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2024-2025学年上海市金山中学高一下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知非零实数，则下列命题中成立的是 ．
A. B. C. D.
2.要得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
3.设、、是半径为的圆上三点，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
4.已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得为的前项和，那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为( )
存在等差数列为数列
存在等比数列为数列
若数列为严格增数列，则其“和数列”为严格增数列
若数列的“和数列”为严格增数列，则为增数列
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知集合，则 ．
6.函数的最小正周期为 ．
7.若复数满足，其中为虚数单位，则 ．
8.不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是
9.已知，，用表示为 ．
10.已知，则的值为 ．
11.已知向量、满足，且在上的数量投影为，则 ．
12.已知复数的实部为，且，若是关于的方程的根，则 ．
13.已知是等比数列，若分别是函数的两个零点，则 ．
14.已知，若对任意实数均有，则满足条件的有序实数对的个数为 ．
15.已知点是外接圆圆心，角所对的边分别为，且有，若，则实数的值为 ．
16.对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过的最大整数，为的前项和，则 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知复数，为虚数单位，为实数．
若复数为纯虚数，求的值；
若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围．
18.本小题分
记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
19.本小题分
如图，某学校准备在宿舍楼前两条小路和之间修建一处弓形花园，使之有着类似”冰淇淋”般的凉爽感，已知，线段，弓形花园上一点，其中，设．

将线段、的长度、分别用含有的代数式表示出来；
现准备在点处修建喷泉，求点与点距离的最大值以及对应的的值．
20.本小题分
如图，设、是平面内相交成的两条射线，分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．

仿射坐标系中，，以下两个结论若，则；若，则是否一定成立？不必说明理由
在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求；
如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，分别为、中点，求的最大值．
21.本小题分
设，函数的定义域为若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”．
在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由；
；
；
已知，且函数具有性质，求实数的取值范围；
证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件
参考答案
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17.解：由复数为纯虚数，得，解得．
因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，
所以，解得，
即的取值范围为．

18.解：由已知，，即，
解得舍或，
．
由得，，
，

19.解：因为，，
所以，．
因为，
所以，
在中，由余弦定理易得，
因为，所以
当，即时，
取最大值取最大值．

20.解：成立，不成立．
若，则存在非零实数满足，
因此可得，即，所以成立，
若，可得，
则，因此不成立，即不成立
由，得，且，
所以，
则，
故，
因为与的夹角为，
则，解得；
依题意设，且，

因为为的中点，则，
因为为中点，同理可得
所以
由题意可知，，
则
在中，由余弦定理得，所以，
代入上式得
在中，由正弦定理得，
设，则，且，
所以，
因为，则，
故当时，取最大值，
则的最大值为．

21.解：是，因为对任意，
所以符合定义；
不是，令，，
故不符合题意．
显然，所以设，
则，
当时，取最小值，
原问题等价于当时，恒成立，
即恒成立，
由，可得，
所以得．
证明：充分性：
若函数为增函数，则对任意均有，
即，因此，对任意，若，
则，函数具有性质，充分性得证；
必要性：
若对任意，函数均具有性质，
假设函数不是增函数，则存在，满足，
即，取，
则显然，
即对于，存在，但是，
与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立，
即函数为增函数，必要性得证．

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