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2025-2026学年山东省安丘市潍坊国开中学高一上学期 9月阶段检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin240° =( )
A. 1 B. 12 2 C.
3
2 D.
3
2
2.已知向量 = ( 1,2)， = ( , 4)，且 // ，则 =( )
A. 8 B. 2 C. 8 D. 2
3.若 ( 3, )为角 终边上一点，且 tan = 43，则 cos =( )
A. 35 B.
3
5 C.
4 4
5 D. 5
4.已知向量 = ( 2,1)， = ( ,2)， + 2 = 2 ，则实数 的值为( )
A. 1 B. 12 C.
1
2 D. 1
5.为了得到函数 = 2cos(2 + π6 )
π 1
的图象，只要把函数 = 2cos( + 3 )图象上各点的横坐标缩短到原来的2，
再把得到的曲线上所有的点( )
A. π π向左平移6个单位长度 B.向左平移12个单位长度
C. π D. π向右平移6个单位长度 向右平移12个单位长度
6.已知 ∈ ，则“sin > 0”是“角 为第一或第二象限角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
7 ( ) = sin( + π.若函数 6 )( > 0)
π
在[0, π]上有且仅有一个零点， ( 4 ) = 1，则 =( )
A. 56 B. 1 C.
4
3 D. 2
8.如图，在 中， ， 分别为 ， 边上的中点， 是线段 上的一个动点(不含端点)， 与 交
于点 ， 1 1与 交于点 ， = ， = ，则 + 的最小值为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A.若 (0,0), (2,3), ( 4, 6)，则 , , 三点共线
B.若 (0,0), (2,4)，则线段 的中点坐标为(1,2)
C.模等于 1 个单位长度的向量称为单位向量
D. = 2 3是幂函数
10.如图，平行四边形 的对角线 ， 交于点 ，且 = 2 ，点 是 上靠近点 的四等分点，则( )
A. = 1 1 6 4 B.
= 1 + 1 6 4

C. = 5 1 D. = 5 12 12 12 +
1
12

11.函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | < π)在一个周期内的图象如图示，则下列结论中正确的是( )
A. ( ) = 2sin(2 + π 5π3 ) B. ( 6 ) = 3
C.对 ∈ R ( ) = ( 5π，都有 6 ) D.对 ∈ ，都有 ( ) + (
π
3 ) = 0
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.一个扇形的弧长和面积的数值都是 5，则这个扇形圆心角(正角)的弧度数为 rad．
13 .已知函数 ( ) = sin 6 + ( > 0)的最小正周期为 ，若 < < 2 ，且当 =
5
4时， ( )取得最

