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2025-2026学年湖南省永州市第一中学高一直升班上学期拓展研学（一）
暨第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列五个写法：①{0} ∈ {1,2,3}；② {0}；③{0,1,2} {1,2,0}；④0 ∈ ；⑤0 ∩ = ，其中错误写
法的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.有三支股票 ， ， ，28 位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有 股票的
人中，持有 股票的人数是持有 股票的人数的 2 倍．在持有 股票的人中，只持有 股票的人数比除了持有
股票外，同时还持有其它股票的人数多 1.在只持有一支股票的人中，有一半持有 股票．则只持有 股票
的股民人数是( )
A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
3.设 ∈ ，则“0 < < 5”是“| 1| < 1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.集合 = {1,2,3}, ∪ = {1,2,3,4,5,6}，则满足条件的集合 的个数( )
A. 4 B. 7 C. 8 D. 16
5.已知某班有 50 名同学，据统计发现同学们喜爱的第 33 届巴黎奥运会的比赛项目都集中在乒乓球、跳水、
射击这三个比赛项目. 13 名同学只喜欢乒乓球比赛，10 名同学只喜欢跳水比赛，8 名同学只喜欢射击比赛，
同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有 14 名，喜欢乒乓球与射击比赛的同学有 11 名，喜欢跳水与射击比赛
的同学有 10 名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有( )
A. 8 人 B. 7 人 C. 6 人 D. 5 人
6.关于 的不等式 2 ( + 1) + < 0，的解集中恰有 2 个整数，则实数 的取值范围是( )
A. [ 2, 1) ∪ (3,4] B. [ 2, 1] ∪ [3,4] C. ( 1,0) ∪ (2,3) D. [ 1,0] ∪ [2,3]
7.若 > ，则( )
A. ln( ) > 0 B. 3 < 3 C. 3 3 > 0 D. | | > | |
8.已知正数 ， 满足 + 2 = 2，则 2 + 4 2 + 8 2 + 的最小值为( )
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若3 3 < 4 4 ，则下列结论正确的是( )
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A. < B. < C. 2 < 2 D. 3 > 3
10.下列函数中是偶函数，且在区间(0,1)上单调递增的是( )
2
A. = 2 2 B. = 2 C. = | | +
1 D. = | | | |
11.若正实数 ， 满足 + = 1 则下列说法正确的是( )
A. 1有最大值4 B. + 有最大值 2
C. 1 + 1 2 D. 2 + 2 1 有最小值 有最大值2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知 5 2 2 + 4 = 1( , ∈ )，则 2 + 2的最小值是 ．
13.若实数 ， 满足 ≥ 0， ≥ 0，且 = 0，则称 与 互补．记 ( , ) = 2 + 2 ，那么“ ( , ) = 0”
是“ 与 互补”的 条件．
14.若函数 ( ) = | |(0 ≤ ≤ 2)的最大值是 1，则实数 的值是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 是二次函数，且 0 = 1， + 1 = 2 ．
(1)求 的解析式；
(2)求 在区间 0, 上的最大值．
16.(本小题 15 分)
已知集合 为非空数集，定义： = | = + , , ∈ ， = | = | |, , ∈ (实数 ， 可以相同)
(1)若集合 = 2,5 ，直接写出集合 、 ；
(2)若集合 = 1, 2, 3, 4 ， 1 < 2 < 3 < 4，且 = ，求证： 1 + 4 = 2 + 3；
(3)若集合 |0 ≤ ≤ 2021, ∈ ， ∩ = ，记| |为集合 中元素的个数，求| |的最大值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( )的图象是由函数 ( ) = cos 的图象经如下变换得到：先将 ( )图象上所有点的纵坐标伸长到

