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第26章 二次函数 复习课
复习目标
1.明确二次函数的定义,会用待定系数法求二次函数表达式.
2.能画出二次函数的图象,通过二次函数的图象探究二次函数的性质.
3.知道抛物线与对应的一元二次方程的关系,会用待定系数法求二次函数的表达式.
4.能建立二次函数模型,解决相关实际问题,体会数学建模思想.
重点
二次函数的图象和性质,应用二次函数解决实际问题.
【预习导学】
体系构建
核心梳理
1.形如　 　的函数,叫做二次函数.其中a是　 　,b是　 　,
c是　 　.
2.二次函数y=ax2关于　 　对称,它的顶点坐标是　 　.
(1)当a>0时,抛物线的开口　 　,顶点是抛物线的最低点,在对称轴的左侧,y随x的增大而　 　,在对称轴的右侧,y随x的增大而　 　;当a<0时,抛物线的开口　 　,顶点是抛物形的最高点,在对称轴的左侧,y随x的增大而　 　,在对称轴的右侧,y随x的增大而　 　.
(2)二次函数y=ax2+c(c>0)的图象可由y=ax2的图象向　 　平移　 　个单位长度得到,开口方向相同,对称轴相同,顶点坐标发生改变.
(3)将二次函数y=ax2的图象向右平移h(h>0)个单位长度,可得　 　的图象,
新函数的相关性质可类比原函数得到.
(4)二次函数y=a(x-h)2+k的图象可由y=ax2平移得到,若h>0,k>0,则将二次函数y=ax2
向　 　个单位长度,再向　 　个单位长度.
(5)对于任意的一个二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),要知道其图象与性质,可将其配方
成　 　的形式.
(6)对二次函数的顶点式与一般式的主要性质梳理如下:
　　特性 函数　　 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
y=a(x+h)2+k
y=ax2+bx+c
3.运用待定系数法要确定二次函数的表达式.
(1)当已知二次函数图象上任意三个点的坐标,设二次函数的表达式为　 　;
(2)已知顶点坐标及函数图象上任意一点坐标,设二次函数的表达式为　 　;
(3)已知二次函数与x轴的两个交点坐标及函数图象上任意一点坐标,可设二次函数的表达式为　 　,再将点的坐标代入所设表达式,求出系数,确定二次函数表达式.
4.一元二次方程ax2+bx+c=0与二次函数y=ax2+bx+c(其中a,b,c为常数,a≠0)的关系.
(1)当b2-4ac>0时,则方程ax2+bx+c=0有　 　个解,故二次函数y=ax2+bx+c与x轴有　 　个交点.
(2)当b2-4ac=0时,则方程ax2+bx+c=0有　 　个解,故二次函数y=ax2+bx+c与x轴有　 　个交点.
(3)当b2-4ac<0时,则方程ax2+bx+c=0　 　解,故二次函数y=ax2+bx+c与
x轴　 　交点.
【合作探究】
专题一 二次函数的图象及性质
1.对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正确的是 ( )
A.开口向下
B.对称轴是直线x=-1
C.顶点坐标是(1,2)
D.与x轴有两个交点
2.已知二次函数y=a(x-2)2+c(a>0),当自变量x分别取、3、0时,对应的函数值分别为y1、y2、y3,则y1、y2、y3的大小关系是 ( )
A.y1>y2>y3
B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2
D.y3>y2>y1
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列四个结论:①abc<0;②b0;④b2-4ac>0.其中正确的结论有 ( )
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
专题二 抛物线的平移
4.将抛物线y=x2-6x+5向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度后,得到的抛物线的表达式是 ( )
A.y=(x-4)2-6 B.y=(x-4)2-2
C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-1)2-3
5.将抛物线y=x2-2平移到抛物线y=x2+2x-2的位置,以下描述正确的是 ( )
A.向左平移1个单位长度,向上平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度,向上平移1个单位长度
C.向左平移1个单位长度,向下平移1个单位长度
D.向右平移1个单位长度,向下平移1个单位长度
6.在同一平面直角坐标系内,将函数y=2x2+4x-3的图象向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到图象的顶点坐标是 ( )
A.(-3,-6) B.(1,-4) C.(1,-6) D.(-3,-4)
专题三 二次函数表达式的确定
7.二次函数图象过点(-3,0)、(1,0),且顶点的纵坐标为4,此函数关系式为　 　.
8.设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,2),B(4,3),C三点,其中点C在直线x=2上,且点C到抛物线的对称轴的距离等于1,求抛物线的函数表达式.
专题四 二次函数与一元二次方程
9.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(mA.mC.a10.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1①b2-4ac>0;②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解;③x1其中正确的是 ( )
A.①③④ B.①②④
C.①②③ D.②③
11.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,有下列结论:①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.其中,正确结论的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
12.直线y=x+2与抛物线y=x2+2x的交点坐标是　 　.
