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2025-2026学年湖南省永州市第一中学高一直升班上学期拓展研学(三)
数学试题
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 满足(1 i)( + i) = 4，其中 i 是虛数单位，则 的虚部为( )
A. i B. 1 C. 2 D. 3
2.已知向量 = (2,1), = ( , 1), //( )，则实数 =( )
A. 2 B. 3 C. 1 D. 6
3. sin sin 的三内角 ， ， 所对边长分别是 ， ， ，若 sin =
2 +
+ ，则角 的大小为( )
A. 3π 5π π π4 B. 6 C. 3 D. 4
4 π.已知函数 ( ) = 5sin 6 ，若存在 , ，满足 0 < < < 2π，且 ( ) = ( ) = 1，则 cos( ) =( )
A. 2325 B.
3
5 C.
3 23
5 D. 25
5.在正方形 中，已知 = 2 , 是 的中点，现以 为折痕将 折起到 ′ 的位置，当三棱
锥 ′ π的体积最大时，此时三棱锥 ′ 外接球的体积为6，则 =( )
A. 1 2 3 45 B. 5 C. 5 D. 5
6.已知函数 ( ) = e + ， ( ) = ln + ，若 I 1 = 22 = ，则 1 + 2 + 1 2 的最大值为( )
A. 94 B.
17 3 1
8 C. 2 D. 2
7.已知3 = 4， = 2 3， = 4 5，则( )
A. > 0 > B. > 0 > C. > > 0 D. > > 0
8.已知 的内切圆圆心为 ，半径 = 1，且满足 3 = + , 是 内切圆上一动点，则
取值范围是( )
A. [ 3 2 + 6,3 2 + 6] B. [ 2 3 + 6,2 3 + 6]
C. [ 6 2 + 3,6 2 + 3] D. [6 3 2,6 3 + 2]
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0, | | < π2 )的部分图象如图所示，则( )
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A. ( )的最小正周期为π
B. = π3
C. ( ) π的一个对称中心为( 12 , 0)
D.要得到函数 ( ) = 2cos π的图象，可以将 ( )的图象先向左平移3个单位长度，
再将各点横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变)
10.已知 中， = 2 , ( + 2 ) = 0, = 60°，则下列说法正确的是( )
A. = 1 + 2 B. cos = 3 3
C. cos = 7 D. 在 114 上的投影向量为

2

11.如图，已知正方体 1 1 1 1的棱长为 2, 1 交平面 1于点 ，则下列说法正确的是( )
A.点 是 1的重心
B. 1 = 2
C.面 1截正方体 1 1 1 1外接球所得截面的面积为 3π
D. 4 3 5 3π以顶点 为球心， 3 为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.设集合 = log2( + 2) < 2 ， = + 1 < < 2 + 1 .当 ∪ = 时，实数 的取值范围
是 ．
| + 1|, ≤ 0
13.已知 ( ) = ln , > 0，若方程 ( ) = 有四个不同的解 1、 2、 3、 4且 1 < 2 < 3 < 4，则 1 +
+ 1 12 3
的取值范围是 ．
4
14.设函数 ( ) = 2 + lg ，若 ( ) ≥ 0，则 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知平面向量 , 满足 = (2,4), | | = 5, (2 + ) ⊥ ( 3 )．
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(1)求向量 与 的夹角；
(2)求向量 2 + 的模．
16.(本小题 15 分)
π
如图，设 ， 是平面内相交成 (0 < < π且 ≠ 2角的两条数轴， 1， 2分别是与 轴、 轴正方向同向

