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26.2.3 求二次函数的表达式
素养目标
1.能建立适当的直角坐标系,解决与抛物线形状相关物体的实际问题.
2.会用待定系数法求二次函数表达式.
3.会灵活使用顶点,与坐标轴的交点等特殊点的坐标,掌握求二次函数表达式的简便方法.
重点
待定系数法.
【预习导学】
知识点一 建立二次函数模型表达抛物线型物体
阅读课本本课时“问题2”,回答下列问题.
1.讨论:(1)在“问题”2中,建筑物的屋顶设计成抛物线形状,要制造建筑模板,靠目测可靠么 怎样才能精准地画出模板的轮廓线呢
(2)建立坐标系的过程运用了什么数学思想
2.思考:(1)在“问题2”中,AB所在的直线与x轴有什么位置关系
(2)在弧AOB的最高点处作y轴,垂直于x轴,这样建立直角坐标系有什么好处
归纳总结　用函数的思想方法解决与抛物线形物体相关的问题:①先建立恰当的　 　;②根据已知条件,对应二次函数上的点,求出函数　 　;③根据已知条件利用二次函数知识解决问题.
知识点二 待定系数法求二次函数的表达式
阅读课本本课时“例6”与“例7”,回答下列问题.
1.思考:(1)二次函数的一般式为　 　,可以先设出二次函数的表达式;
(2)在二次函数的一般式中,有哪几个系数需要确定
(3)将一个点的坐标代入函数表达式能得到一个关于a、b、c的三元一次方程,确定a、b、c的值,需要几个这样的方程
归纳总结　当已知二次函数图象上任意三个点的坐标,运用待定系数法确定二次函数的表达式:①设二次函数的表达式为　 　;②将二次函数三个点的坐标分别代入表达式得到　 　;③解方程组后即解得系数　 　的值.
2.讨论:(1)由于二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成y=a(x+h)2+k的形式,在“例6”中已知二次函数的顶点坐标,则已知了哪两个系数的值 要求该二次函数的表达式,还需要一个点的坐标确定哪个系数的值
(2)在“例7”中,已知二次函数与y轴的交点坐标为　 　,则可以直接确定二次函数y=ax2+bx+c中系数　 　的值,还需要　 　个点的坐标来确定系
数　 　的值.
学习小助手　用待定系数法求函数解析式,关键看已知条件,已知顶点可以设二次函数为y=a(x+h)2+k,求待定系数a、h、k较简便;已知抛物线与x轴的两个交点,可以设二次函数为y=a(x+d)(x+e),求待定系数a、d、e较简便.
【合作探究】
任务驱动一 已知任意三点坐标确定二次函数的表达式
1.已知二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标(x,y)满足下表:
x … -2 -1 0 1 …
y … 3 2 -1 -6 …
(1)求该二次函数的表达式.
(2)用配方法求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴.
变式演练　已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,-1)、B(0,2)、C(1,3),则二次函数的表达式为　 　.
任务驱动二 已知抛物线的顶点及另外一点确定表达式
2.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=1时,有最大值8,其图象的形状、开口方向与抛物线y=-2x2相同,则这个二次函数的表达式是　 　.
变式演练　已知一个二次函数图象上几组点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示:
x … -3 -2 -1 0 1 …
y … 0 3 4 3 0 …
求这个二次函数的表达式.
方法归纳交流　求二次函数的表达式,要根据具体的已知条件,选择适当的方法.
任务驱动三 已知抛物线与x轴的两个交点确定表达式
3.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(-1,0),B(2,0),C(0,2)三点,则该抛物线的表达式为　 　.
变式演练　如图,抛物线y=ax2+bx-3与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,且OB=OC=3OA,则该抛物线的表达式是　 　.
参考答案
【预习导学】
知识点一
1.(1)不可靠.应建立适当的平面直角坐标系,再用二次函数表示抛物线.
(2)数学建模的思想,将一个实际问题转化为二次函数相关的问题.
2.(1)平行.
(2)这样建立x轴,则某点处的纵坐标就是该点悬索的高度;以对称轴为y轴,则二次函数表达式较简单,为y=ax2+k的形式.
归纳总结　平面直角坐标系　表达式
知识点二
1.(1)y=ax2+bx+c(a≠0) (2)a、b、c三个系数 .(3)三个.
归纳总结　①y=ax2+bx+c　②三元一次方程组　③a、b、c
2.(1)顶点坐标可以确定h,k的值,还需要一个点坐标确定系数a的值.
(2)(0,1)　c　两　a,b
【合作探究】
任务驱动一
1.解:(1)把点(0,-1)代入y=ax2+bx+c,得c=-1.
再把点(-1,2),(1,-6)分别代入y=ax2+bx-1,得a-b-1=2,a+b-1=-6,解得a=-1,b=-4,
所以这个二次函数的表达式为y=-x2-4x-1.
(2)y=-x2-4x-1=-(x+2)2+3.
该二次函数图象的顶点坐标为(-2,3),对称轴为x=-2.
变式演练　y=-x2+2x+2
任务驱动二
2.y=-2x2+4x+6
变式演练　解:由表格中的数据易知二次函数的顶点坐标为(-1,4),设二次函数的表达式为y=a(x+1)2+4,把点(0,3)代入y=a(x+1)2+4,得a=-1,故二次函数的表达式为y=-(x+1)2+4,即y=-x2-2x+3.
任务驱动三
3.y=-x2+x+2
变式演练　y=x2-2x-3

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