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2025-2026学年湖南省永州市第一中学、永州市第四中学高一上学期
“直升班”联合评测数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 sin = 13，则 cos2 =
A. 89 B.
7
9 C.
7
9 D.
8
9
2.若 ( ) = cos sin 在 , 是减函数，则 的最大值是
A. 4 B.
C. 3 2 4 D.
3.已知 2 –tan( + π4 ) = 7，则 tan =( )
A. –2 B. –1 C. 1 D. 2
4.设 = log0.20.3， = log20.3，则
A. + < < 0 B. < + < 0 C. + < 0 < D. < 0 < +
5.已知 = log20.2, = 20.2, = 0.20.3，则
A. < < B. < < C. < < D. < <
6 1 .设函数 ( ) = 1+ ，则下列函数中为奇函数的是( )
A. ( 1) 1 B. ( 1) + 1 C. ( + 1) 1 D. ( + 1) + 1
7.设不等式|4 | > |1 2 +3|对所有的 ∈ [1,2]均成立，则实数 的取值范围是( )
A. < 15 或 > 47 B. < 15
C. > 47 或 0 < < 1 D. < 15 或 0 < < 164
8.已知当 ∈ [0,1)时， ( ) = 3 3，若函数 ( )的定义域为 ，且有 ( + 1)为奇函数， ( + 2)为偶函数，
则 log3300 所在的区间是( )
A. ( ∞,0) B. 0, 12 C.
1
2 , 1 D. (1, + ∞)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 7π6 是第三象限角
B. π 3π若圆心角为3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为 2
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C.若角 的终边上有一点 ( 3,4)，则 cos = 35
D.若角 为锐角，则角 2 为钝角
10.已知 ( )是定义在 R 上的偶函数， ( )是定义在 R 上的奇函数，且 ( )， ( )在( ∞,0]单调递减，则( )
A. ( (1)) < ( (2)) B. ( (1)) < ( (2))
C. ( (1)) < ( (2)) D. ( (1)) < ( (2))
11.已知 > 0， > 0， > 0，则下列结论正确的是( )
A. + 1 ≥ 2
2
B. +3 的最小值为 2
2+2
C. + 2 = 1 1 + 2若 ，则 的最小值是 9
D.若 2 + + = 4，则 ( + + ) + 的最大值为 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.设 ： 1 < < 1 1， ：2 < <
3
2，若 的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围是 ．
13.若 、y ∈ ，且2x = 18 = 6 ，则 + = ．
14.在锐角三角形 中，若 = 2 ，则 的最小值是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = sin(2 + )(0 < < )．
(1) ( ) = ( ) + π设 3 ，若 ( )为偶函数，且不等式| ( ) + | < 2 在 ∈ 0,
π
2 上恒成立，求实数
的取值范围；
(2) π π π π已知函数 ( )的图象过点 6 , 1 ，设 ( ) = cos
2 + 2 sin ，若对任意的 1 ∈ 2 , 2 ， 2 ∈ 0, 2 ，都有
1 < 2 + 3，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 = ( + 1) 2 ( 1) + 1．
(1)若不等式( + 1) 2 ( 1) + 1 < 1 的解集为 R，求 的取值范围；
(2)解关于 的不等式( + 1) 2 2 + 1 ≥ 0．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( )对一切实数 ， 都有 ( + ) ( ) = ( + 2 + 1)成立，且 (1) = 0.
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(1)求 (0)的值;
(2)求 ( )的解析式;
(3)设命题 :当 0 ≤ ≤ 2 时，不等式 ( ) + 3 < 2 + 恒成立;命题 :函数 ( ) 在区间[ 3,3]上具有单
调性.如果 与 有且仅有一个为真命题，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知实数 > 0 且 ≠ 1，函数 ( ) = log ( + 1)， ( ) = log1( )．

(1)已知 (1) = (1) = 1，求实数 ， 的值．
(2)当 = 1 时，用定义法判定函数 ( ) = ( ) + ( )的奇偶性．
(3)当 = 5 时利用对数函数单调性讨论不等式 ( ) + ( ) ≥ 0 的解集．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = sin2 + 2 cos 2 ．
(1)当 = 12时， ( ) ≥ 0，求 的取值范围；
(2)求 ( )的值域；
(3)当 ∈ 0, π2 时，| ( )| ≤ 2，求 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12 ≤ ≤
3
2
13.0 或 2
14.8.
