 2 时，则 = {1,9,4}, = {1,4}，符合题意；
②当 = 3 时，此时 2 = 9，不合题意；
综上所述： = 2．
16.【详解】(1)由 = 2 + 1 可得：( 1) = 2 1，即：( 1) = ( 1)( + 1)．
当 = 1 时，等式恒成立，方程的解集为 ；
当 ≠ 1 时，方程( 1) = ( 1)( + 1)的解为 = + 1，所以解集为{ + 1}．
终上所述：当 = 1 时，方程的解集为 ；当 ≠ 1 时，方程的解集为{ + 1}．
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(2)假设 , , 都小于 0，即 < 0, < 0, < 0，则有 + + < 0．
由已知有 + + = 2 2 + 1 + 2 2 + 1 + 2 2 + 1
= 2 2 + 1 + 2 2 + 1 + 2 2 + 1
= ( 1)2 + ( 1)2 + ( 1)2 ≥ 0，
与由假设推得的结论 + + < 0 矛盾，
所以假设不成立，
所以 , , 中至少有一个不小于 0．
17.【详解】(1)因为 ∩ = 1 ，所以 1 ∈ ，即 1 是方程 2 + + = 0 的根，
所以 1 + + = 0 1，解得 = 2，
1 1 1
所以由方程 2 2 2 = 0 解得 = 2或 = 1，
所以 = 12 , 1 ，
又由 2 + 2 = 0 解得 = 2 或 = 1，
所以 = 2,1 ，所以 ∪ = 2, 12 , 1 ．
(2)由题可知 1, 2是方程 2 + + = 0 的两个根，
因为 21 ≠ 2，所以 = 4 > 0，解得 < 0,或 > 4
由韦达定理得 1 + 2 = , 1 2 = ，
因为 2 + 2 = + 2 2 = 21 2 1 2 1 2 2 = 3，
即 2 2 3 = 0,解得 = 3 或 = 1，
又因为 < 0,或 > 4，所以 = 1．
18.【详解】(1) ∵二次函数 = 2 2( + 1) + 2 + 2 ( > 0)的图象与 轴相交于点 、 ，
∴令 = 0，则 2 2( + 1) + 2 + 2 = 0，
∴ ( )( 2) = 0
∴ = 或 = + 2，
∴ = ( , 0)， = ( + 2,0)，
∴ = | + 2 | = 2，
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故答案为 2；
(2)如图，
由(1)知， = ( , 0)， = ( + 2,0)，
∴ = ， = + 2，
令 = 0， = 2 + 2 ，
∴ 0, 2 + 2 ，
∴ = 2 + 2 ，
过点 作 /\ !/ ，
∴ = ，
∴ 2+2 = +2，
∴ = 2，
∴ = = 2
∵ 是∠ 的平分线，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ /\ !/ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = = 2 ，
在 中，根据勾股定理得， 2 2 = 2，
∴ (2 )2 2 2 = 2，
∴ = 0(舍)或 = 3(舍)或 = 3；
(3)存在，
理由：假设存在，如图，
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∵二次函数 = 2 2( + 1) + 2 + 2 ，
∴抛物线对称轴为 = + 1，
∴点 是 的垂直平分线上，
∴ 是等边三角形，
∴ ∠ = 60°， = ，
∴点 是 的垂直平分线上，
∴点 是 的外接圆的圆心，
∵ ∠ = 60°，
∴ ∠ = 12∠ = 30°，
∵ = ( + 2,0)， 0, 2 + 2 ，
∴ = + 2， = 2 + 2 ，
2
∴ tan30° = = +2 3 +2 = 3 ，
3
∴ = 3
∴函数图象的对称轴上存在点 ，使得 为等边三角形．
19.【详解】(1) 1, 2不是“7 可表集合组”．
因为 1 = 1,4,6,8,10,12, ，其元素中仅有一个奇数，
则 , 1，若 + 为偶数，则必为 1中两个偶数元素之和，至少为 4 + 6 = 10，
可得 , 1, + ≠ 8，所以 1, 2不是“7 可表集合组”．
(2) 0的最小值为 7.首先给出 0 = 7 的例子：
令 1 = 1,2,6,8,10,12, , 2 = 3,4,5,7,9,11, ，
可知则 1, 2为“7 可表集合组”．
下面假设某个 0 ≤ 6 满足题设要求，则对任意 ∈ 1,2 ，存在 , ，使得 + = 6．
注意到 6 表示为两个不同正整数的和只能是 1 + 5,2 + 4，
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不妨设 1,5 1, 2,4 2，
因为对任意 ∈ 1,2 ，存在 , ，使得 + = 7，
注意到 7 表示为两个不同正整数的和只能是 1 + 6,2 + 5,3 + 4，
所以 1,5,6 1, 2,3,4 2，
注意到 8 表示为两个不同正整数的和只能是 1 + 7,2 + 6,3 + 5，
所以对任意 , 2，均有 + ≠ 8，
与 1, 2是“ 0可表集合组”矛盾．
所以假设不成立，综上所述： 0的最小值为 7．
(3) 的最大值为 3．
首先给出 = 3 的例子：
令 1 = 1,2,3 ∪ 3 = 4,5,6, ， 2 = 4,5,6 ∪ 3 1 = 4,5,6, ，
3 = 7,8,9 ∪ 3 2 = 4,5,6, ，
则 1, 2, 3为“15 可表集合组”．
下面假设某个 ≥ 4 满足题设要求，
显然 1, 2, 3, 4 ∪ 5 ∪ ∪ 也满足题设要求，故可不妨设 = 4，
令 = ∩ 1,2,3, , 23 ( = 1,2,3,4)，
显然对任一下标 , 15,16, , 24 这 10 个数中任一数均可写成 的两个元素之和，
从而 中元素至少有五个，
注意 1, 2, 3, 4的元素个数之和为 23，从而必存在某个 ，使得 的元素个数不大于 5，
设 = 1, 2, 3, 4, 5 ，
可知 中两个不同元素之和所表示的 15,16, , 24 这 10 个数恰可被 中两个不同元素之和所表示，
则这些数的和为 4 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 + 16 + + 24 = 195，
与 1, 2, 3, 4, 5均为正整数矛盾，所以假设不成立．
综上所述： 的最大值为 3．
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