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2025-2026学年湖北省丹江口市第二中学高一上学期初高中衔接测试
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知一元二次方程 2 3 5 = 0 的两个根分别为 1, 2，则 1 + 2的值为( )
A. 3 B. 3 C. 5 D. 5
2.对多项式 2 2 9 + 4 分解因式正确的是( )．
A. (2 4)( 1) B. (2 1)( 4) C. (2 + 4)( 1) D. (2 4)( + 1)
3.关于 的不等式|1 2 | ≤ 3 的解为( )
A. 1 ≤ ≤ 2 B. 1 ≤ ≤ 2 C. 2 ≤ ≤ 1 D. ≥ 1
4.将下列多项式因式分解，结果中不含因式( + 2)的是( )
A. 2 2 + 4 B. 3 2 12
C. 2 + 6 D. ( 2)2 + 8( 2) + 16
5.化简二次根式 8 3的结果为( )
A. 2 2 B. 2 2 C. 2 2 D. 2 2
6.若实数 , 满足 2 + 4 + 4 2 4 + 5 = 0，则 , 的值为( )
A. = 2, = 1 12 B. = 2, = 2 C. = 2, =
1
2 D. = 2, =
1
2
7.如图所示，在 Rt 中，∠ = 90°，点 是斜边 的中点，点 是 Rt 的重心， ⊥ 于点 ，若
= 6cm，那么 的长为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 3
8.直角三角形 中， 是斜边， = 15，高 把 分为 和 两段， = 16，那么 的面积是
( )
A. 120 B. 144 C. 150 D. 216
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 , 是方程 21 2 2 8 = 0 的两个根，则( )
A. 1 + 2 = 2 B. 1 + 2 = 2 C. 1 2 = 4 D. 1 2 = 8
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10.如图，在 Rt 中，∠ = 90°， ⊥ 于点 ，下列结论中正确的是( )
A. ∠ = ∠ B. 2 =
C. = D. 2 =
11.如图，二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)的图象与 轴的一个交点为( 1,0)，对称轴为直线 = 2.则下列
说法正确的有( )
A. > 0
B. + 2 <
C. 3 = 0
D.若点 1, 1 , 2, 2 是抛物线上的两点，若 1 < 2，则 1 < 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 + = 3, = 1，则 2 + 2的值为 ．
13.方程：4 4 + 11 2 3 = 0 的解为 ．
14.如图， 中，已知 = 8， = 5， = 7，则它的内切圆的半径为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
计算：
(1) = 1已知 2+1 , =
1 2
2 1，则 3 +
2的值为__________．
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+ = 11
(2)方程组 = 24的解为__________．
16.(本小题 15 分)
分解因式：
(1)2 2 7 + 3；
(2)12 2 + 20 25；
(3)2 2 + (3 + 1) + 2 + ．
17.(本小题 15 分)
已知函数 = 2 2( + 1) + 3，求当 0 ≤ ≤ 1 时， 的最小值．
18.(本小题 17 分)
已知 1, 2是关于 的一元二次方程 2 2( + 1) + 2 + 5 = 0 的两实数根．
(1)若 1 1 2 1 = 28，求 的值；
(2)已知等腰 的一边长为 7，若 1, 2恰好是 另外两边的边长，求这个三角形的周长．
19.(本小题 17 分)
(1)如图，有一个棱长为 4 的正方体，一只虫子从 点出发沿正方体侧面爬行到点 ， 为 中点，则虫子
爬行的最短距离是多少？
(2)求 2 2 + 2 + 2 + 2 + 2的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.7
13.± 12
14. 3