原来的 2 倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移2个单位长度．
(1)求函数 ( )的解析式，并求其图象的对称轴方程；
(2)已知关于 的方程 ( ) + ( ) = 在[0,2 )内有两个不同的解 、 ．
( )求实数 的取值范围；
2
( )证明：cos( ) = 2 5 1．
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18.(本小题 17 分)
已知 ( )是定义在[ 2,2]上的奇函数，满足 ( 2) = 4，且当 , ∈ [ 2,2] ( ) ( )， ≠ 时，有 < 0．
(1)判断函数 ( )的单调性；
(2)解不等式： (5 1) > ( + 1)；
(3)若 ( ) ≤ 2 3 + 4 对所有 ∈ [ 2,2]， ∈ [ 2,2]恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知 = ∣ ≤ ≤ + 3 ， = { ∣ < 1 或 > 5}．
(1)若 ∩ = ，求 的取值范围；
(2)若 ∪ = R，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.45
13.充要
14.32或 2
15.解：(1)根据题意，设 = 2 + + ( ≠ 0)，
因为 0 = 1 ，可得 = 1 ，即 = 2 + + 1，
又由 + 1 = ( + 1)2 + ( + 1) + 1 = 2 + (2 + ) + + + 1 ，
且 + 2 = 2 + ( + 2) + 1，
又因为 + 1 = 2 ，即 + 1 = + 2 ，
所以 2 + (2 + ) + + + 1 = 2 + ( + 2) + 1，
2 + = + 2
可得 + + 1 = 1 ，解得 = 1, = 1，所以 =
2 + 1 ．
(2)由(1)知 = 2 + 1 = ( 1 )2 + 32 4 ，
1
可得函数 的图象开口向上，且对称轴为 = 2 ，所以 0 = 1 ，
当 0 < < 1 时，函数 在区间 0, 上的最大值为 0 = 1 ；
当 ≥ 1时，可得 ≥ 0 ，所以函数 在区间 0, 上的最大值为 = 2 + 1 ，
综上可得，当 0 < < 1 时， 的最大值为 1；当 ≥ 1时， 的最大值为 2 + 1 ．
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16.【详解】(1)因为集合 = 2,5 ， = | = + , , ∈ ， = | = | |, , ∈ ，
所以由 2 + 2 = 4,2 + 5 = 7,5 + 5 = 10，可得 = 4,7,10 ，
|2 2| = 0, |5 5| = 0, |2 5| = 3，可得 = 0,3 ．
(2)由于集合 = 1, 2, 3, 4 ， 1 < 2 < 3 < 4，
则 集合的元素在 0， 2 1， 3 1， 4 1， 3 2， 4 2， 4 3中，
且 0 < 2 1 < 3 1 < 4 1， 4 3 < 4 2 < 4 1，
而 = ，故 中最大元素 4必在 中，而 4 1为 7 个元素中的最大者，
故 4 = 4 1即 1 = 0，故 = 0, 2, 3, 4 ，
故 中的 4 个元素为 0， 2， 3， 4，
且 3 2， 4 2， 4 3与 2， 3， 4重复，
而 0 < 3 2 < 3，故 3 2 = 2即 3 = 2 2，
而 0 < 4 3 < 4，故 0 < 4 3 < 4，故 4 3 = 2或 4 3 = 3，
若 4 = 2 3 = 4 2，则 = 0, 2, 2 2, 4 2 ，4 2 2 = 3 2 ，与题设矛盾；
故 4 3 = 2即 4 + 1 = 3 + 2．
(3)设 = 1, 2, 满足题意，其中 1 < 2 < < ，
则 2 1 < 1 + 2 < 1 + 3 < < 1 + < 2 + < 3 + < < 1 + < 2 ，
∴ | | ≥ 2 1， 1 1 < 2 1 < 3 1 < < 1，∴ | | ≥ ，
∵ ∩ = ，由容斥原理| ∪ | = | | + | | ≥ 3 1，
∪ 中最小的元素为 0，最大的元素为 2 ，| ∪ | ≤ 2 + 1，
∴ 3 1 ≤ 2 + 1 ≤ 4043( ≥ 1, ∈ )，即 3 1 ≤ 4043，∴ ≤ 1348．
实际上当 = 674,675,676, 2021 时满足题意，
证明如下：设 = , + 1, + 2, , 2021 ， ∈ N，
则 = 2 ,2 + 1,2 + 2, , 4042 ， = 0,1,2, , 2021 ，
2
依题意有 2021 < 2 ，即 > 673 3，
故 的最小值为 674，于是当 = 674 时， 中元素最多，
即 = 674,675,676, , 2021 时满足题意，
综上所述，集合 中元素的个数的最大值是 1348．
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17.【详解】解法一：(1)将 ( ) = cos 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)得到 =
2cos 的图像，再将 = 2cos 的图像向右平移2个单位长度后得到 = 2cos(