小值 1，则 4 = ．
14 1 1.如图， ， 为 内的两点，且 = + 4 3 ，
= 2 5 +
1 2 ，
则 与 的面积之比为 ．
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
化简求值：
cos π+ 2cos π
(1)已知 tan + π = 3，求 22sin +3cos 的值；
(2)已知 sin + cos = 74 ， ∈
π , π2 2 ，求 sin cos 的值．
16.(本小题 15 分)
π
已知函数 ( ) = sin 3 + 4 2．
(1)求函数 ( ) π的最小正周期及 2 ；
(2)求函数 ( )的单调递减区间；
17.(本小题 15 分)
已知 1， 2是平面内两个不共线的非零向量， = 2 1 + 2， = 1 + 2， = 2 1 + 2，且 ， ，
三点共线．
(1)求实数 的值；
(2)若 1 = (2,1)， 2 = (2, 2)，求 的坐标；
(3)已知 (3,5)，在(2)的条件下，若 ， ， ， 四点按顺时针顺序构成平行四边形，求点 的坐标．
18.(本小题 17 分)
→ → → → → → → →
如图， , , 三点不共线， = 2 ， = 3 ，设 = ， = ．
→ → →
(1)试用 , 表示向量 ；
(2)设线段 , , 的中点分别为 , , ，试证明 , , 三点共线．
19.(本小题 17 分)
已知点 1, 1 ， 2, 2 是函数 ( ) = 2sin( + )( > 0, > 0,
π
2 < < 0)图象上的任意两点，
(0) = 3 π，且当 1 2 = 4 时， 1 2 的最小值为2．
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(1) π求 3 的值；
(2) 1 π将函数 = ( )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来2，再把所有得到的图象向左平移6
π π
个单位长度，得到函数 = ( )的图像.求函数 = ( )在区间 3 , 6 上的值域；
(3) ∈ 0, π若 4 时，不等式 < ( ) < + 4 恒成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.52
13.52/2.5
14.23
15.【详解】(1) ∵ tan = 3
cos π2+ 2cos(π ) sin +2cos tan +2 1所以 2sin +3cos = 2sin +3cos = 2tan +3 = 9
(2) ∵ sin + cos = 74 ，
7
∴ sin + cos 2 = 1 + 2sin cos = 16
2sin cos = 9所以 16，
又∵ ∈ π , π2 2 ，∴ cos > 0，则 sin < 0，故 sin cos < 0
(sin cos )2 = 1 2sin cos = 25而 16，
5
所以 sin cos = 4
16.【详解】(1) ( ) 2π的最小正周期为 = 3 ，
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π2 = sin
3π+ π2 4 2 = cos
π
4 2 =
2
2 2；
(2) π令2 + 2 π ≤ 3 +
π 3π
4 ≤ 2 + 2 π, ∈ Z，
π 2 5π 2
解得12 + 3 π ≤ ≤ 12 + 3 π, ∈ Z，
π 2 5π 2
故单调递减区间为 12+ 3 π, 12 + 3 π , ∈ Z
17.【详解】(1) = + = 2 1 + 2 + 1 + 2 = 1 + (1 + ) 2．
因为 ， ， 三点共线，所以存在实数 ，使得 = ，
即 1 + (1 + ) 2 = 2 1 + 2 ，得(1 + 2 ) 1 = ( 1 ) 2．
= 1
因为 1，
1 + 2 = 0 2
2是平面内两个不共线的非零向量，所以 1 = 0，解得 ； = 32
(2) = + = 3 11 2 2 = 3(2,1)
1
2 (2, 2) = ( 6, 3) (1, 1) = ( 7, 2)．
(3)因为 ， ， ， 四点按顺时针顺序构成平行四边形，所以 = ．
设 ( , )，则 = (3 , 5 )．
因为 = ( 7, 2) 3 = 7 = 10，所以 5 = 2，解得 = 7 ,
即点 的坐标为(10,7)．
18.【详解】解：(1) ∵ ， ， 三点共线，
→ → → → →
∴ = + (1 ) = 2 + (1 ) ，①
→ → →
同理，∵ ， ， 三点共线，可得 = + 3(1 ) ，②
2 = 2 4
比较①，②，得 1 = 3(1 )解得 = 5， = 5，
→ 4 → →∴ = 5 +
3
5 ．
→ → → → → → → → → → → →
(2) ∵ = + 12 ， = 2 =
4 +3 1
10 ， = 2 ( + ) =
2 +3
2 ，
→ → → → → → →
∴ = = 6 +12
→ → →
= = +2 10 ， 10 ，
→ →
∴ = 6 ，
∴ ， ， 三点共线．
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(0) = 2sin = 3
19.【详解】(1) π由 π 得 = < < 0 3，2
π
又∵当 1 2 = 4 时， 1 2 的最小值为2，
∴ 12 =
π π
| | = 2即 = 2，
∴ ( ) = 2sin 2 π3 ，
∴ π3 = 2sin
π
3 = 3；
(2) 1函数 = ( )的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来2，
得 = 2sin 4 π3 ，
π 2π
再把所有得到的图象向左平移6个单位长度，得 = 2sin 4 + 3
π
3 = 2sin 4 +
π
3 ，
∴ ( ) = 2sin 4 + π3 ，
∵ ∈ π3 ,
π
6 ，∴ 4 +
π
3 ∈ π, π ，
∴ = ( ) π π在区间 3 , 6 上的值域为[ 2,2]；
(3) ∵ ∈ 0, π4 ，∴ 2
π
3 ∈
π π
3 , 6 ，
此时 ( )min = 3， ( )max = 1，
∵不等式 < ( ) < + 4 恒成立，
< ( )
∴ min，即 < 3 + 4 > ( ) ，解得 3 < < 3，max + 4 > 1
故 的取值范围是 3, 3 ．
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