13.直线y=ax-6与抛物线y=x2+4x+3只有一个交点,求a的值.
专题五 二次函数的实际应用
14.某工厂共有10台机器,生产一种仪器元件,由于受生产能力和技术水平等因素限制,会产生一定数量的次品.每台机器产生的次品数p(单位:千件)与每台机器的日产量x(单位:千件)(生产条件要求4≤x≤12)之间的变化关系如下表:
日产量x/(千件/台) … 5 6 7 8 9 …
次品数p/(千件/台) … 0.7 0.6 0.7 1 1.5 …
已知每生产1千件合格的元件可以盈利1.6千元,但每生产1千件次品将亏损0.4千元.(利润=盈利-亏损)
(1)观察并分析表中p与x之间的对应关系,用所学过的一次函数,反比例函数或二次函数的有关知识求出p(单位:千件)与x(单位:千件)的函数表达式.
(2)设该工厂每天生产这种元件所获得的利润为y(单位:千元),试将y表示为x的函数;并求当每台机器的日产量x(单位:千件)为多少时所获得的利润最大,最大利润为多少
15.九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:
时间x/天 1≤x<50 50≤x≤90
售价/(元/件) x+40 90
每天销量/件 200-2x
已知该商品的进价为每件30元,设销售商品每天的利润为y元.
(1)求出y与x的函数关系式.
(2)问该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少
参考答案
【预习导学】
核心梳理
1.y=ax2+bx+c(a≠0)　二次项系数　一次项系数　常数项
2.y轴　(0,0)
(1)向上　减小　增大　向下　增大　减小
(2)上　c
(3)y=a(x-h)2
(4)上平移k　右平移h
(5)y=a(x+h)2+k
(6)
　　特性 函数　　 开口向上 对称轴 顶点坐标 最值
y=a(x+h)2+k a>0时开口向上 x=-h (-h,k) 最小值k
a<0时开口向下
最大值k
y=ax2+bx+c a>0时开口向上 x=- -, 最小值
a<0时开口向下 最大值
3.(1)y=ax2+bx+c　(2)y=a(x-h)2+k　(3)y=a(x-b)(x-c)
4.(1)两　两　(2)1　1　(3)没有　没有
【合作探究】
专题一
1.C　2.D　3.B
专题二
4.B　5.C　6.C
专题三
7.y=-x2-2x+3
8.解:∵点C在直线x=2上,且到抛物线的对称轴的距离等于1,∴抛物线的对称轴为直线x=1或x=3.
当对称轴为直线x=1时,设抛物线表达式为y=a(x-1)2+k,则a+k=2,9a+k=3,解得a=,k=,
所以y=(x-1)2+=x2-x+2;
当对称轴为直线x=3时,设抛物线表达式为y=a(x-3)2+k,则9a+k=2,a+k=3,解得a=-,k=,
所以y=-(x-3)2+=-x2+x+2.
综上所述,抛物线的函数表达式为y=x2-x+2或y=-x2+x+2.
专题四
9.A　10.B　11.D
12.(1,3),(-2,0)
13.解:联立
消掉y,得x2+4x+3=ax-6,
整理得x2+(4-a)x+9=0.
∵只有一个交点,∴Δ=(4-a)2-4×1×9=0,
解得a1=-2,a2=10.
专题五
14.解:(1)根据表格中的数据可以得出:p与x是二次函数关系,且图象经过的顶点坐标为(6,0.6),
设函数表达式为p=a(x-6)2+0.6,把(8,1)代入,得4a+0.6=1,解得a=0.1,
所以函数表达式为p=0.1(x-6)2+0.6=0.1x2-1.2x+4.2.
(2)y=10[1.6(x-p)-0.4p]=16x-20p=16x-20(0.1x2-1.2x+4.2)=-2x2+40x-84(4≤x≤12),
y=-2x2+40x-84=-2(x-10)2+116,
∵4≤x≤12,∴当x=10时,y取得最大值,最大利润为116千元.
故当每台机器的日产量为10千件时,所获得的利润最大,最大利润为116千元.
15.解:(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2 000;
当50≤x≤90时,y=(200-2x)(90-30)=-120x+12 000.
综上所述,y=
(2)当1≤x<50时,y=-2x2+180x+2 000=-2(x-45)2+6 050.
∵a=-2<0,∴当x=45时,y有最大值,最大值为6 050元.
当50≤x≤90时,y=-120x+12 000,
∵k=-120<0,∴y随x的增大而减小,∴当x=50时,y有最大值,最大值为6 000元.
综上所述,当x=45时,y有最大值,最大值为6 050元.

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