的单位向量，则称平面坐标系 为 斜坐标系.若向量 = 1+ 2，则把有序数对( , )叫做向量 在
斜坐标系 中的坐标，记为 = ( , ).已知在 斜坐标系 中， = 1, 1 ， = 2, 2 ．
(1)证明： = 1 2 + 1 2 + 1 2 + 2 1 cos ；
(2) 5π当 = 时， 6 = 2, 3 ，求
；
(3) = π当 3时，若向量 = cos , 2 ，
= sin , 2 ，已知 ( ) = ，求函数 ( )的最值．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥底面 ， 是 的中点，点 在棱 上，且 ⊥ ，四边形
为正方形， = = 2．
(1)证明： ⊥ ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)求二面角 的余弦值．
18.(本小题 17 分)
在 中，设角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且满足 3 sin + cos = + ．
(1)求角 ；
(2)若 = 3，求 面积的最大值；
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(3) 求 2 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
设 ( ) = 2 ( ∈ ) 5 +3， ( ) = +1．
(1) ∈ 2 5求当 3 , 9 ， ( ) =
5 +3
+1的值域；
(2)若对任意的 1 ∈ [0,1]
2
，总存在 2 ∈ 3 ,
5
9 ，使得 1 = 2 成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( ∞, 12 ]
13. 2, 2 + e 1e
14.1
15.【详解】(1)由题意| | = 2 5, | | = 5, (2 + ) ( 3 ) = 0，
2 2
2
所以 5 3 = 0，
2
即 3 + 5 2 2 = 3 × 5 + 5 2 × 20 = 0，
∴ = 5．

∴ cos , = 5 1
| | |
=
| 2 5× 5
= 2．
∵ , ∈ [0, π], ∴ , = π3．
2 2
(2)|2 + | = 2 + = 4 2 + 4 + = 80 + 4 × 5 + 5 = 105．
16.【详解】(1) ∵ = 1 1 + 1 2, = 2 1 + 2 2，
∴ = ( 1 1 + 1 2) ( 2 1 + 2 2) = 1 2 1 1+ 1 2 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 2 2
∵ 1 2 = cos , 1 1 = 1, 2 2 = 1，
∴ = 1 2 + 1 2 + ( 1 2 + 2 1)cos ．
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(2) ∵ = (2, 3) = 2 1 + 3 2，
如图， 中
2 2
= + + 2 cos∠ =
22 + ( 3)2 2 × 2 × 3cos π6 = 1．

(3) ∵ = (cos , 2), = (sin , 2), = 5π6，

由(1)可得 ( ) = = cos sin + 4 + 2(sin + cos )cos π3 = cos sin + sin + cos + 4，
2
令 = sin + cos , ∈ 2, 2 ，则 sin cos = 12 ，
∴ ( ) = 1 2 72 + + 2 , ∈ 2, 2 ，
当 = 1 时， ( )min = 3，
当 = 2时， ( )max =
9
2 + 2．
17.【详解】(1)证明：因为 ⊥底面 ， 底面 ，所以 ⊥ ，
因为四边形 为正方形，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
在 中，因为 = ， 是 的中点，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ , ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)连接 交 于点 ，如图所示：
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则 ⊥ ，又因为 ⊥底面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥平面 ，则点 到平面 的距离为| | = 2，因为
1是 的中点，所以 = = 2 ，
2
因为底面正方形 边长为 2，所以 = 2 2， = 2 + 2 = 22 + 2 2 = 2 3，
2 6
所以 = = 3 ， =
2 2 = 4 33 ，
1 4 2所以 = 2 = 3 ，
= 1 × 4 2 3 3 × 2 =
8 4
9，所以 = 9．
在 中 = 2, = 2 + 2 = 6, = 2 2，满足 2 + 2 = 2，有 ⊥ ，
1
所以 = 2 × × = 3，
设点 到平面 的距离为 ，
4
由 = 1 × × 可得 = 9 4 3 3 1 = =
3
1
3× 3 9
(3)由(1)可得 ⊥平面 ，因为 平面 , 平面 ，
所以 ⊥ , ⊥ ，所以∠ 为二面角 的平面角，
= 12 = 2, =
2 + 2 = 6，
因为∠ = ∠ = 90°，∠ = ∠ ，所以 ∽ ，
· 6
所以 = ，解得 = = 3 ，
因为 ⊥ ，即∠ = 90°，所以 cos∠ = =
1
3，
故二面角 1的余弦值为3．
18.【详解】(1)因为 3 sin + cos = + ，
根据正弦定理得： 3sin sin + sin cos = sin + sin ，
且 sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ，
可得 3sin sin + sin cos = sin cos + cos sin + sin ，
即 3sin sin cos sin = sin ，
又因为 ∈ 0, π ，则 sin ≠ 0，
可得 3sin cos = 1 π 1，整理可得 sin 6 = 2，
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且 ∈ 0, π π π 5π，则 6 ∈ 6 , 6 ，
可得 π π π6 = 6，解得 = 3．
(2)由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos ，即 3 = 2 + 2 2 × 12，
可得 2 + 2 = 3 + ≥ 2 ，解得 ≤ 3，当且仅当 = = 3时，等号成立，
所以 1 3的面积为： = 2 sin = 4 ≤
3 3
4 ，
3 3
故 面积的最大值为 4 ．
(3) sin sin sin sin sin sin 根据正弦定理得： 2 = sin2
4 3 3
= 3 sin sin( + ) 2 sin 2 sin( + )
4 3 1 3 3 3
= 3 2 sin cos + 2 sin
2 4 cos 4 sin
3 1 1
= 3 sin2 3 cos2 cos 3sin + 3
= 2 π3 sin 2 6 2sin +
π 1
6 + 3，
= + π π π令 6，则 2 6 = 2 2，
sin 2 π = sin 2 π可得 6 2 = cos2 = 2sin
2 1，