2 )的图像，故 ( ) = 2sin ，
从而函数 ( ) = 2sin 图像的对称轴方程为 = + 2 ( ∈ ).
2 1
(2)1) ( ) + ( ) = 2sin + cos = 5( sin + cos )
5 5
= 5sin( + )(其中 sin = 15 , cos =
2
5 )

依题意，sin( + ) = 5在区间[0,2 )内有两个不同的解 , 当且仅当| 5 | < 1，故 的取值范围是(
5, 5)．
2)因为 , 是方程 5sin( + ) = m 在区间[0,2 )内有两个不同的解，
所以 sin( + ) = 5，sin( + ) =

5．
1 ≤ < 5 + = 2( 当 时， 2 ), = 2( + );
当 5 < < 1 时， + = 2( 3 2 ), = 3 2( + );
2
所以 cos( ) = cos2( + ) = 2sin2( + ) 1 = 2( 2 2 5 ) 1 = 5 1.
解法二：(1)同解法一．
(2)1)同解法一．
2)因为 , 是方程 5sin( + ) = m 在区间[0,2 )内有两个不同的解，

所以 sin( + ) = 5，sin( + ) =

5．

当 1 ≤ < 5时， + = 2( 2 ),即 + = ( + );
5 < < 1 + = 2( 3 当 时， 2 ),即 + = 3 ( + );
所以 cos( + ) = cos( + )
于是 cos( ) = cos[( + ) ( + )] = cos( + )cos( + ) + sin( + )sin( + )
2
= cos2

( + ) + sin( + )sin( + ) = [1 ( )2] + ( )2
2
= 1.
5 5 5
18.【详解】(1)由于函数 ( )是定义在[ 2,2]上的奇函数，所以 ( ) = ( ), ( ) = ( )，
2 < < < 2 ( ) ( ) ( )+ ( )设 则由 < 0 得到 < 0，
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( ) ( )
即 > 0，由函数单调性的定义易得函数 ( )是定义在[ 2,2]上的增函数．
(2)由(1)知函数 ( )是定义在[ 2,2]上的增函数，且 (5 1) > ( + 1)；
5 1 > + 1
则有 2 ≤ 5 1 ≤ 2 1，解得2 < ≤
3 1 3
5，所以不等式的解集为 2 , 5
2 ≤ + 1 ≤ 2
(3)因为 ( 2) = 4，所以 (2) = 4，若 ( ) ≤ 2 3 + 4 对所有 ∈ [ 2,2]，
∈ [ 2,2]恒成立，则 ( ) ≤ 2 3max + 4 成立，且 ( ) max = (2) = 4，
所以 4 ≤ 2 3 + 4 对 ∈ [ 2,2]恒成立，即 2 3 ≥ 0， ∈ [ 2,2]恒成立，
3 3 ( 2) ≥ 0 3 ( ) = 2 = 2 4 ≥ 0
≤ 0
令 ，则 (2) ≥ 0，即 3 ，解得 1 1，故实数 的取4 ≥ 0 2 ≤ ≤ 0 或 ≥ 2
1
值范围为 2 , 0
19.【详解】(1)①当 = 时， ∩ = ，∴ > + 3，∴ > 32．
≤ 3
②当 ≠ 2 3时，要使 ∩ = ，必须满足 + 3 ≤ 5，解得 1 ≤ ≤ 2．
≥ 1
综上所述， 的取值范围是[ 1, + ∞)．
(2) ∵ ∪ = R， = ∣ ≤ ≤ + 3 ， = { ∣ < 1 或 > 5}，
∴ + 3 ≥ 5 ≤ 1，解得 ≤ 2，
故所求 的取值范围为( ∞, 2]．
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