15.解：(1)因为 ( ) = sin(2 + )(0 < < π)为偶函数，所以 = π + π2， ∈ ，
∵ 0 < < π π，∴ = 2，所以 ( ) = cos2 ，
π
所以 ( ) = ( ) + 3 = cos2 cos2 +
π
3
= cos2 1 32 cos2 2 sin2 =
3
2 cos2 +
3
2 sin2 = 3sin 2 +
π
3 ．
又因为| ( ) + | < 2 在 ∈ 0, π2 上恒成立，
即 2 < ( ) + < 2 在 ∈ 0, π2 上恒成立，
所以 2 < ( ) < 2 在 ∈ 0, π2 上恒成立，
所以 2 < ( )min且 ( )max < 2 ，
∈ 0, π 2 + π ∈ π , 4π ( ) = 3sin 2 + π ∈ 3因为 2 ，所以 3 3 3 ，所以 3 2 , 3 ，
2 < 3
则 2 1 < < 2 3 ,
2 > 3 2
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所以 1的取值范围为 2 , 2 3 ；
(2)因为 ( ) π过点 6 , 1
π
，所以 1 = sin 3 + (0 < < π)
π
， = 6，
所以 ( ) = sin 2 + π6 ，
∈ 0, π π又因为 2 2 ，所以 2 2 + 6 ∈
π
6 ,
7π
6 ，
所以 2 = sin 2 +
π 1
2 6 ∈ 2 , 1 ，
π π
又因为对任意的 1 ∈ 2 , 2 ， 2 ∈ 0,
π
2 ，都有 1 < 2 + 3 成立，
1 5
所以 1 max < 2 min + 3， 1 max < 2 + 3 = 2．
21 = cos 1 + 2 sin 1 = 1 sin2 1 + 2 sin 1 = 2 + 1 sin 21 ，
π π
因为 1 ∈ 2 , 2 ，所以 sin 1 ∈ [ 1,1]，设 = sin 1 ∈ [ 1,1]，
则令 ( ) = 2 + 1 ( )2， ∈ [ 1,1]，
当 ≥ 1 时， ( )在 ∈ [ 1,1]上单调递增，所以 ( )max = (1) = 2 ，
5 5 5
所以 2 < 2，解得 < 4，所以 1 ≤ < 4；
当 ≤ 1 时， ( )在 ∈ [ 1,1]上单调递减， ( )max = ( 1) = 2 ，
2 < 5 > 5 5所以 2，解得 4，此时 4 < ≤ 1；
当 1 < < 1 时， ( )在[ 1, ]上单调递增，
在[ , 1]上单调递减， ( ) = ( ) = 2max + 1，
所以 2 + 1 < 5 6 62，解得 2 < < 2 ，此时 1 < < 1．
5 5
综上所述： 4 < < 4．
5 5
即实数 的取值范围为 4 , 4 ．
16.(1)解：由不等式( + 1) 2 ( 1) + 1 < 1 的解集为 R，
当 + 1 = 0 时，即 = 1 时，不等式即为 2 2 < 1，解得 < 32，不符合题意，舍去；
当 + 1 ≠ 0 时，即 ≠ 1 时，不等式可化为( + 1) 2 ( 1) + 2 < 0，
要使得不等式( + 1) 2 ( 1) + 1 < 1 的解集为 R，
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+ 1 < 0
则满足 = ( 1)2 4( + 1)( 2) < 0 ,
< 1 1 2 7
即 3 2 2 9 > 0，解得 < 3 ，
综上可得，实数 的取值范围为( ∞, 1 2 73 )．