将原式化为： 2 =
2
3 2sin
2 1 2sin + 1 4 2 13 = 3 sin 2sin 3，
∈ 0, 2π π π 5π 1因为 3 ，则 = + 6 ∈ 6 , 6 ，可得 sin ∈ 2 , 1 ,
根据二次函数的图像性质得到，
2
sin = 3 = 4 × 3 2 × 3 1 13当 4时，原式取得最小值， 2 3 4 4 3 = 12；
sin = 1 4当 时，原式取得最大值， = × 12 2 3 2 × 1
1
3 = 1；
13
故 2 的取值范围为 12 , 1 ．
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19. 5 +3 2【详解】(1) ( ) = +1 = 5 +1，
因为函数 ( )在( 1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) 2 5在 3 , 9 上为单调递增函数．
因为 23 = 1，
5
9 =
1
2，
1
所以 ( )的值域为 1, 2 ；
(2)当 ∈ [0,1] ( ) 1时， 的值域为 ，则依题意有： 1, 2 ，
1
易知 ( )的最小值为 0，所以只需要 ( )max ≤ 2．
①当 = 0 时， = [0,1]不合题意，故舍去．
②当 < 0 时， ( )在[0,1]上为增函数，所以 = [0,1 ]．
1 > 0 1
由 1 ≤ 1，得：2 ≤ < 1．2
又因为 < 0，所以不合题意，故舍去．
③当 > 0 时，
)当 ≥ 2 时，即2 ≥ 1，此时 ( )在[0,1]上为增函数．
(0) = 0, (1) = 1，
1 > 0
= [0, 1]，要使： 1, 12 ，则： 1 ≤ 1 1 < ≤
3
2 2
,
这与 ≥ 2 矛盾，故舍去．
2 2
)当 2( 2 1) ≤ < 2 时，即2 < 1 ≤
2+1
2
1
，易求： = 0, 4 ，由 4 ≤ 2得：0 < ≤ 2．
所以 2( 2 1) ≤ ≤ 2．
) 0 < < 2( 2 1) 1 > 2+1当 时，即 2 ，易求： = [0,1 ]
1
，要使： 1, 2 ，
1 > 0
1 1 ≤ < 1 11 ≤ 2 ，所以2 ≤ ≤ 2( 2 1)．2
1
综上所述： ∈ 2 , 2 ．
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