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2025-2026 学年河南省南阳市第一中学校高一上学期开学考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 2, 1,0,1,2 ， = 2 6 ≥ 0 ，则 ∩ =( )
A. 2, 1,0,1 B. 0,1,2 C. 2 D. 2
+ = 1
2.方程组{ 2 2 = 9的解集是( )
A. (5,4) B. (5, 4) C. {( 5,4)} D. {(5, 4)}
3 1 4.已知正实数 , 满足 + = 1，则 + 的最小值是( )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
4 2 1.不等式 +1 ≤ 1 的解集为( )
A. [ 1,2] B. [ 1,2) C. ( 1,2) D. ( 1,2]
5.如果 ， 是实数，那么“| | = | | + | |”是“ < 0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.在 R 上定义的运算 : = + 2 + ，则满足 ( 2) < 0 的实数 的取值范围为( )
A. (0,2) B. ( 2,1)
C. ( ∞, 2) ∪ (1, + ∞) D. ( 1,2)
7 2 1.已知 > 0， > 0，且 + = 1，若 + 2 >
2 + 2 恒成立，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 2] ∪ [4, + ∞) B. ( ∞, 4) ∪ [2，+∞)
C. ( 2,4) D. ( 4,2)
8 .在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即 = ，其中 是距离(单位 cm)， 是质量
( g) 1 1单位 ，是弹簧系数(单位 g/cm).弹簧系数分别为 1， 2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数 满足 = +1
1
，并联时得到的弹簧系数 满足 = 1 + 2.已知物体质量为 20g，当两个弹簧串联时拉伸距离为 1cm，则2
并联时弹簧拉伸的最大距离为( )
A. 14 cm B.
1
2 cm C. 1cm D. 2cm
二、多选题：本题共 2 小题，共 12 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.关于 的不等式 2 ( + 2) + 2 < 0 的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围可能是( )
A. 1 ≤ < 0 B. 4 < ≤ 5 C. 1 < ≤ 0 D. 4 ≤ < 5
10.下列说法正确的是( )
A.已知集合 = ∣ 2 4 < 0，且 ∈ ，则集合 的真子集个数是 7
B.“ < 1”是“方程 2 + + = 0 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
C.“ = 1”是“ 2 5 6 = 0”的必要不充分条件
D.设 , ∈ R，则“ ≠ 0”是“ ≠ 0”的必要不充分条件
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
11.不等式( 1)(2 ) > 0 的解集为 ．
12.命题“ ∈ , 2 ≥ 0”的否定是 ．
13.某商场销售某种商品的经验表明，该产品生产总成本 与产量 ∈ N 的函数关系式为 = 100 + 4 ，
销售单价 与产量 的函数关系式为 = 25 116 .要使每件产品的平均利润最大，则产量 等于 ．
四、解答题：本题共 4 小题，共 53 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题 12 分)
已知集合 = ( 1)( ) ≤ 0 , = > 1
(1)当 = 2 时，求 ∩ ；
(2)若 ∪ = ，求实数 的值．
15.(本小题 12 分)
设全集 = R，集合 = | 3 < < 2 1 ， = |1 < ≤ 5 ，其中 ∈ R．
(1)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要而不充分条件，求实数 的取值范围；
(2)若命题“ ∈ ，使得 ∈ R ”是真命题，求实数 的取值范围．
16.(本小题 12 分)
已知不等式 2 3 + 6 > 4 的解集为 < 1或 > ．
(1)求 ， ；
(2)解关于 的不等式 2 ( + ) + < 0．
17.(本小题 12 分)
某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为 3m，底面积为
12m2，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队
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给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米 400 元，左右两面新建墙体报价为每平方米 150 元，
屋顶和地面以及其他报价共计 7200 元．设屋子的左右两侧墙的长度均为 m(2 ≤ ≤ 6)．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2) 900 (1+ )现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为 元( > 0).若无论左右两面墙的
长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.(1,2)
12. ∈ , 2 < 0
13.40
14.【详解】(1)由题意得 = ≤ ≤ + 1 = 2 ≤ ≤ 3 ，
所以 ∩ = 2 ≤ ≤ 3 ．
(2)因为 ∪ = ，所以 ，则 > 1，
所以 ∈ (1, + ∞)．
15.【详解】(1) = |1 < ≤ 5 ，
∵“ ∈ ”是“ ∈ ”的必要而不充分条件，
∴
3 < 2 1
∴ 3 ≤ 1，解得 3 < ≤ 4，
2 1 > 5
即实数 的取值范围为(3,4]；
(2)若命题“ ∈ ，使得 ∈ ”是假命题，则 ∩ = ，
∵ = 1 < ≤ 5 ，∴ = { ∣ ≤ 1 或 > 5}，
①当 = 时， 3 ≥ 2 1，解得 ≤ 2，
3 < 2 1
②当 ≠ 时，则 3 ≥ 1，无解，
2 1 ≤ 5
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即命题为假命题时，实数 的取值范围为( ∞, 2],
∴命题为真命题时，实数 的取值范围为( 2, + ∞)．
16.【详解】(1)因为不等式 2 3 + 6 > 4 的解集为 < 1 或 > ，
所以 1 = 1 与 2 = 是方程 2 3 + 2 = 0 的两个实数根，且 > 1．
1 + = 3
由根与系数的关系，得
= 1
2，解得 = 2；1 =
(2)原不等式化为： 2 ( + 2) + 2 < 0，即( 2)( ) < 0，
①当 > 2 时，不等式的解集为 2 < < ，②当 < 2 时，不等式的解集为 < < 2
③当 = 2 时，不等式的解集为 ．
17.【详解】解：(1)因为屋子的左右两侧墙的长度均为 m(2 ≤ ≤ 6)，底面积为 12m2，所以屋子的前面墙
12
的长度为 m(2 ≤ ≤ 6)．
12
设甲工程队报价为 元，所以 = 3 × × 400 + 2 × 150 × 3 + 7200 = 900
16
+ + 7200,2 ≤ ≤ 6．
因为 900 16 + + 7200 ≥ 900 × 2 16 + 7200 = 14400
16
，当且仅当 = ，即 = 4 时，等号成立，
所以当左右两面墙的长度为 4m 时，甲工程队报价最低，为 14400 元．
2
(2) 16根据题意可知 900 + + 7200 >
900 (1+ ) ( +4)
对任意的 ∈ [2,6]恒成立，即 >
(1+ )
对任意的 ∈
2
[2,6] ( +4)恒成立，所以 < 1+ 对任意的 ∈ [2,6]恒成立．
> 0, ( +4)
2 ( +1)2+6( +1)+9
因为 1+ = 1+ = ( + 1) +
9
+1+ 6 ≥ 2 ( + 1)
9
+1+ 6 = 12
9
，当且仅当 + 1 = +1，
即 = 2 时，等号成立，所以 0 < < 12．
故当 0 < < 12 时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
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