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2025-2026学年湖北省孝感高级中学高一上学期阶段性诊断考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，若集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则( )
A. 命题的否定为，，且是真命题
B. 命题的否定为，，且是真命题
C. 命题的否定为，，且是假命题
D. 命题的否定为，，是假命题
3.若，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若函数的定义域为，则的定义域为( )
A. B. C. D.
5.已知实数满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知集合，则集合的真子集的个数为( )
A. B. C. D.
7.设集合，函数，若，且，则的取值范围是
A. B. C. D.
8.设函数的定义域为，若所有点，构成一个正方形区域，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设全集为，集合，满足，则( )
A. B. C. D.
10.下列说法中正确的为( )
A. 已知，则“”是“”的必要不充分条件
B. 若，则的最小值为
C. 若正实数满足，则的最小值为
D. 若，且，则的最大值为
11.高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为“高斯函数”，如：又称为“取整函数”设，则下列结论正确的是( )
A. B. 的解集为
C. 若，则 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设集合，，已知且，则的取值集合为 ．
13.已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ．
14.已知实数，，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合．
若，求
若，求实数的取值范围；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
设函数
若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
解关于的不等式：．
17.本小题分
已知、、、为正实数，利用平均不等式证明并指出等号成立条件，然后解中的实际问题．
请根据基本不等式，证明：；
请利用的结论，证明：；
如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米
18.本小题分
定义在上的函数满足，且．
求；
证明：；
若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知集合，其中为整数，由中元素可构成两个点集和，其中中有个元素，中有个元素．新定义个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质．
已知集合与集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合；若无，请说明理由；
集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？
试判断：集合具有性质是的什么条件，并证明．
参考答案
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15.解：当时，，
所以；
因为，
所以由，得，
当时，，解得，满足题意；
当时，则，解得，
综上，，故实数的取值范围为；
由是的充分不必要条件，可得，
又，
则，且式等号不同时成立，解得，
故实数的取值范围是．

16.解：恒成立等价于，恒成立．
当时，不等式可化为，满足题意．
当时，有，即，解得，
综上，的取值范围是．
依题意，等价于，
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式化为，
此时，所以不等式的解集为；
当时，不等式化为，
当时，，不等式的解集为；
当时，，不等式的解集为或；
当时，，不等式的解集为或；
综上，当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．

17.解：证明：因为，，当且仅当，时等号成立，
所以当且仅当，时等号成立．
所以，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立．
解：由于，当且仅当时等号成立，
令，得，
即，故．
所以，当且仅当时等号成立．
解：做成的长方体的底面是一个边长为的正方形，高为．
所以．
由中已证的不等式，可知，
当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立．
所以，因此，
综上所述，当米，长方体盒子的容积取到最大值立方米．

18.解：由，令，得，
因为不恒为，所以．
法一：由知当时，；
又由题意，当时，；
而当时，，，
令，可得，所以．
综上所述，，．
法二：，
若存在使，则有，这与题设矛盾，
所以，．
在条件式中令，可得，
又由知，，所以．
令，则对任意，，即恒成立．
记，，取时，有最大值，
所以的取值范围为．

19.解：由于，不符合定义，故不具有性质；
集合具有性质，对应集合，；
由题意可知集合的元素构成有序数对，共有个，
因为，所以，共有个，
又因为时，，所以时，，
所以集合的元素个数不超过个，
取，则中元素的个数为个，
故中元素的个数最多．
充分不必要条件，理由如下：
当集合具有性质时，
对于，根据定义可知：，
又因为集合具有性质，则，
如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立，
于是，中至少有一个不成立，
故和也是中不同的元素，
可见的元素个数不多于的元素个数，即，
对于，根据定义可知：，
又因为集合具有性质，则，
如果，是中的不同元素，那么，中至少有一个不成立，
于是，中至少有一个不成立，
故和也是中不同的元素，可见的元素个数不多于的元素个数，即，
由可知．
若，则，
，
满足，而集合不具有性质．
所以集合具有性质是的充分不必要条件．

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