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26.2.2 第5课时 二次函数的最值与应用
素养目标
1.会通过配方法求二次函数的最值.
2.能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系,建立函数模型.
3.能运用二次函数解决相关实际问题,计算几何图形面积的最大值.
重点
求二次函数的最值.
【预习导学】
知识点一 求二次函数的最值
阅读课本本课时“问题1”与“问题2”中的内容,回答下列问题.
1.在“问题1”中,得到二次函数表达式y=-2x2+20x,其中x满足0(1)将该二次函数表达式配方可得　 　;
(2)上面的二次函数开口向　 　,顶点坐标为　 　,故函数存在
最　 　值,顶点坐标的横坐标　 　(填“在”或“不在”)自变量的取值范围02.在“问题2”中,得到二次函数表达式y=-100x2+100x+200,其中x满足0≤x≤2.
(1)将该二次函数表达式配方可得　 　;
(2)上面的二次函数开口向　 　,顶点坐标为　 　,故函数存在
最　 　值,顶点坐标的横坐标　 　(填“在”或“不在”)自变量的取值范围0归纳总结　(1)根据表格数据,求出二次函数的解析式,并根据实际问题,确定自变量的取值范围;
(2)在自变量的取值范围内,可运用　 　求出二次函数的最大值或最小值.
知识点二 应用二次函数解决图形面积问题
阅读课本本课时“例5”及“试一试”,回答下列问题.
1.在“例5”中,填一填:(1)设窗框的宽为x,则高为　 　,由宽和高均大于0可得自变量的取值范围是　 　;
(2)列出面积y的表达式为y=　 　,配方得y=　 　;
(3)判断顶点坐标的横坐标　 　(填“在”或“不在”)自变量的取值范围内.
2.思考:(1)“试一试”中题(1)与题(2)给出的已知条件有什么区别
(2)设靠墙的一边长x m,两问中二次函数模型自变量的取值范围相同吗
学习小助手　若实际问题中自变量的取值范围不包括顶点坐标,我们也可以通过二次函数的图象,在自变量的取值范围内确定二次函数的最值.
归纳总结　得出解这类几何最值问题的一般步骤:
(1)设未知数,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围;
(2)列出二次函数的表达式,并将二次函数的表达式进行配方;
(3)在自变量的取值范围内,确定二次函数的最大值或最小值.
【合作探究】
任务驱动一 求二次函数的最值
1.当二次函数y=x2+4x+9取最小值时,x的值为 ( )
A.-2 B.1 C.2 D.9
2.当-2≤x≤2时,求函数y=x2-2x-3的最大值和最小值.
任务驱动二 应用二次函数解决最大面积问题
3.如图1,若要建一个长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18米),墙对面有一个2米宽的门,另三边用竹篱笆围成,篱笆总长33米.
(1)若鸡场面积为150平方米,鸡场的长和宽各为多少米
(2)鸡场面积可能达到200平方米吗
(3)如图2,若在鸡场内要用竹篱笆加建一道隔栏,则鸡场最大面积可达多少平方米
变式演练　某学校为了美化校园,决定靠墙(墙长100米)修建一个矩形花圃,向全体同学征集修建方案.下面是董芳同学设计的方案(如图所示):一个中间隔有一道篱笆的长方形花圃,篱笆的总长度为24米,设花圃的一边AB为x米,面积为S平方米.
(1)求S与x的函数表达式.
(2)当AB长为多少米时,才能使花圃的面积最大,此时最大面积是多少
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.(1)y=-2(x-5)2+50　(2)下　(5,50)　大　在
2.(1)y=-100(x-)2+225　(2)下　(0.5,225)　大　在
归纳总结　(2)配方
知识点二
1.(1)　0(2)-x2+3x　-(x-1)2+
(3)在
2.(1)题(1)中给出的墙的长度可以无限长;题(2)中给出的墙的长度为25 m.
(2)因为靠墙的一边长为x m,则另一边长为,在题(1)中,可得0【合作探究】
任务驱动一
1.A
2.解:∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=1.
∴当x<1时,y随x的增大而减小,当x>1时,y随x的增大而增大,
∴在-2≤x≤1上,当x=-2时,y有最大值,y=(-2)2+4-3=5,当x=1时,y有最小值,y=-4,
在1≤x≤2上,当x=2时,y有最大值,y=-1,当x=1时,y有最小值,y=-4,
∴当-2≤x≤2时,函数y=x2-2x-3的最大值为5,最小值为-4.
任务驱动二
3.解:(1)设宽为x米,则x(33-2x+2)=150,解得x1=10,x2=(不合题意舍去),
∴长为15米,宽为10米.
(2)设面积为w平方米,则W=x(33-2x+2),变形为W=-2x-2+,
∴鸡场面积最大值为<200,即不可能达到200平方米.
(3)设此时面积为Q平方米,宽为a米,则Q=a(33-3a+2),变形得Q=-3a-2+,∴此时鸡场面积最大值为平方米.
变式演练　解:(1)设AB长为x米,则BC长为(24-3x)(0S=x(24-3x)=-3x2+24x.
(2)由于S=-3(x-4)2+48,
故当x=4时,S取得最大值,最大面积为48平方米.

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