(2)解：由不等式( + 1) 2 2 + 1 ≥ 0，可得[( + 1) ( 1)] ( 1) ≥ 0，
当 + 1 = 0 时，即 = 1 时，不等式即为 1 ≥ 0，解得 ≥ 1，解集为{ | ≥ 1}；
当 + 1 > 0 1时，即 > 1 时，不等式可化为( +1 )( 1) ≥ 0，
1 2 1
因为 +1 = 1 +1 < 1，所以不等式的解集为{ | ≤ +1或 ≥ 1}；
+ 1 < 0 < 1 ( 1当 时，即 时，不等式可化为 +1 )( 1) ≤ 0，
1 = 1 2因为 +1 +1 > 1
1
，所以不等式的解集为{ |1 ≤ ≤ +1 }，
综上可得，
< 1 { |1 ≤ ≤ 1当 时，不等式的解集为 +1 }；
当 = 1 时，不等式的解集为{ | ≥ 1}；
当 > 1 时，不等式的解集为{ | ≤ 1 +1或 ≥ 1}．
17.解：(1)令 = 1， = 1，则由已知 (0) (1) = 1( 1 + 2 + 1)，
有 (0) = 2；
(2)令 = 0，则 ( ) (0) = ( + 1)，
又∵ (0) = 2，
∴ ( ) = 2 + 2；
(3)不等式 ( ) + 3 < 2 + ，
即 2 + 2+ 3 < 2 + ，
即 2 + 1 < .
当 0 ≤ ≤ 2 时， 2 + 1 的最大值为 3，
若 为真命题，则 > 3；
又因为 ( ) = 2 + 2 = 2 + (1 ) 2 在[ 3,3]上是单调函数，
1 1
故有 2 ≤ 3，或 2 ≥ 3，解得 ≤ 5 或 ≥ 7，
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当 为真且 > 3为假时，得 5 < < 7则 3 < < 7，
≤ 3
当 为假且 为真时，得 ≤ 5 ≥ 7则 ≤ 5，或
综上得 的取值范围为 ∈ ( ∞, 5] ∪ (3,7)
18.解：(1)因为 (1) = 1，即log (1 + 1) = 1，
解得 = 2，则 ( ) = log1( )，
2
又因为 (1) = log1( 1) = 1，
2
3
解得 = 2．
(2)当 = 1 时， ( ) = ( ) + ( ) = log 1+ ( + 1) + log1(1 ) = log
1
，
函数 ( )定义域为( 1,1)， ( ) = log 1 1+ 1+ = log 1 = ( )，
所以函数为奇函数．
(3)当 = 5，则 ( ) = log1(5 ) = log (5 )，

由 ( ) + ( ) ≥ 0 ( ) ≥ ( )即log ( + 1) ≥ log (5 )①
+ 1 > 0
当 0 < < 1 时，要使不等式①成立，则 5 > 0 ,
+ 1 ≤ 5
解得 1 < ≤ 2．
+ 1 > 0
当 > 1 时，要使不等式①成立，则 5 > 0 ,
+ 1 ≥ 5
解得 2 ≤ < 5，
综上所述：当 0 < < 1 时不等式 ( ) + ( ) ≥ 0 的解集为( 1,2]．
当 > 1 时不等式 ( ) + ( ) ≥ 0 的解集为[2,5)．
19. (1) = 1 1 3解： 2时， ( ) = sin
2 + cos 4 = cos
2 + cos + 4 ，
由 ( ) ≥ 0 3，得 ≤ cos2 + cos + 4，
cos2 + cos + 3 = cos 1
2
而 4 2 + 1, cos ∈ [ 1,1]，
2
当 cos = 1 时， cos 12 + 1 取最小值
5
4，