15.解：(1)因为 = 12+1 , =
1
2 1，
2
2 3 + 2 = 1 3 × 1 × 1 1
2 2 2
所以 2+1 2+1 2 1+ 2 1 = 2 1 3+ 2 + 1 = 3
+ = 11
(2)因为方程组为 = 24，将 = 11 代入 = 24 中得
2 11 + 24 = 0，化简得( 3)( 8) = 0，解得 = 3 或 = 8．
则对应的 = 8 或 = 3．
= 8 = 3
所以该方程组的解为 = 3或 = 8．
16.解：(1)2 2 7 + 3 = 2 2 6 + 3 = (2 1) 3(2 1) = (2 1)( 3)．
(2)12 2 + 20 25 = 12 2 + 30 10 25 = 6 (2 + 5) 5(2 + 5) = (2 + 5)(6 5)．
(3)因为 2 + = ( + 1)，
所以 2 2 + (3 + 1) + 2 + = 2 2 + 2 + ( + 1) + ( + 1)
= 2 ( + ) + ( + 1)( + ) = ( + )(2 + + 1)
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17. = 2 2( + 1) + 3 = 2( +1)解：因为函数 ，对称轴为 2 = + 1．
当 + 1 ≤ 0 时，即 ≤ 1 时，因为抛物线在[0,1]上单调递增，
此时当 = 0 时， 取最小值为 3；
当 + 1 ≥ 1 时，即 ≥ 0 时，因为抛物线在[0,1]上单调递减，
此时当 = 1 时， 取最小值为 1 2( + 1) + 3 = 2 2 ；
当 0 < + 1 < 1 时，即 1 < < 0 时，
因为抛物线在[0, + 1)上单调递减，在( + 1,1]上单调递增，
此时当 = + 1 时， 取最小值为( + 1)2 2( + 1)( + 1) + 3 = 2 2 2 ．
综上： ≤ 1 时， 的最小值为 3； ≥ 0 时， 的最小值为 2 2 ； 1 < < 0 时， 的最小值为 2 2 2 ．
18.解：(1)因为 1, 22是关于 的一元二次方程 2( + 1) + 2 + 5 = 0 的两实数根．
= 2( + 1) 2 4 × 2 + 5 ≥ 0
所以 1 + 2 = 2( + 1) ,
1 2 = 2 + 5
又因为 1 1 2 1 = 28，所以 1 2 1 + 2 + 1 = 28，
所以 2 + 5 2( + 1) + 1 = 28，即 2 2 24 = 0，解得 = 4 或 = 6，
当 = 4 时， = 36 84 < 0，不符合题意，故舍去，
所以 = 6，经验证满足；
(2)①当 7 为底边长时，方程 2 2( + 1) + 2 + 5 = 0 有两个相等的实数根，
所以 = 2( + 1) 2 4 × 2 + 5 = 0，解得 = 2，
所以方程为 2 6 + 9 = 0，解得 1 = 2 = 3，
又因为 3 + 3 = 6 < 7，所以不能构成三角形；
②当 7 为腰长时，设 1 = 7，代入方程得 49 2( + 1) × 7 + 2 + 5 = 0，
解得 = 10 或 = 4，
当 = 10 时，方程为 2 22 + 105 = 0，解得 1 = 7, 2 = 15，
又 7 + 7 < 15，所以不能构成三角形；
当 = 4 时，方程为 2 10 + 21 = 0，解得 1 = 3, 2 = 7，
此时能构成三角形， 的周长为 3 + 7 + 7 = 17．
综上， 的周长为 17．
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19.解：(1)把正方体右侧面展开由以下情况如图：
连接 ，由题意可知 长度即为虫子爬行的最短距离，
因为正方体棱长为 4， 为 中点，
图一：| | = 16 + 36 = 2 13，
图二：| | = 64 + 4 = 2 17，
图三：| | = 16 + 36 = 2 13
所以虫子爬行的最短距离为 2 13；
(2) 2 2 + 2 + 2 + 2 + 2
= ( 1)2 + 1 + ( + 1)2 + 1，
其几何意义为： ( , 0)到点 (1,1)和 ( 1,1)的距离之和，
关于 轴对称点 ( 1, 1)，
由对称性可得：| | + | | = | | + | | ≥ | | = (1 + 1)2 + (1 + 1)2 = 2 2，
当 , , 三点共线时取等号，
所以 2 2 + 2 + 2 + 2 + 2的最小值 2 2．
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