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26.3 第1课时 建立二次函数模型解决实际问题
素养目标
1.会建立二次函数模型,解决与之相关的运动物体中的实际问题.
2.会运用二次函数模型解决销售中最大利润等问题,体会运用数学模型选择最优化方案.
3.体会数学建模的思想,感受数学的实际应用价值.
重点
建立二次函数模型解决实际问题.
【预习导学】
知识点 建立二次函数模型解决实际问题
阅读课本本课时所有内容,回答下列问题.
1.填一填:(1)在“问题1”中,水流在各个方向上都是沿形状相同的　 　路径落下,故可以建立　 　,构建其中一道水流的二次函数模型,就可以得到所有水流的运动路径.
(2)其中一道水流的二次函数表达式为y=-x2+2x+,水流的最大高度是二次函数的　 　,故配方后二次函数的表达式为　 　.
(3)水流离水池中央最远的距离是“图26.3.1”中线段　 　的长度,令y=0,可
得　 　=0,解得　 　,则水池的半径至少为　 　m.
2.讨论:生活中,还有哪些物体的运动轨迹是抛物线形的
3.说一说:在“问题2”中,如“图26.3.2”所示建立平面直角坐标系.
(1)由于二次函数顶点为原点,故其表达式可以设为　 　.根据题意,点B的坐标为　 　,解得二次函数的表达式为　 　.
(2)根据题意点D的纵坐标为　 　,故可得方程　 　,解得点D的横坐标为　 　,则涵洞宽DE为　 　.
学习小助手　“问题1”中已经帮助我们建立好了二次函数模型,只需要通过实际问题中的数据,写出二次函数表达式,并解决其中的相关问题即可.在“问题2”中,则需要根据实际问题中的已知条件,建立二次函数模型后,再解决问题.
【合作探究】
任务驱动一 拱桥问题
1.如图,有一个抛物线的拱桥,这个桥拱的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它放在如图所示的平面直角坐标系里,若要在离跨度中心点M 5 m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶,铁柱应取多长
变式演练　如图,在一场足球赛中,一球员从球门正前方10 m处将球踢起射向球门,当球飞行的水平距离是6 m时,球达到最高点,此时球高3 m,将球的运行路线看成是一条抛物线,若球门高为2.44 m,则该球员　 　射中球门.(填“能”或“不能”)
任务驱动二 运动中的抛物线问题
2.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2米的点A处发出,把球看成点,其运行的高度y(单位:米)与运行的水平距离x(单位:米)满足关系式y=a(x-6)2+2.6.已知球网与点O的水平距离为9米,高度为2.43米,球场的边界距点O的水平距离为18米.
(1)求y与x的函数关系式.
(2)球能否越过球网
(3)球会不会出界 请说明理由.
变式演练　已知某型汽车行驶在干燥的路面上,汽车停止行驶所需的刹车距离与刹车时的车速之间有下表所示的对应关系.
速度v/(km/h) 48 64 80 96 112 …
刹车距离s/m 22.5 36 52.5 72 94.5 …
(1)请你以汽车刹车时的车速v为自变量,刹车距离s为函数,在图所示的坐标系中描点连线,画出函数的图象.
(2)观察所画的函数的图象,你发现了什么
(3)若把这个函数的图象看成是一条抛物线,请根据表中所给的数据,选择三对,求出它的函数关系式.
(4)用你留下的两对数据,验证一个你所得到的结论是否正确.
任务驱动三 求最大利润
3.某低碳节能产品的年产量不超过100万件,该产品的生产费用y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)之间的函数图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图1所示);该产品的销售单价z(单位:元/件)与年销售量x(单位:万件)之间的函数图象是如图2所示的一条线段,生产出的产品都能在当年销售完,达到产销平衡.
(1)求y与x以及z与x之间的函数关系式.
(2)设年产量为x万件时,所获毛利润为w万元,求w与x之间的函数关系式;并求年产量多少万件时,所获毛利润最大 最大毛利润是多少 (毛利润=销售额-生产费用)
方法归纳交流　解这类二次函数在商品利润方面的问题要注意:
(1)建模:要明确关系式,商品销售利润=每件商品利润×销售件数是建立二次函数关系式的依据;
(2)用模:顶点横坐标在自变量的取值范围内时,二次函数在顶点处取得最值;顶点横坐标不在自变量的取值范围内时,要根据题目条件,具体分析,才能求出符合题意的最值.
参考答案
【预习导学】
知识点
1.(1)抛物线　平面直角坐标系　
(2)最大值　y=-(x-1)2+　(3)OB　-(x-1)2+　x1=-,x2=　2.5
2.喷泉,篮球等.
3.(1)y=ax2　(0.8,-2.4)　y=-x2
(2)-0.9　-x2=-0.9　　
【合作探究】
任务驱动一
1.解:由题意可知抛物线的顶点坐标为(20,16),点B(40,0),
∴可设抛物线的表达式为y=a(x-20)2+16.
∵点B(40,0)在抛物线上,
∴a(40-20)2+16=0,
∴a=-.
∴y=-(x-20)2+16.
∵铁柱柱脚的点为(15,0)或(25,0),
∴当x=15时,y=-(15-20)2+16=15;当x=25时,y=-(25-20)2+16=15 .
∴铁柱应取15 m.
变式演练　能
任务驱动二
2.解:(1)把点A(0,2)代入关系式得2=a(-6)2+2.6,解得a=-,
则y与x的关系式为y=-(x-6)2+2.6.
(2)∵当x=9时,y=-(9-6)2+2.6=2.45>2.43,
∴球能越过球网.
(3)∵当x=18时,y=-(18-6)2+2.6=0.2>0,
∴球会出界.
变式演练　解:(1)描点连线,画出函数的图象如下:
(2)图象可看成是一条抛物线,这个函数可看作二次函数.
(3)设所求函数关系式为s=av2+bv+c,
把v=48,s=22.5;v=64,s=36;v=96,s=72分别代入s=av2+bv+c,
得482a+48b+c=22.5,642a+64b+c=36,962a+96b+c=72,
解得a=,b=,c=0,
∴s=v2+v.
(4)当v=80时,v2+v=×802+×80=52.5.
∵s=52.5,
∴s=v2+v.
当v=112时,v2+v=×1122+×112=94.5.
∵s=94.5,
∴s=v2+v.经检验,所得结论是正确的.
任务驱动三
3.解:(1)由题图1可得函数经过点(100,1 000),
设抛物线的表达式为y=ax2(a≠0),
将点(100,1 000)代入得1 000=10 000a,
解得a=,
故y与x之间的关系式为y=x2.
由题图2可得函数经过点(0,30)、(100,20),
设z=kx+b,则100k+b=20,b=30,
解得k=-,b=30,
故z与x之间的关系式为z=-x+30.
(2)年产量为x万件时,生产费用为x2,销售额为zx=-x+30x=-x2+30x,
则w=-x2+30x-x2=-x2+30x=-(x2-150x)=-(x-75)2+1 125,
故当年产量为75万件时,获得毛利润最大,最大毛利润为1 125万元.

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