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故 ≤ 54
(2) ( ) = sin2 + 2 cos 2 = cos2 + 2 cos + 1 2
= cos 2 + 1 , cos ∈ [ 1,1]，
令 = cos , ∈ [ 1,1]，则 ( ) = ( )2 + 1 , ∈ [ 1,1]，
当 < 1 时， ( )在[ 1,1]上单调递减，
则 ( ) 2max = ( 1) = 2 ， ( )min = (1) = 2 2 ，
故函数值域为 2 2 , 2 2 ；
同理，当 1 ≤ ≤ 0 时， ( ) = 1 ， ( ) = 2 2max min ，
此时函数值域为 2 2 , 1 ，
当 0 < ≤ 1 时， ( )max = 1 ， ( )min = 2 2 ，
此时函数值域为 2 2 , 1 ，
当 > 1 时， ( ) 2max = 2 ， ( )min = 2 2 ，
故函数值域为 2 2 , 2 2 ；
综上可得，当 < 1 时，值域为 2 2 , 2 2 ；
当 1 ≤ ≤ 0 时，值域为 2 2 , 1 ；
当 0 < ≤ 1 时，值域为 2 2 , 1 ，
当 > 1 时，值域为 2 2 , 2 2 ．
(3) π当 ∈ 0, 2 时，易知 cos ∈ [0,1]；
当 ≤ 0 ( ) ∈ 2 2 , 1 2 1 2 2 2 = 1 2 ≤ 4 ≥ 3时， ，则 ， 2；
3 2 ≤ (0) ≤ 2 2 2
因此当 2 ≤ ≤ 0 时，由(2)
1 ≤ ≤ + 3
知 2 ≤ (1) ≤ 2，即 2 , + 2 2 ≤ ≤ 2 + 2 + 2
3
由于 2 ≤ ≤ 0，所以
2 + 2 2 ≤ 2 1, 2 + 2 + 2 ≤ 2 + 3，
故 1 2 ≤ ≤ 2 + 2 + 2，
则 ≤ 2 + + 2 ≤ 2；
2 ≤ ( ) ≤ 2
当 0 < ≤ 1 2 ≤ 1 ≤ 22时，则 2 ≤ (1) ≤ 2，即 2 + 2 2 ≤ ≤ 2 + 2 + 2 ,
1 ≤ ≤ 3
即 2 + 2 2 ≤ ≤ 2 + 2 + 2 ,
1
由于 0 ≤ ≤ 2，所以
2 + 2 2 ≤ 1, 2 + 2 + 2 ≤ 3，
所以 1 ≤ ≤ 2 + 2 + 2，
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9
故 ≤ 2 + + 2 ≤ 4；
1 2 ≤ ( ) ≤ 2
当2 < < 1
2 ≤ 1 ≤ 2
时，则 2 ≤ (0) ≤ 2，即 2 1 ≤ ≤ 2 + 3 ,
1 ≤ ≤ 3
即 2 1 ≤ ≤ 2 + 3 ,
1
由于2 < < 1，所以
2 1 ≤ 1, 2 + 3 ≤ 3，
所以 1 ≤ ≤ 2 + 3，
故 ≤ 2 + 3 ≤ 94；
当 ≥ 1 时， ( ) ∈ 1 2 , 2 2 ，则 2 2 1 2 = 2 1 ≤ 4， ≤ 52；
1 ≤ ≤ 5
2 ≤ (0) ≤ 2 2
(2) 1 ≤ ≤
2 + 3
当 2时，由 知 2 ≤ (1) ≤ 2，即 2 , + 2 2 ≤ ≤ 2 + 2 + 2
5
由于 1 ≤ ≤ 2，所以
2 + 2 2 ≥ 2 1, 2 + 2 + 2 ≥ 2 + 3，
所以 2 + 2 2 ≤ ≤ 2 + 3，
故 ≤ 2 + 3 ≤ 1；
1 11 9
综合上述可知当 = 2 , = 4时， 取到最大值，最大值为4．
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