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2025-2026学年上海市某校高一上学期9月月考数学试卷
一、单选题：本题共1小题，每小题5分，共5分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.非空数集，同时满足如下两个性质：若，则；若，则则称为一个“封闭集”，以下叙述：
若为一个“封闭集”，则；
若为一个“封闭集”且，则；
若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或；
若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或．
正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。
2.已知二次函数的最小值是，最大值是，则的取值范围 ．
3.如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点分别为点，过两点作直线交于点，则的长是 ．
4.菱形的面积为，点是中点，是上动点，若的面积为，则图中阴影部分的面积为 ．
5.若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为 ．
6.如图，点是反比例函数图像上一点，连结，过作的垂线与反比例函数的图像交于点，则 ．
7.已知为方程的两实根，则 ．
8.如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，以此进行下去若点的坐标为，则点的纵坐标为 ．
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
9.本小题分
记集合，集合或，证明：；
证明：形如且，不能表示成两个自然数的平方和．
10.本小题分
已知；，非空集合．
求实数的取值范围：
若是的充分条件，求实数的取值范围；
若是的必要条件，求实数的取值范围
11.本小题分
函数的图像与轴交于，与轴交于点
求的值：
已知是函数图像对称轴上的一点，若为等腰三角形，求出所有满足条件的的坐标：
已知是函数上一点，若是直角三角形，求出所有满足条件的点的坐标．
12.本小题分
对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地减或加后继的元素所得的结果，例如，子集的“交替和”是，子集的“交替和”是，子集的交替和是；定义一个唯一确定的“交替积”如下：将中的元素按照递减的次序排列，然后将第一个元素交替地除以或乘以后继的数所得的结果，例如，集合的“交替积”是，的“交替积”是，的“交替积”是．
对于，求其所有子集的“交替和”的总和；
对于，求其所有子集的“交替和”的总和；
对于求其所有子集的“交替积”的总和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.且
6.
7.
8.
9.【详解】因为，则有：
若，则；
若，则；
综上所述：对任意，均与，
所以；
对于且，显然是奇数，
假设能表示成两个自然数的平方和，即，
可知的奇偶性相反，不妨设为偶数，为奇数，
由可知：，
即，可得，
因为，
则，即，
可知为的倍数，
对于可知：
若，则不为的倍数；
若，则为的倍数；
所以不为的倍数，
两者相矛盾，假设不成立，所以不能表示成两个自然数的平方和．

10.【详解】因为集合，所以．
因为是的充分条件，所以，
所以，所以．
因为是的必要条件，所以，
所以，所以．

11.【详解】在中，令得或，故；
令得，故；
所以．

设对称轴与轴交于点，设，作轴于，连接，
则，
，
，
若为等腰三角形，分以下三种情况：
若，则，解得，故；
若，则，解得，故；
若，则，解得，故；
故若为等腰三角形，则或或．
设，有三种情况：
当时，如下图：

过作轴，垂足为，则
，
解得：不合题意，舍去；
，
当时，如下图，

过作轴，垂足为，则，
，，
，，，
，解得：不合题意，舍去，
当时：则在以为直径的圆上，如下图，过作交抛物线于，

所以点在上方，由得，
，
，
由此可得：对称轴右侧，上方抛物线上的点一定在圆外，
点在圆上，不在抛物线上．
综上所述：点的坐标分别是或．

12.【详解】集合的子集中，除去外还有个非空子集，
把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替和”之和，
组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替和”的和为，共有组，所以，所有“交替和”之和应该为
集合的子集中，除去外还有个非空子集，
把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替和”之和，
组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替和”的和为，共有组，所以，所有“交替和”之和应该为；
集合，
其中除去外还有个非空子集，
把这把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“交替积”之积，
组合原则是设，，集合的元素为集合中去掉的所有元素，把和结合为一组，显然，每组的“交替积”的和为，共有组，所以，所有“交替积”之和应该为．
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